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Autor Tema: M punto medio de AB  (Leído 827 veces)
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Michel
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« : 16/10/2016, 11:47:46 am »

En un triángulo ABC, M es el punto medio del lado AB.
Demostrar que CM=AB/2 si y solo si áng ACB=90º.


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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
robinlambada
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« Respuesta #1 : 16/10/2016, 12:22:58 pm »

Hola.
Si trazamos una circunferencia con centro en [texx]M[/texx] y diámetro [texx]\overline{AB}[/texx] , comprobamos que sólo si el vértice C esta en un

punto de la circunferencia [texx]|\overline{CM}|=R=\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2}[/texx]

Si el vértice queda fuera entonces  [texx]|\overline{CM}|>\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2}[/texx] y el águlo en C es menor que el ángulo sobre la circunferencia

Si el vértice queda dentro entonces  [texx]|\overline{CM}|<\displaystyle\frac{|\overline{AB}|}{2}[/texx] y el águlo en C es mayor que el ángulo sobre la circunferencia


Es facil comprobar por ser [texx]\widehat{ACB}[/texx] ángulo inscrito a la circunferencia es [texx]\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{\widehat{AMB}}{2}=\displaystyle\frac{\pi}{2}[/texx] radianes.


Saludos.

* TRIAGULO.png (7.41 KB - descargado 69 veces.)
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« Respuesta #2 : 16/10/2016, 04:33:10 pm »


Hola de nuevo. Yo, para que no sea sólo Ingmarov, he hecho una animación; abajo a la izquierda hay como un botón de pausa de vídeo con el que se puede parar para comprobar la suma en cualquier momento si se quiere

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=dlattach;topic=91008.0;attach=17613


Saludos.

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Michel
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« Respuesta #3 : 26/10/2016, 05:37:18 am »

Otra forma.

Tenemos que demostrar:

a) Si CM=AB/2, entonces ACB=90º   y   b) Si ACB=90º, entonces CM=AB/2

a) Si CM=AB/2, será MA=MB=MC, es decir, el punto M equidista de A, B y C, por lo que el triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de diámetro AB; entonces el ángulo ACB, será recto, porque es inscrito y abarca un arco de 180º.

b) Si ACB=90º, como es inscrito, abarca 180º, es decir, AB es un diámetro, cuyo punto medio M es el centro de la circunferencia, resultando CM=AB/2.

* M_PUNTO_MEDIO_DE_AB.ggb (3.15 KB - descargado 47 veces.)
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