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Autor Tema: Sucesión exacta  (Leído 1770 veces)
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serpa
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« : 30/10/2016, 10:46:16 pm »

Hola. Vi esto en una prueba pero no logro ver el por qué

Considere la sucesión exacta

[texx]\ldots\rightarrow{H_2(S^1\vee S^1)}\rightarrow{H_2(S^1\times{S^1})}\rightarrow{H_2(S^1\times S^1, S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \vee S^1)}\rightarrow{H_1(S^1 \times S^1)}\rightarrow{\ldots}[/texx]

Sabemos que [texx]H_1(S^1 \times S^1)= \pi_1(S^1 \times S^1)=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} [/texx].

La parte que no entiendo es

Aplicando la sucesión de Mayer-Vietoris obtenemos que

[texx]H_2(S^1\vee S^1)=0 [/texx] y [texx] H_1(S^1\vee S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/texx].

Alguna ayuda?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 31/10/2016, 07:57:39 am »

Hola

Aplicando la sucesión de Mayer-Vietoris obtenemos que

[texx]H_2(S^1\vee S^1)=0 [/texx] y [texx] H_1(S^1\vee S^1)=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/texx].

Supongo que se refiere a aplicar Mayer- Vietoris para [texx]X=S^1\vee S^1[/texx], [texx]A=S^1\vee S^1-\{un\quad punto\}[/texx], [texx]B=S^1-\{un\quad punto\}\vee S^1[/texx].

Claramente [texx]A [/texx]y [texx]B[/texx] se contraen a una circunferencia y así [texx]H_1(A)=H_1(B)=\mathbb{Z}[/texx]. Además [texx]A\cap B[/texx] se contrae a un punto y así [texx]H_1(A\cap B)=0.[/texx]

En la sucesión exacta:

[texx]0\rightarrow H_2(A\cap B)\rightarrow H_2(A)\oplus H_2(B)\rightarrow H_2(X)
\rightarrow H_1(A\cap B)\rightarrow H_1(A)\oplus H_1(B)\rightarrow H_1(X)\rightarrow
H_0(A\cap B)\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)\rightarrow H_0(X)\rightarrow 0[/texx]

de [texx]H_1(A\cap B)=0[/texx] y  [texx]H_0(A\cap B)\rightarrow H_0(A)\oplus H_0(B)[/texx] inyectiva se obtiene que [texx]H_1(A)\oplus H_1(B)[/texx] es isomorfo a [texx]H_1(X)[/texx].

Saludos.
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serpa
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« Respuesta #2 : 31/10/2016, 11:20:55 am »

Muchas gracias por tu ayuda elmanco.


Saludos.
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