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Autor Tema: Cálculo de variaciones  (Leído 2786 veces)
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« : 03 Noviembre, 2016, 10:29 »

Hola

En un artículo se define

[texx]v(y)=\displaystyle\int_{0}^{y}(1-\beta(x))^{\alpha/(1-\alpha)}dx[/texx]

Se desea hallar la función [texx]\beta(x)[/texx] que maximiza:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}(1-v'(x)^{(1-\alpha)/\alpha)})v'(x)v(x)^{(\displaystyle\frac{\rho-\alpha}{\alpha(1-\rho)})}dx[/texx], siendo [texx]\rho,\alpha \in (0,1)[/texx] y llega a que

[texx]\beta^*(x)=1-\alpha x^{(\displaystyle\frac{\alpha-\rho}{\alpha})}[/texx], supone [texx]v(0)=0, v'(1)^{(1-\alpha)/\alpha}=\alpha[/texx], (el primero es evidente de la definición de [texx]v[/texx], el segundo no lo entiendo).

¿Cómo llega a hallar [texx]\beta^*(x)[/texx] ?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 04 Noviembre, 2016, 09:11 »

Hola

En un artículo se define

[texx]v(y)=\displaystyle\int_{0}^{y}(1-\beta(x))^{\alpha/(1-\alpha)}dx[/texx]

Se desea hallar la función [texx]\beta(x)[/texx] que maximiza:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}(1-v'(x)^{(1-\alpha)/\alpha)})v'(x)v(x)^{(\displaystyle\frac{\rho-\alpha}{\alpha(1-\rho)})}dx[/texx], siendo [texx]\rho,\alpha \in (0,1)[/texx] y llega a que

[texx]\beta^*(x)=1-\alpha x^{(\displaystyle\frac{\alpha-\rho}{\alpha})}[/texx], supone [texx]v(0)=0, v'(1)^{(1-\alpha)/\alpha}=\alpha[/texx], (el primero es evidente de la definición de [texx]v[/texx], el segundo no lo entiendo).

¿Cómo llega a hallar [texx]\beta^*(x)[/texx] ?

La derivada de [texx]v(y)[/texx] es:

[texx]v'(y)=(1-\beta(\color{red}y\color{black}))^{\alpha/(1-\alpha)}[/texx]

de donde:

[texx]v'(y)^{(1-\alpha)/\alpha}=1-\beta(\color{red}y\color{black})[/texx]

Si dice que [texx]v'(1)^{(1-\alpha)/\alpha}=\alpha[/texx] es que por algún motivo (no sé si como hipótesis o por algo que pueda deducirse del proceso de optimización) considera [texx]\beta(1)=1-\alpha.
[/texx]

Respecto al cálculo de variaciones no sé demasiado.

Saludos.

CORREGIDO (gracias Quema)
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« Respuesta #2 : 04 Noviembre, 2016, 09:41 »

Hola

Si, tienes una errata, es

[texx]v'(y)=(1-\beta(y))^{\alpha/(1-\alpha)}[/texx]

Saludos
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