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Autor Tema: Memorias sobre la CF de Goldbach  (Leído 22291 veces)
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Víctor Luis
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« Respuesta #100 : 30/05/2017, 02:26:58 pm »

Buenas Feriva y SqrMatrix(matrixiado...) ....


• Como bien dice Feriva... estamos en eso de factorizar, lo que digo es, "nuestro" RSA-230, aunque en verdad, la autoría de la conformación de este compuesto es de los señores de RSA,... estimo, será de propiedad factorizable, de quién primero logre determinar sus dos únicos divisores, que por demás esta decir son primos.
→ Comentarles,... que estoy analizando, un criterio que me surgió, para determinar una proporción ciclica "extra-estructural", ya que si conformamos un compuesto semiprimo, de digamos 30 digitos, los divisores serán de hasta 15 digitos, dándose muchísimos candidatos primos, a ser el único divisor [texx]p[/texx]

• En el criterio estructural, no aplicamos este criterio, que nos quisiera encaminar a un proceso complejo de realizar.
→ Mas siendo el compuesto semiprimo de 100 digitos, nos aletargaríamos mas, considerando la complejidad supuesta para el de 30 digitos.

• Aplicando la evaluación estructural, en el compuesto de 100 digitos,... es en el criterio operacional (lineal) complejo, lo que ya apliqué en el RSA-230, y es como buscar determinar una minúscula gota de H2O, en todos los océanos de nuestro planeta,... donde, sabiendo qué valoración esperar y/o determinar, es como comparar, cada gota de los océanos con el criterio de valoración de nuestra gota a determinar, que no es lo mismo, que determinar naturales primos (por si acaso...)
→ Entonces... evaluar cada gota estructural, esperando dar con una gota de valoración de referencia, es,... complejo, por mas que avancemos a grandes pasos, respecto al criterio del enfoque divisibilístico, que se enfoca en determinar uno de los divisores del compuesto semiprimo [texx]m[/texx]

• Ante esto, me planteé, buscar un otro criterio, pára llegar a dar con una proporción ciclica, donde en compuestos PIG[13] con ambos divisores de la clase [texx]Zpm[a][/texx] para cualquier proporción [texx]Kp[/texx] que tenga el divisor [texx]p[/texx] respecto a su raiz cuadrada,... sucede, que la complejidad es enormemente proporcional, al tamaño del compuesto, donde además, no sabemos, ni por si acaso, la mitad de los digitos que conforman a este divisor, como tampoco, una aproximación de su proporción [texx]Kp[/texx].
→ Como la raiz cuadrada, tampoco es de ayuda, (ya entrando al criterio estructural, netamente,...) Partimos de la zona de factorización, que como le dije a Feriva, esto ya lo tenemos ajustado, donde realizar una evaluación estructural (lineal) es lo mismo que lo que dije antes.

• Es entonces, que se me ocurrió, iniciar una iteración desde la zona de factorización estructural, incrementando una proporción dada para esta con la raiz, en una cantidad iterativa, que estoy analizando, de tal forma que determinemos una proporción ciclica extra-estructural, las que se operarán en gran cantidad; pero sin evaluar todas, tan solo, los que nos den un residuo mínimo, respecto al dividir entre el valor entero del compuesto [texx]m[/texx]
→ Si me han comprendido,... no realizamos evaluaciones ni valoraciones estructurales, en residuos grandes, los que se dan, al igual que el tamaño en digitos, de la raiz cuadrada del compuesto,... sino, que me dije, que debe darse, en algún punto del proceso iterativo, un residuo extra-estructural mínimo, de hasta el doble de las valoraciones iniciales de referencia y es esto, lo que Python, está evaluando, que en todos los casos de compuestos PIG[13] donde sabemos de sus divisores, la iteración en base a su punto de factorización, nos lleva a una proporción ciclica extra-estructural.
→ Habiéndose cumplido esto,... como dije, no sabemos de los divisores [texx]p[/texx] ni [texx]q[/texx] del compuesto [texx]m[/texx], como tampoco de su proporción [texx]Kp[/texx], donde partiendo la iteración desde la "zona de factorización" (ajustada) resulta que llegamos a determinar una proporción ciclica extra-estructural, en los casos de compuestos evaluados según este criterio, que Python está procesando.

• Aclarando,... que NO realizamos la evaluación de cada iteración, iniciada desde la zona de factorización, tan solo, cuando el residuo de la iteración, sea mínimo, el cual coincide con realizar, contados procesos evaluativos, al darse esto, cuando estamos, tan cerca, de una proporción ciclica,.... faltando confirmar, comprobatoriamente esto, luego que Python, complete sus evaluaciones hasta [texx]Kp=23 \%[/texx] desde compuestos de 10 digitos.
→ Luego de esto, será aplicar al RSA-230, iterando desde su zona de factorización (ajustada), supongo en una cantidad enorme de iteraciones, donde "reitero" no evaluamos nada, sin que se dé, un residuo mínimo, pues esto, se está cumpliendo en los compuestos que analiza Python y de darse esto, ya tendremos, una proporción ciclica extra-estructural, lo cual, aún, no tengo nada semi-desarrollado, (mas que analisis anteriores) de reducir y/o simplificar a una de las proporciones ciclicas estructurales, con lo cual, ya daremos por factorizado a cualquier compuesto [texx]m[/texx], procediendo recién, a realizar el proceso operacional, que es lo que nos dá complejidad del proceso de factorización.


○ Bueno.... en esto estoy ocupándome, con las disculpas, que como ya dije, me distancio del enfoque de nuestra matemática actual (en Teoría de Números) sumergiéndome, en el enfoque estructural,... comentado ya a Feriva.



Saludos Cordiales...
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sqrmatrix
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« Respuesta #101 : 30/05/2017, 02:47:03 pm »

Saludos, Victor Luis.

Me alegro de volver a hablar contigo. Tengo que leer lo que has estado planteando este tiempo que he estado ausente, a ver si puedo aportar algo al tema de la factorización que has estado desarrollando
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sqrmatrix
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« Respuesta #102 : 12/06/2017, 05:35:28 am »

Saludos, feriva, Victor Luis, y los que visiten este hilo.

Se me ha ocurrido algo. He pensado en hacer un cálculo aproximado de las probabilidades de que un entero par de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] cumpla la conjetura de Goldbach. La fórmula que he obtenido es:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx]

Ésta se puede aproximar como:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Hallando límites, se simplifica como:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Esta última fórmula nos dice que la probabilidad de que un entero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] cumpla la conjetura de Goldbach es tanto mayor cuanto mayor sea el entero, y en el límite es del 100%.

Voy a desarrollar la forma de obtenerla.

Desarrollo:

Sea el entero par [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] un entero que cumple la conjetura de Goldbach. Siendo así, podemos expresarlo como [texx]\displaystyle 2\cdot n=p+q[/texx], con [texx]\displaystyle p[/texx] y [texx]\displaystyle q[/texx] primos. Supongamos que [texx]\displaystyle p\le q[/texx]. Sabemos que [texx]\displaystyle p[/texx] estará dentro del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx], y [texx]\displaystyle q[/texx] dentro del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx].

El número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx] viene dado por [texx]\displaystyle \pi(n)[/texx]. Para simplificar, vamos a excluir de ese intervalo el valor [texx]\displaystyle 0[/texx], de forma que tenemos el intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx], que tiene en total [texx]\displaystyle n[/texx] enteros. La proporción de primos en dicho intervalo vendrá dada por [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx]. Si elegimos al azar un entero de ese intervalo, la probabilidad de que sea primo será precisamente de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx].

Para obtener la expresión de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] como suma de dos primos, tenemos que elegir un primo de uno de los anteriores intervalos, y ver si el otro entero es primo o no. En este caso, cojamos un primo [texx]\displaystyle q[/texx] del segundo intervalo, [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx]. El entero del primer intervalo que debemos coger para expresar el eltero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] como suma de ambos será [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx], que de momento no sabemos si será primo o compuesto.

Vamos a suponer que el valor [texx]\displaystyle p[/texx] es aleatorio, ya que depende del valor [texx]\displaystyle q[/texx], que ha de ser primo, y el correspondiente valor de [texx]\displaystyle p[/texx] no sabemos a priori si será primo o no. Con esta suposición, tenemos que, la probabilidad de que [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo es la calculada antes, es decir, [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx]. Así, cada vez que elegimos un primo [texx]\displaystyle q[/texx] del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx], la probabilidad de que [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo es de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx].

Pero en el intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx] tenemos una cierta cantidad de primos, que podemos calcular como [texx]\displaystyle \pi(2\cdot n)-\pi(n)[/texx], es decir, el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx] menos el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx]. Por cada uno de estos primos [texx]\displaystyle q[/texx], tenemos una probabilidad de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx] de que el entero [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo. Nos preguntamos qué probabilidad hay de que en al menos uno de estos intentos obtengamos un primo.

Para simplificar este cálculo, haremos el clásico cálculo de la probabilidad del suceso opuesto, que en este caso, será calcular la probabilidad de que en todos los intentos obtengamos un entero compuesto. La probabilidad de que el valor [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea compuesto será de [texx]\displaystyle 1-\frac{\pi(n)}{n}[/texx], es decir, la opuesta de que sea primo. Si realizamos [texx]\displaystyle k[/texx] intentos, la probabilidad de que en todos ellos obtengamos un compuesto será de [texx]\displaystyle \left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^k[/texx]. En nuesto caso, el número de intentos será el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx]. Por tanto, si probamos con todos los primos de dicho intervalo, la probabilidad de que ninguno de los valores sea primo será de [texx]\displaystyle \left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx]. Pero como lo que nos interesa es ver la probabilidad de que al menos uno de los valores sí sea primo, bastará calcular la probabilidad del suceso opuesto, que será [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx].

El problema que tenemos con esta fórmula es que el valor de la función [texx]\displaystyle \pi(n)[/texx] no lo podemos conocer con exactitud sin comprobar todos los enteros menores o iguales a [texx]\displaystyle n[/texx]. Así que usaremos la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos [texx]\displaystyle \pi(n)\approx \frac{n}{\log{(n)}}[/texx]. Sustituyendo en la fórmula obtenida antes, tenemos la aproximación [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\frac{n}{\log{(n)}}}{n}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]. Simplificando, queda [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx].

Podemos desarrollar el exponente:

[texx]\displaystyle
\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}= \\
\frac{2\cdot n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2\cdot n)}}{\log{(2\cdot n)}\cdot\log{(n)}}= \\
\frac{2\cdot n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{\log{(n)}\cdot(\log{(n)}+\log{(2)})}= \\
\frac{n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}
[/texx]

Podemos hallar límites cuando [texx]\displaystyle n[/texx] es un valor suficientemente grande. Desarrollemos:

[texx]\displaystyle
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot(\log{(n)}-\log{(2)})}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot\log{(n)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n}{\log{(n)}+\log{(2)}}}= \\
\frac{n}{\log{(n)}}
[/texx]

Queda al final la expresión para la probabilidad:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Vemos que el término [texx]\displaystyle \left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx] va decreciendo a medida que aumenta el valor de [texx]\displaystyle n[/texx], pues la base toma un valor entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 1[/texx], que crece lentamente, mientras que el exponente toma un valor cada vez mayor, creciendo mucho más rápidamente. Cuando [texx]\displaystyle n[/texx] tiende a infinito, la potencia tiene a [texx]\displaystyle 0[/texx]. Tenemos que la probabilidad calculada es [texx]\displaystyle 1[/texx] menos este valor. Por tanto, al crecer [texx]\displaystyle n[/texx], la probabilidad aumenta. Esta probabilidad era la de que, elegidos todos los primos [texx]\displaystyle q[/texx] del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx], al menos uno de ellos sea tal que el valor [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo, de tal forma que, de ser así, el entero cumpliría la conjetura de Goldbach.

Así, pues, estadísticamente hablando vemos que es muy probable que la conjetura de Goldbach se cumpla.

Espero no haberme equivocado en los cálculos.
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feriva
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« Respuesta #103 : 12/06/2017, 07:08:01 am »


Buenos días sqrmatrix, me alegro de verte.

No tengo los ojos para hacer muchos esfuerzos pero doy por hecho que las cuentas del desarrollo que haces son correctas (y por lo que he leído tiene toda la pinta, me parece coherente lo que dices).

Además, me lo creo también porque me parece intuitivamente lógico; como comenté una vez, la cantidad de parejas de primos que suman el par aumentan pese a que la densidad disminuye, la conjetura va cumpliéndose desde ese punto de vista a “contrapelo”; y eso para mí es un fuerte indicio de que no se cumple sólo por casualidad o una cuestión estadística; tiene que haber una razón para que se cumpla más allá de la las apariencias. Con ello intuí algo que sé que es imposible :sonrisa: que en el infinito las parejas posibles que suman un par (con naturales de todo tipo) fueran más abundantes respecto del tipo p+p; pero esto no puede ser, claro, eso sólo pasa al principio, con los pares pequeños.
Lo que intuyo que ocurre en realidad es que en el infinito, de una manera que no podemos comprender debido a la propiedad de clausura (que se impone ella sola por lógica de una forma natural) los números, al dejar de ser naturales y no tener una dvisibilidad definida, son más parecidos a los primos que a los compuestos, son “más únicos”; o sea, a pesar de su irracionalidad siguen siendo “divisibles” entre ellos mismos y la unidad (entiéndase esto, que no es literal) me parece entrever que tienen más punto de contacto con los primos.

La propia conjetura débil está demostrada a partir de una cota donde ya tiene que cumplirse siempre; la primera “cota” de Vinogradov era totalmente imprecisa, en realidad no existía tal, pero fue el que abrió el camino (esto que traes me lo ha recordado).  De una manera más o menos similar ocurre con las demostraciones del Postulado del Bertrand y quizá con otras.

Me gusta lo que has analizado. Claro que a mí me mueve más el entender por qué tiene que ser así, me motiva el entenderlo de una forma inductiva; es dificílisimo, no te estoy pidiendo que me resuelvas ese problema, ya sé que es de soñador iluso. Sin embrago, aunque no se pudiera demostrar formalmente, me gustaría simplemente “ver” de alguna manera ese motivo, entenderlo para mí mismo, aunque no pudiera convencer a los demás; o encontrar a alguien que me convenciera a mí aunque no se admitiera su demostración por todos.

Ya sabes cuál es mi obsesión siempre que planteo el tema: la conjetura se cumple para muchos pares consecutivos. Suponemos que falla a partir de un primer par y, al hacerlo, esperamos que esa suposición resulte falsa por algo pero nadie ha visto ese algo en siglos. El problema fundamental es que siempre encontramos una pareja “p+p” (hasta ahora) pero también siempre existen parejas “p+c” para cualquier par salvlo los muy pequeños y, por tanto, no se puede uno apoyar en que sea absurdo que un número particular hipotético no sea un “p+p”, pues también es un “p+c” o un “c+p”; hay que trabajar con un número de combinaciones que no tiene límite; hasta que alguien encuentre una cota o algo; como con la débil.  Pero si llega a ocurrir eso (sólo eso sin más) sospecho que se seguirá sin ver el “mecanismo” que hay detrás de ello en cuanto a los entresijos de la divisibilidad.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #104 : 16/06/2017, 03:00:51 am »

Saludos de nuevo, feriva y Victor Luis.


------------------------------
Edición: Como bien señala feriva en el siguiente comentario, estos cálculos son erróneos, pues pueden generarse enteros mayores de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], y los estamos considerando como si estuvieran comprendidos en el intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx]
------------------------------
Otra cosa que se me ha ocurrido es mirar si hay suficientes primos teóricamente para generar todos los pares mediante sumas de dos primos. Resulta que sí, aunque esto no garantiza que se generen todos los pares. Sólo nos indica que hay suficientes para generarlos a todos si toman los valores adecuados.

Desarrollo

Supongamos que queremos generar todos los enteros pares mayores o iguales a [texx]\displaystyle 4[/texx] hasta un determinado valor [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], sumando pares de primos. Los primos necesarios para hacer esto serán los que estén dentro del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx]. Esta cantidad de primos viene dada por [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx]. Vamos a sumar pares de ellos, por lo que, en una primera aproximación, vamos a tener en total [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2[/texx] pares de primos (en este caso, no se tiene en cuenta que el par [texx]\displaystyle (p,q)[/texx] es el mismo que el par [texx]\displaystyle (q,p)[/texx], por lo que estamos contando más pares de los que en realidad hay, pero esto es una primera aproximación).

El número de enteros pares que hay entre [texx]\displaystyle 1[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] es de [texx]\displaystyle n[/texx] (contamos el [texx]\displaystyle 2[/texx], a pesar de que no será un par generado, ya que para grandes valores de [texx]\displaystyle n[/texx] este valor de más es despreciable). Para que haya suficientes primos para generar todos los pares de este intervalo tiene que ocurrir que [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2\ge n[/texx].

Si consideramos la aproximación [texx]\displaystyle \pi{(x)}\approx\dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx], tenemos que debe cumplirse [texx]\displaystyle \left(\dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}\right)^2\ge n[/texx]. Desarrollando, obtenemos al final que se tiene que cumplir [texx]\displaystyle 4\cdot n\ge\log^2{(2\cdot n)}[/texx]


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Esta última desigualdad se cumple para todos los valores de [texx]\displaystyle n[/texx] positivos, lo que nos indica que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores al sumarlos.

Pero este número de pares genera pares repetidos, con los primos intercambiados de orden. Si queremos determinar los pares sin repetición, debemos simplemente tomar como primer primo, cualquiera de los que hay en el intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx], y como segundo primo, uno mayor o igual que el que acabamos de tomar. Así, si tomamos el primero de los primos del intervalo, el segundo puede ser cualquiera de los demás primos, incluyendo el que acabamos de tomar, por lo que para el segundo podemos elegir [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx] primos diferentes. Si como primer primo tomamos el segundo de los primos del intervalo, el siguiente será cualquiera de los restantes, incluyendo el que acabamos de tomar, pero no el primero de los primos del intervalo, por lo que tendremos [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}-1[/texx] primos para elegir. Si tomamos el tercer primo del intervalo como primero del par, el otro sólo podrá ser uno de los [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}-2[/texx], etc. Al final, elegiremos como primer primo del par, el último del intervalo y, por tanto, como segundo primo del par sólo podremos elegir el último del intervalo. Tenemos, al final, para elegir, [texx]\displaystyle 1, 2, 3, ..., \pi{(2\cdot n)}[/texx] primos, que es una progresión aritmética cuya suma vale [texx]\displaystyle \dfrac{\pi{(2\cdot n)}\cdot (\pi{(2\cdot n)}+1)}{2}[/texx].

En lo anterior, hemos contado los pares en los que el primer primo es el [texx]\displaystyle 2[/texx], pero con éste sólo es válido el par [texx]\displaystyle (2,2)[/texx], pues el resto no tienen suma par al ser la suma de [texx]\displaystyle 2[/texx] con otro primo impar. Lo tenemos que descartar. Para ello, basta restar [texx]\displaystyle 1[/texx] al cálculo de la cantidad de primos. Nos queda al final un total de pares de [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(2\cdot n)}-1)\cdot \pi{(2\cdot n)}}{2}[/texx]. Como antes, tiene que cumplirse [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(2\cdot n)}-1)\cdot \pi{(2\cdot n)}}{2}\ge n[/texx]. Sustituyendo el valor de [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx] por [texx]\displaystyle \dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}[/texx] y desarrollando, obtenemos al final que se tiene que cumplir [texx]\displaystyle \dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}\ge\log{(2\cdot n)}+1[/texx]


Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Esta última desigualdad se cumple para todos los valores de [texx]\displaystyle n[/texx] positivos, lo que nos indica de nuevo que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores al sumarlos, y esta vez no hay pares de primos de más.
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« Respuesta #105 : 16/06/2017, 05:40:09 am »

Saludos de nuevo, feriva y Victor Luis.

Otra cosa que se me ha ocurrido es mirar si hay suficientes primos teóricamente para generar todos los pares mediante sumas de dos primos. Resulta que sí, aunque esto no garantiza que se generen todos los pares. Sólo nos indica que hay suficientes para generarlos a todos si toman los valores adecuados.

Desarrollo

Supongamos que queremos generar todos los enteros pares mayores o iguales a [texx]\displaystyle 4[/texx] hasta un determinado valor [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], sumando pares de primos. Los primos necesarios para hacer esto serán los que estén dentro del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx]. Esta cantidad de primos viene dada por [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx]. Vamos a sumar pares de ellos, por lo que, en una primera aproximación, vamos a tener en total [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2[/texx] pares de primos (en este caso, no se tiene en cuenta que el par [texx]\displaystyle (p,q)[/texx] es el mismo que el par [texx]\displaystyle (q,p)[/texx], por lo que estamos contando más pares de los que en realidad hay, pero esto es una primera aproximación).


Buenos días, sqrmatrix.

No sé si estoy entendiendo bien, vamos a ver con un ejemplo.

[texx]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
 [/texx]

Ahí tenemos cuatro primos y [texx]2n[/texx] es 10, pero si sumamos, por ejemplo, [texx]5+7[/texx] la suma es un par mayor que 2n y, aunque luego quitemos la repetición [texx]7+5[/texx] no lo solucionamos. Al combinar primos de dos en dos, hay una cantidad de sumas que no son válidas porque superan la cota 2n; ¿se está tomando esto en cuenta en el planteamiento? (a lo mejor sí, que también es que lo he mirado deprisa).

Un cordial saludo.
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« Respuesta #106 : 16/06/2017, 06:49:12 am »

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Uis, pues tienes razón. No me dí cuenta de que había pares de primos que sumaban más de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]. Vaya metedura de pata. Qué desastre :avergonzado:. Voy a marcarlo como erróneo, y voy a revisarlo, suponiendo que el primer primo es uno del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx], y el otro ya sí puede ser del intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx], a ver si sale algo (si sale algo, seguro que confirmará que hay suficientes primos. Sería muy raro lo contrario)


------------------------------
Edición

Estoy viendo que la cosa es más complicada de lo que en un primer momento pensé, pues el máximo valor de [texx]\displaystyle q[/texx] depende del valor de [texx]\displaystyle p[/texx], pues si no, si permitimos que [texx]\displaystyle q[/texx] tome el valor primo más cercano a [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], si el valor [texx]\displaystyle p[/texx] toma el valor primo más cercano a [texx]\displaystyle n[/texx], la suma de ambos será próxima a [texx]\displaystyle 3\cdot n[/texx], mayor que el máximo valor permitido para dicha suma, que es [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]. Miraré a ver si se me ocurre algo
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« Respuesta #107 : 16/06/2017, 08:01:41 am »


Estoy viendo que la cosa es más complicada de lo que en un primer momento pensé,

Claro que es complicado, es que estás apuntando al hueso del jamón :sonrisa: por ahí anda el arranque de lo que podría llevar a la prueba.

Efectivamente, ningún par de primos del intervalo [n.2n] sirve para combinar entre ellos, pues la suma será siempre mayor que “n”, dado que los dos serán igual o mayores que “n”.

Entonces, para seguir, hay que atender a las parejas que podamos formar con los del otro intervalo, (0,n) y todas valen, todas las sumas entre ellos serán menores que “2n” dado que ambos serán menores que “n”.

 Una vez obtenidas todas estas  parejas... viene el lío. Valen, de momento, todos los que sean iguales o menores que los simétricos de los primos de arriba; pero si contamos, como hipótesis, con que ningún simétrico respecto de los primos de arriba es primo, entonces no se cumple la conjetura por mucho que haya suficientes primos en el sentido que dices.

Es muy difícil, sin embargo, la idea de buscar por ahí es muy buena, ojalá encuentre alguna cosa; por pequeña que sea tendría interés para mí.

Saludos.
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« Respuesta #108 : 17/06/2017, 06:35:41 am »

Hola, sqrmatrix (y Víctor, si andas por aquí).

Tu idea me hizo distraerme del RSA y anduve pensando otra vez en Goldbach.

Se me ocurrió la siguiente idea, de la que no salió nada pese a que sobre el papel parecía prometedora (quizá yo no haya visto nada y sí se pueda sacar algo).

Voy a empezar enunciando una sencilla definición, algo que a lo que llamo zona Bertrand (Esto lo planteé así simplemente para organizarme al hacer el programa en cuanto a las variables y demás, si no, hubiera pasado de ello, ya que, se ve mucho más fácil de forma intuitiva con un ejemplo; que pondré después.)

Una zona Bertrand, como ya habrás sospechado, es cualquier intervalo de naturales [texx][m,2m]
 [/texx] encajado en un intervalo mayor [texx](0,n]
 [/texx]; en todos los casos hasta ahora, como ya sabes también, siempre he usado el intervalo abierto por los dos lados, ya que, el caso “2n”, cuando n es primo, es trivial en cuanto al cumplimiento de la conjetura, y, por otra parte, 2n suma con 0 y tampoco vale. Pero, por una cuestión de comodida al programar, metí la “n” dentro.

Del mismo modo, en cuanto al postulado de Bertrand, también me gusta más considerar el intervalo abierto, pero aquí lo uso cerrado por los dos lados.

Aunque no sirva para nada en la conjetura, esto, [texx][1,2]
 [/texx], es la primera zona Bertrand; sólo sirve para el par 4, 2+2.

En una zona Bertrand distinguiremos dos cosas: la cantidad de elementos entre “m” y “2m” ambos incluidos (a lo que podemos llamar longitud [texx]{\color{blue}L}
 [/texx]) y la distancia entre “2m” y “n”, o sea [texx]{\color{blue}D}=n-2m
 [/texx] siendo siempre (por la definición de zona Bertrand) [texx]n\geq2m
 [/texx].

A partir de estas definiciones, podemos definir lo que llamaré zonas simétricas Bertrand; que supongo que ya te las vas imaginando.

Las zonas simétricas estarán siempre en el intervalo [n,2n] y empezaran por el elemento [texx]n+d[/texx], el cual está a la misma distancia respecto de “n” que está el elemento [texx]2m[/texx]. A partir de ahí, la zona simétrica tendrá la misma longitud que la otra, [texx]{\color{blue}L}
 [/texx].

Es decir, con un ejemplo:

[texx]0,1,{\color{blue}2,3,4},5,{\color{magenta}6},7,{\color{blue}8,9,10},11,12
 [/texx] con n=6.

A la zona Bertrand [2,4] le corresponde su simétrica [8,10], ambas están a la misma distancia de respecto de “n” y ambas tienen 3 elementos. La zona [3,6] (que no la he puesto en colores) se corresponde con la [6,9], pues la distancia es cero para ambas y la cantidad de elementos es cuatro.

Con esta idea, a la vez, me vino a la cabeza una conjetura que, también enseguida, vi que era falsa con un par de contraejemplos: las zonas simétricas no tienen por qué contener siempre algún primo, por el contrario respecto de las zonas Bertrand.

Se intuye (con gran fuerza, se ve que es así seguro) que esto tiene una clara razón de ser; si fuera de otra manera no cabrían los compuestos que corresponden a cada intervalo a partir de los primos anteriores; pero no deja de ser intuición por el momento, abría que probarlo y no sé si es fácil o difícil hacerlo, no he pensado más en ello.

Hice un programa buscando algo. Lo único que vi fue que para casi todos los “n” siempre existe alguna zona simétrica sin primos; pero algunos “n” salteados, y poco densos, todas las zonas simétricas tienen algún primo. No guardé datos, pero en 400 o así había unos 6 o siete nada más, una cosa así más o menos; y se mantenían a unas distancias no muy irregulares, me pareció que iba a significar algo más concreto, pero el Wolfram no me dio ningún término general para esa sucesión y tampoco descubrí ninguna curiosidad a simple vista.

Pero aun sin resultados claros, podemos hacer nuevas conjeturas; la propia conjetura fuerte, de cumplirse, implica que para todo “n” existe siempre al menos una zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo; pues todos los primos existentes del intervalo [texx](0,n)[/texx] están contenidos en esas zonas Bertrand encajadas.

Por tanto, el conjeturar que para todo “n” siempre existe alguna zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo, es menos fuerte que la conjetura original; es condición necesaria pero no suficiente. Y quizá, en el ataque de lo que nos ocupa, sería buena idea intentar demostrar esto primero (que debe de ser dificilísimo también) y dejar las especulaciones sobre lo otro para cuando se consiga este requisito  (Ahora que lo pienso creo que esto que he dicho en este párrafo es una tontería, me parece que es bastante obvio que siempre existe una zona simétrica con primos por el propio postulado)

En principio, se me antoja una demostración que, en teoría, debe de ser un poquitín menos difícil. Para empezar, no necesitamos demostrar que existen primos en posiciones “únicas” y concretas tales que sean simétricos respecto de “n”, sino zonas simétricas con primos donde hay muchos números; es algo así como con las partículas cuánticas, donde la partícula está aquí o allá, o puede estar en todos sitios de alguna manera y no se puede concretar, pero sí se puede restringir una zona en la que la probabilidad de que esté es del 100% (o casi, no sé si del todo).

Si se demuestra esto, se demuestra que la conjetura es aún más probable; pues al ser las zonas más pequeñas que los intervalos (0,n) y (n,2n) hay menos números y es más fácil que coincidan los primos; o al menos eso me parece ver; y será más de esa manera cuantas más zonas Bertrand-simétricas que contengan primos haya.

Aunque al final se sacar