Foros de matemática
18/11/2017, 01:34:42 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Delta complejos  (Leído 825 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
serpa
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

México México

Mensajes: 511


Ver Perfil
« : 27/10/2016, 06:29:55 pm »

Hola a todos. Estoy tratando de entender la siguiente definición del [texx]\Delta[/texx]-complejo de un espacio [texx]X[/texx], con un ejemplo. La definición es la siguiente (Tomada del Hatcher - Alegbraic Topology)

Es una colección de funciones [texx]\sigma_{\alpha}:\Delta^n\longrightarrow{X}[/texx], con [texx]n[/texx] dependiendo de [texx]\alpha[/texx], tal que:

1) La restricción [texx]\sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)}[/texx] es inyectiva y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de dichas restricciones [texx]\sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)}[/texx].

2) Cada restricción de [texx]\sigma_{\alpha}[/texx] a una cara de [texx]\Delta^n[/texx] es una de las funciones [texx]\sigma_{\beta}:\Delta^{n-1}\longrightarrow{X}[/texx].

3)[texx]A\subset{X}[/texx] es abierto si y sólo si [texx]\sigma_{\alpha}^{-1}(A)[/texx] es abierto en [texx]\Delta^n[/texx] para cada [texx]\sigma_{\alpha}[/texx].


El ejemplo con el que trato de entenderlo es con el toro, es decir [texx]X=S^1\times{S^1}[/texx].

Pido su ayuda porque no se por donde empezar para encontrar la estructura de delta complejo del toro.

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.263


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 28/10/2016, 06:02:30 am »

Hola

Hola a todos. Estoy tratando de entender la siguiente definición del [texx]\Delta[/texx]-complejo de un espacio [texx]X[/texx], con un ejemplo. La definición es la siguiente (Tomada del Hatcher - Alegbraic Topology)

Es una colección de funciones [texx]\sigma_{\alpha}:\Delta^n\longrightarrow{X}[/texx], con [texx]n[/texx] dependiendo de [texx]\alpha[/texx], tal que:

1) La restricción [texx]\sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)}[/texx] es inyectiva y cada punto de X está en la imagen de exactamente una de dichas restricciones [texx]\sigma_{\alpha}|_{int(\Delta^n)}[/texx].

2) Cada restricción de [texx]\sigma_{\alpha}[/texx] a una cara de [texx]\Delta^n[/texx] es una de las funciones [texx]\sigma_{\beta}:\Delta^{n-1}\longrightarrow{X}[/texx].

3)[texx]A\subset{X}[/texx] es abierto si y sólo si [texx]\sigma_{\alpha}^{-1}(A)[/texx] es abierto en [texx]\Delta^n[/texx] para cada [texx]\sigma_{\alpha}[/texx].


El ejemplo con el que trato de entenderlo es con el toro, es decir [texx]X=S^1\times{S^1}[/texx].

Pido su ayuda porque no se por donde empezar para encontrar la estructura de delta complejo del toro.

Un [texx]\Delta^2[/texx] es un triángulo; [texx]\Delta^1[/texx] un segmento.

Recuerda además que topológicamente el toro se construye pegando un cuadrado por sus lados opuestos.

Entonces el toro puede construirse con dos aplicaciones [texx]\Delta^2\longrightarrow{}T[/texx] y tres [texx]\Delta^1\longrightarrow{}T[/texx].

Están ilustradas en este gráfico, sobre el cuadrado, antes de pegarlo:



Pegado quedaría así:



Saludos.

* toroparapegar.jpg (4.02 KB - descargado 78 veces.)
* torodelta.jpg (5.73 KB - descargado 87 veces.)
En línea
serpa
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

México México

Mensajes: 511


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 29/10/2016, 01:14:17 pm »

Gracias por la ayuda. Todo claro. Pero como podría ver que esas funciones cumplen la definición?

Saludos
En línea
EnRlquE
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 5.878



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 29/10/2016, 02:40:06 pm »

Hola serpa.

 Antes de responder tu pregunta, nota que a las cinco aplicaciones que menciona al_manco hay que agregarle una aplicación [texx]\Delta^{0}\to T[/texx], cuya imágen es el punto de intersección de las imágenes de las cinco funciones anteriores. Ahora, sobre esto

Gracias por la ayuda. Todo claro. Pero como podría ver que esas funciones cumplen la definición?

 Pues hay que verificar que se cumplen todas las condiciones que la definición exige, ¿has intentado algo?, ¿qué dudas tienes? Por ejemplo, para verificar la primera propiedad puedes analizar las posibles ubicaciones que puede tener un punto en el cuadrado [texx][0,1]\times[0,1][/texx] (pensándolo como el cuadrado del dibujo de el_manco). La segunda propiedad es una verificación directa; tienes que notar que las restricciones de las aplicaciones [texx]\Delta^{k}\to T[/texx] a las caras de [texx]\Delta^{k}[/texx] siguen formando parte del conjunto de aplicaciones que estamos considerando. La propiedad tres podría ser algo más complicada (inténtala).

 En fin, intenta hacer la verificación y concreta las dudas que tengas en el camino.

Saludos,

Enrique.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!