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Autor Tema: Punto fijo de Brouwer  (Leído 1094 veces)
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serpa
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« : 29/10/2016, 01:17:27 pm »

brower  Brower
hatcher Hatcher

Hola. ¿Alguna sugerencia para el siguiente ejercicio del Hatcher?
Demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer para funciones [texx]f:D^n\longrightarrow{D^n}[/texx] aplicando la teoría del grado a la función [texx]S^n\longrightarrow{S^n}[/texx] que envía el hemisferio norte y sur de [texx]S^n[/texx] hasta el hemisferio sur vía f.



Saludos.
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« Respuesta #1 : 29/10/2016, 04:22:26 pm »

Hola serpa.

 Una forma es la siguiente. Dada una aplicación continua [texx]g:S^{n}\to S^{n}[/texx] ten presente estos dos hechos (que si no los sabes, sería bueno que trates de probarlos): (1) Si [texx]g[/texx] no es sobreyectiva, entonces [texx]\text{deg}(g)=0.[/texx] Y (2) Si [texx]g[/texx] no tiene puntos fijos, entonces [texx]\text{deg}(g)=(-1)^{n+1}[/texx] (en particular, su grado es diferente de cero).

 Ahora supongamos que [texx]F:S^{n}\to S^{n}[/texx] sea la aplicación inducida por [texx]f:D^{n}\to D^{n}[/texx] como se describe en el problema. Trata de verificar que [texx]F[/texx] es continua. Finalmente nota que si suponemos que [texx]f[/texx] no tiene puntos fijos, entonces [texx]F[/texx] tampoco tiene puntos fijos; sin embargo [texx]F[/texx] no es sobreyectiva, por tanto ... (usa (1) y (2) para llegar a una contradicción y poder concluir).

 Completa los detalles y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 29/10/2016, 06:41:51 pm »

Hola Enrique. Gracias por responder y disculpa por no ser más preciso en lo que pido. Justamente mi duda es esa, cómo veo la función F inducida por f ?
 Eso es lo que realmente se me dificulta 
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« Respuesta #3 : 29/10/2016, 07:06:02 pm »

Hola serpa.

 Entiendo. Nota que si [texx]x=(x_{1},\dots,x_{n+1})\in S,[/texx] entonces [texx]\bar{x}=(x_{1},\dots,x_{n})\in D^{n}.[/texx] Luego definimos [texx]F:S^{n}\to S^{n}[/texx] por [texx]F(x)=\big(f(\bar{x}),-\sqrt{1-\|f(\bar{x})\|}\big).[/texx]

Spoiler: interpretación geométrica (click para mostrar u ocultar)

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 30/10/2016, 12:12:58 pm »

Muchísimas gracias Enrique. Ya está todo claro.
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