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Autor Tema: Memorias sobre la CF de Goldbach  (Leído 17570 veces)
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Víctor Luis
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« Respuesta #100 : 30/05/2017, 02:26:58 pm »

Buenas Feriva y SqrMatrix(matrixiado...) ....


• Como bien dice Feriva... estamos en eso de factorizar, lo que digo es, "nuestro" RSA-230, aunque en verdad, la autoría de la conformación de este compuesto es de los señores de RSA,... estimo, será de propiedad factorizable, de quién primero logre determinar sus dos únicos divisores, que por demás esta decir son primos.
→ Comentarles,... que estoy analizando, un criterio que me surgió, para determinar una proporción ciclica "extra-estructural", ya que si conformamos un compuesto semiprimo, de digamos 30 digitos, los divisores serán de hasta 15 digitos, dándose muchísimos candidatos primos, a ser el único divisor [texx]p[/texx]

• En el criterio estructural, no aplicamos este criterio, que nos quisiera encaminar a un proceso complejo de realizar.
→ Mas siendo el compuesto semiprimo de 100 digitos, nos aletargaríamos mas, considerando la complejidad supuesta para el de 30 digitos.

• Aplicando la evaluación estructural, en el compuesto de 100 digitos,... es en el criterio operacional (lineal) complejo, lo que ya apliqué en el RSA-230, y es como buscar determinar una minúscula gota de H2O, en todos los océanos de nuestro planeta,... donde, sabiendo qué valoración esperar y/o determinar, es como comparar, cada gota de los océanos con el criterio de valoración de nuestra gota a determinar, que no es lo mismo, que determinar naturales primos (por si acaso...)
→ Entonces... evaluar cada gota estructural, esperando dar con una gota de valoración de referencia, es,... complejo, por mas que avancemos a grandes pasos, respecto al criterio del enfoque divisibilístico, que se enfoca en determinar uno de los divisores del compuesto semiprimo [texx]m[/texx]

• Ante esto, me planteé, buscar un otro criterio, pára llegar a dar con una proporción ciclica, donde en compuestos PIG[13] con ambos divisores de la clase [texx]Zpm[a][/texx] para cualquier proporción [texx]Kp[/texx] que tenga el divisor [texx]p[/texx] respecto a su raiz cuadrada,... sucede, que la complejidad es enormemente proporcional, al tamaño del compuesto, donde además, no sabemos, ni por si acaso, la mitad de los digitos que conforman a este divisor, como tampoco, una aproximación de su proporción [texx]Kp[/texx].
→ Como la raiz cuadrada, tampoco es de ayuda, (ya entrando al criterio estructural, netamente,...) Partimos de la zona de factorización, que como le dije a Feriva, esto ya lo tenemos ajustado, donde realizar una evaluación estructural (lineal) es lo mismo que lo que dije antes.

• Es entonces, que se me ocurrió, iniciar una iteración desde la zona de factorización estructural, incrementando una proporción dada para esta con la raiz, en una cantidad iterativa, que estoy analizando, de tal forma que determinemos una proporción ciclica extra-estructural, las que se operarán en gran cantidad; pero sin evaluar todas, tan solo, los que nos den un residuo mínimo, respecto al dividir entre el valor entero del compuesto [texx]m[/texx]
→ Si me han comprendido,... no realizamos evaluaciones ni valoraciones estructurales, en residuos grandes, los que se dan, al igual que el tamaño en digitos, de la raiz cuadrada del compuesto,... sino, que me dije, que debe darse, en algún punto del proceso iterativo, un residuo extra-estructural mínimo, de hasta el doble de las valoraciones iniciales de referencia y es esto, lo que Python, está evaluando, que en todos los casos de compuestos PIG[13] donde sabemos de sus divisores, la iteración en base a su punto de factorización, nos lleva a una proporción ciclica extra-estructural.
→ Habiéndose cumplido esto,... como dije, no sabemos de los divisores [texx]p[/texx] ni [texx]q[/texx] del compuesto [texx]m[/texx], como tampoco de su proporción [texx]Kp[/texx], donde partiendo la iteración desde la "zona de factorización" (ajustada) resulta que llegamos a determinar una proporción ciclica extra-estructural, en los casos de compuestos evaluados según este criterio, que Python está procesando.

• Aclarando,... que NO realizamos la evaluación de cada iteración, iniciada desde la zona de factorización, tan solo, cuando el residuo de la iteración, sea mínimo, el cual coincide con realizar, contados procesos evaluativos, al darse esto, cuando estamos, tan cerca, de una proporción ciclica,.... faltando confirmar, comprobatoriamente esto, luego que Python, complete sus evaluaciones hasta [texx]Kp=23 \%[/texx] desde compuestos de 10 digitos.
→ Luego de esto, será aplicar al RSA-230, iterando desde su zona de factorización (ajustada), supongo en una cantidad enorme de iteraciones, donde "reitero" no evaluamos nada, sin que se dé, un residuo mínimo, pues esto, se está cumpliendo en los compuestos que analiza Python y de darse esto, ya tendremos, una proporción ciclica extra-estructural, lo cual, aún, no tengo nada semi-desarrollado, (mas que analisis anteriores) de reducir y/o simplificar a una de las proporciones ciclicas estructurales, con lo cual, ya daremos por factorizado a cualquier compuesto [texx]m[/texx], procediendo recién, a realizar el proceso operacional, que es lo que nos dá complejidad del proceso de factorización.


○ Bueno.... en esto estoy ocupándome, con las disculpas, que como ya dije, me distancio del enfoque de nuestra matemática actual (en Teoría de Números) sumergiéndome, en el enfoque estructural,... comentado ya a Feriva.



Saludos Cordiales...
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« Respuesta #101 : 30/05/2017, 02:47:03 pm »

Saludos, Victor Luis.

Me alegro de volver a hablar contigo. Tengo que leer lo que has estado planteando este tiempo que he estado ausente, a ver si puedo aportar algo al tema de la factorización que has estado desarrollando
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sqrmatrix
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« Respuesta #102 : 12/06/2017, 05:35:28 am »

Saludos, feriva, Victor Luis, y los que visiten este hilo.

Se me ha ocurrido algo. He pensado en hacer un cálculo aproximado de las probabilidades de que un entero par de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] cumpla la conjetura de Goldbach. La fórmula que he obtenido es:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx]

Ésta se puede aproximar como:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Hallando límites, se simplifica como:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Esta última fórmula nos dice que la probabilidad de que un entero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] cumpla la conjetura de Goldbach es tanto mayor cuanto mayor sea el entero, y en el límite es del 100%.

Voy a desarrollar la forma de obtenerla.

Desarrollo:

Sea el entero par [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] un entero que cumple la conjetura de Goldbach. Siendo así, podemos expresarlo como [texx]\displaystyle 2\cdot n=p+q[/texx], con [texx]\displaystyle p[/texx] y [texx]\displaystyle q[/texx] primos. Supongamos que [texx]\displaystyle p\le q[/texx]. Sabemos que [texx]\displaystyle p[/texx] estará dentro del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx], y [texx]\displaystyle q[/texx] dentro del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx].

El número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx] viene dado por [texx]\displaystyle \pi(n)[/texx]. Para simplificar, vamos a excluir de ese intervalo el valor [texx]\displaystyle 0[/texx], de forma que tenemos el intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx], que tiene en total [texx]\displaystyle n[/texx] enteros. La proporción de primos en dicho intervalo vendrá dada por [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx]. Si elegimos al azar un entero de ese intervalo, la probabilidad de que sea primo será precisamente de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx].

Para obtener la expresión de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] como suma de dos primos, tenemos que elegir un primo de uno de los anteriores intervalos, y ver si el otro entero es primo o no. En este caso, cojamos un primo [texx]\displaystyle q[/texx] del segundo intervalo, [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx]. El entero del primer intervalo que debemos coger para expresar el eltero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] como suma de ambos será [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx], que de momento no sabemos si será primo o compuesto.

Vamos a suponer que el valor [texx]\displaystyle p[/texx] es aleatorio, ya que depende del valor [texx]\displaystyle q[/texx], que ha de ser primo, y el correspondiente valor de [texx]\displaystyle p[/texx] no sabemos a priori si será primo o no. Con esta suposición, tenemos que, la probabilidad de que [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo es la calculada antes, es decir, [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx]. Así, cada vez que elegimos un primo [texx]\displaystyle q[/texx] del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx], la probabilidad de que [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo es de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx].

Pero en el intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx] tenemos una cierta cantidad de primos, que podemos calcular como [texx]\displaystyle \pi(2\cdot n)-\pi(n)[/texx], es decir, el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx] menos el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx]. Por cada uno de estos primos [texx]\displaystyle q[/texx], tenemos una probabilidad de [texx]\displaystyle \frac{\pi(n)}{n}[/texx] de que el entero [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo. Nos preguntamos qué probabilidad hay de que en al menos uno de estos intentos obtengamos un primo.

Para simplificar este cálculo, haremos el clásico cálculo de la probabilidad del suceso opuesto, que en este caso, será calcular la probabilidad de que en todos los intentos obtengamos un entero compuesto. La probabilidad de que el valor [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea compuesto será de [texx]\displaystyle 1-\frac{\pi(n)}{n}[/texx], es decir, la opuesta de que sea primo. Si realizamos [texx]\displaystyle k[/texx] intentos, la probabilidad de que en todos ellos obtengamos un compuesto será de [texx]\displaystyle \left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^k[/texx]. En nuesto caso, el número de intentos será el número de primos del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx]. Por tanto, si probamos con todos los primos de dicho intervalo, la probabilidad de que ninguno de los valores sea primo será de [texx]\displaystyle \left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx]. Pero como lo que nos interesa es ver la probabilidad de que al menos uno de los valores sí sea primo, bastará calcular la probabilidad del suceso opuesto, que será [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\pi(n)}{n}\right)^{\pi(2\cdot n)-\pi(n)}[/texx].

El problema que tenemos con esta fórmula es que el valor de la función [texx]\displaystyle \pi(n)[/texx] no lo podemos conocer con exactitud sin comprobar todos los enteros menores o iguales a [texx]\displaystyle n[/texx]. Así que usaremos la aproximación dada por el Teorema de los Números Primos [texx]\displaystyle \pi(n)\approx \frac{n}{\log{(n)}}[/texx]. Sustituyendo en la fórmula obtenida antes, tenemos la aproximación [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{\frac{n}{\log{(n)}}}{n}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]. Simplificando, queda [texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx].

Podemos desarrollar el exponente:

[texx]\displaystyle
\frac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}-\frac{n}{\log{(n)}}= \\
\frac{2\cdot n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2\cdot n)}}{\log{(2\cdot n)}\cdot\log{(n)}}= \\
\frac{2\cdot n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{\log{(n)}\cdot(\log{(n)}+\log{(2)})}= \\
\frac{n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}
[/texx]

Podemos hallar límites cuando [texx]\displaystyle n[/texx] es un valor suficientemente grande. Desarrollemos:

[texx]\displaystyle
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot\log{(n)}-n\cdot\log{(2)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot(\log{(n)}-\log{(2)})}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n\cdot\log{(n)}}{(\log{(n)})^2+\log{(2)}\cdot\log{(n)})}}= \\
\lim_{n\to\infty}{\frac{n}{\log{(n)}+\log{(2)}}}= \\
\frac{n}{\log{(n)}}
[/texx]

Queda al final la expresión para la probabilidad:

[texx]\displaystyle 1-\left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx]

Vemos que el término [texx]\displaystyle \left(1-\frac{1}{\log{(n)}}\right)^{\frac{n}{\log{(n)}}}[/texx] va decreciendo a medida que aumenta el valor de [texx]\displaystyle n[/texx], pues la base toma un valor entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 1[/texx], que crece lentamente, mientras que el exponente toma un valor cada vez mayor, creciendo mucho más rápidamente. Cuando [texx]\displaystyle n[/texx] tiende a infinito, la potencia tiene a [texx]\displaystyle 0[/texx]. Tenemos que la probabilidad calculada es [texx]\displaystyle 1[/texx] menos este valor. Por tanto, al crecer [texx]\displaystyle n[/texx], la probabilidad aumenta. Esta probabilidad era la de que, elegidos todos los primos [texx]\displaystyle q[/texx] del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n][/texx], al menos uno de ellos sea tal que el valor [texx]\displaystyle p=2\cdot n-q[/texx] sea primo, de tal forma que, de ser así, el entero cumpliría la conjetura de Goldbach.

Así, pues, estadísticamente hablando vemos que es muy probable que la conjetura de Goldbach se cumpla.

Espero no haberme equivocado en los cálculos.
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feriva
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« Respuesta #103 : 12/06/2017, 07:08:01 am »


Buenos días sqrmatrix, me alegro de verte.

No tengo los ojos para hacer muchos esfuerzos pero doy por hecho que las cuentas del desarrollo que haces son correctas (y por lo que he leído tiene toda la pinta, me parece coherente lo que dices).

Además, me lo creo también porque me parece intuitivamente lógico; como comenté una vez, la cantidad de parejas de primos que suman el par aumentan pese a que la densidad disminuye, la conjetura va cumpliéndose desde ese punto de vista a “contrapelo”; y eso para mí es un fuerte indicio de que no se cumple sólo por casualidad o una cuestión estadística; tiene que haber una razón para que se cumpla más allá de la las apariencias. Con ello intuí algo que sé que es imposible :sonrisa: que en el infinito las parejas posibles que suman un par (con naturales de todo tipo) fueran más abundantes respecto del tipo p+p; pero esto no puede ser, claro, eso sólo pasa al principio, con los pares pequeños.
Lo que intuyo que ocurre en realidad es que en el infinito, de una manera que no podemos comprender debido a la propiedad de clausura (que se impone ella sola por lógica de una forma natural) los números, al dejar de ser naturales y no tener una dvisibilidad definida, son más parecidos a los primos que a los compuestos, son “más únicos”; o sea, a pesar de su irracionalidad siguen siendo “divisibles” entre ellos mismos y la unidad (entiéndase esto, que no es literal) me parece entrever que tienen más punto de contacto con los primos.

La propia conjetura débil está demostrada a partir de una cota donde ya tiene que cumplirse siempre; la primera “cota” de Vinogradov era totalmente imprecisa, en realidad no existía tal, pero fue el que abrió el camino (esto que traes me lo ha recordado).  De una manera más o menos similar ocurre con las demostraciones del Postulado del Bertrand y quizá con otras.

Me gusta lo que has analizado. Claro que a mí me mueve más el entender por qué tiene que ser así, me motiva el entenderlo de una forma inductiva; es dificílisimo, no te estoy pidiendo que me resuelvas ese problema, ya sé que es de soñador iluso. Sin embrago, aunque no se pudiera demostrar formalmente, me gustaría simplemente “ver” de alguna manera ese motivo, entenderlo para mí mismo, aunque no pudiera convencer a los demás; o encontrar a alguien que me convenciera a mí aunque no se admitiera su demostración por todos.

Ya sabes cuál es mi obsesión siempre que planteo el tema: la conjetura se cumple para muchos pares consecutivos. Suponemos que falla a partir de un primer par y, al hacerlo, esperamos que esa suposición resulte falsa por algo pero nadie ha visto ese algo en siglos. El problema fundamental es que siempre encontramos una pareja “p+p” (hasta ahora) pero también siempre existen parejas “p+c” para cualquier par salvlo los muy pequeños y, por tanto, no se puede uno apoyar en que sea absurdo que un número particular hipotético no sea un “p+p”, pues también es un “p+c” o un “c+p”; hay que trabajar con un número de combinaciones que no tiene límite; hasta que alguien encuentre una cota o algo; como con la débil.  Pero si llega a ocurrir eso (sólo eso sin más) sospecho que se seguirá sin ver el “mecanismo” que hay detrás de ello en cuanto a los entresijos de la divisibilidad.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #104 : 16/06/2017, 03:00:51 am »

Saludos de nuevo, feriva y Victor Luis.


------------------------------
Edición: Como bien señala feriva en el siguiente comentario, estos cálculos son erróneos, pues pueden generarse enteros mayores de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], y los estamos considerando como si estuvieran comprendidos en el intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx]
------------------------------
Otra cosa que se me ha ocurrido es mirar si hay suficientes primos teóricamente para generar todos los pares mediante sumas de dos primos. Resulta que sí, aunque esto no garantiza que se generen todos los pares. Sólo nos indica que hay suficientes para generarlos a todos si toman los valores adecuados.

Desarrollo

Supongamos que queremos generar todos los enteros pares mayores o iguales a [texx]\displaystyle 4[/texx] hasta un determinado valor [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], sumando pares de primos. Los primos necesarios para hacer esto serán los que estén dentro del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx]. Esta cantidad de primos viene dada por [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx]. Vamos a sumar pares de ellos, por lo que, en una primera aproximación, vamos a tener en total [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2[/texx] pares de primos (en este caso, no se tiene en cuenta que el par [texx]\displaystyle (p,q)[/texx] es el mismo que el par [texx]\displaystyle (q,p)[/texx], por lo que estamos contando más pares de los que en realidad hay, pero esto es una primera aproximación).

El número de enteros pares que hay entre [texx]\displaystyle 1[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] es de [texx]\displaystyle n[/texx] (contamos el [texx]\displaystyle 2[/texx], a pesar de que no será un par generado, ya que para grandes valores de [texx]\displaystyle n[/texx] este valor de más es despreciable). Para que haya suficientes primos para generar todos los pares de este intervalo tiene que ocurrir que [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2\ge n[/texx].

Si consideramos la aproximación [texx]\displaystyle \pi{(x)}\approx\dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx], tenemos que debe cumplirse [texx]\displaystyle \left(\dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}\right)^2\ge n[/texx]. Desarrollando, obtenemos al final que se tiene que cumplir [texx]\displaystyle 4\cdot n\ge\log^2{(2\cdot n)}[/texx]


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Esta última desigualdad se cumple para todos los valores de [texx]\displaystyle n[/texx] positivos, lo que nos indica que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores al sumarlos.

Pero este número de pares genera pares repetidos, con los primos intercambiados de orden. Si queremos determinar los pares sin repetición, debemos simplemente tomar como primer primo, cualquiera de los que hay en el intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx], y como segundo primo, uno mayor o igual que el que acabamos de tomar. Así, si tomamos el primero de los primos del intervalo, el segundo puede ser cualquiera de los demás primos, incluyendo el que acabamos de tomar, por lo que para el segundo podemos elegir [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx] primos diferentes. Si como primer primo tomamos el segundo de los primos del intervalo, el siguiente será cualquiera de los restantes, incluyendo el que acabamos de tomar, pero no el primero de los primos del intervalo, por lo que tendremos [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}-1[/texx] primos para elegir. Si tomamos el tercer primo del intervalo como primero del par, el otro sólo podrá ser uno de los [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}-2[/texx], etc. Al final, elegiremos como primer primo del par, el último del intervalo y, por tanto, como segundo primo del par sólo podremos elegir el último del intervalo. Tenemos, al final, para elegir, [texx]\displaystyle 1, 2, 3, ..., \pi{(2\cdot n)}[/texx] primos, que es una progresión aritmética cuya suma vale [texx]\displaystyle \dfrac{\pi{(2\cdot n)}\cdot (\pi{(2\cdot n)}+1)}{2}[/texx].

En lo anterior, hemos contado los pares en los que el primer primo es el [texx]\displaystyle 2[/texx], pero con éste sólo es válido el par [texx]\displaystyle (2,2)[/texx], pues el resto no tienen suma par al ser la suma de [texx]\displaystyle 2[/texx] con otro primo impar. Lo tenemos que descartar. Para ello, basta restar [texx]\displaystyle 1[/texx] al cálculo de la cantidad de primos. Nos queda al final un total de pares de [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(2\cdot n)}-1)\cdot \pi{(2\cdot n)}}{2}[/texx]. Como antes, tiene que cumplirse [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(2\cdot n)}-1)\cdot \pi{(2\cdot n)}}{2}\ge n[/texx]. Sustituyendo el valor de [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx] por [texx]\displaystyle \dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}[/texx] y desarrollando, obtenemos al final que se tiene que cumplir [texx]\displaystyle \dfrac{2\cdot n}{\log{(2\cdot n)}}\ge\log{(2\cdot n)}+1[/texx]


Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Esta última desigualdad se cumple para todos los valores de [texx]\displaystyle n[/texx] positivos, lo que nos indica de nuevo que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores al sumarlos, y esta vez no hay pares de primos de más.
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« Respuesta #105 : 16/06/2017, 05:40:09 am »

Saludos de nuevo, feriva y Victor Luis.

Otra cosa que se me ha ocurrido es mirar si hay suficientes primos teóricamente para generar todos los pares mediante sumas de dos primos. Resulta que sí, aunque esto no garantiza que se generen todos los pares. Sólo nos indica que hay suficientes para generarlos a todos si toman los valores adecuados.

Desarrollo

Supongamos que queremos generar todos los enteros pares mayores o iguales a [texx]\displaystyle 4[/texx] hasta un determinado valor [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], sumando pares de primos. Los primos necesarios para hacer esto serán los que estén dentro del intervalo [texx]\displaystyle [1,2\cdot n][/texx]. Esta cantidad de primos viene dada por [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}[/texx]. Vamos a sumar pares de ellos, por lo que, en una primera aproximación, vamos a tener en total [texx]\displaystyle \pi{(2\cdot n)}^2[/texx] pares de primos (en este caso, no se tiene en cuenta que el par [texx]\displaystyle (p,q)[/texx] es el mismo que el par [texx]\displaystyle (q,p)[/texx], por lo que estamos contando más pares de los que en realidad hay, pero esto es una primera aproximación).


Buenos días, sqrmatrix.

No sé si estoy entendiendo bien, vamos a ver con un ejemplo.

[texx]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
 [/texx]

Ahí tenemos cuatro primos y [texx]2n[/texx] es 10, pero si sumamos, por ejemplo, [texx]5+7[/texx] la suma es un par mayor que 2n y, aunque luego quitemos la repetición [texx]7+5[/texx] no lo solucionamos. Al combinar primos de dos en dos, hay una cantidad de sumas que no son válidas porque superan la cota 2n; ¿se está tomando esto en cuenta en el planteamiento? (a lo mejor sí, que también es que lo he mirado deprisa).

Un cordial saludo.
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« Respuesta #106 : 16/06/2017, 06:49:12 am »

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Uis, pues tienes razón. No me dí cuenta de que había pares de primos que sumaban más de [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]. Vaya metedura de pata. Qué desastre :avergonzado:. Voy a marcarlo como erróneo, y voy a revisarlo, suponiendo que el primer primo es uno del intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx], y el otro ya sí puede ser del intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx], a ver si sale algo (si sale algo, seguro que confirmará que hay suficientes primos. Sería muy raro lo contrario)


------------------------------
Edición

Estoy viendo que la cosa es más complicada de lo que en un primer momento pensé, pues el máximo valor de [texx]\displaystyle q[/texx] depende del valor de [texx]\displaystyle p[/texx], pues si no, si permitimos que [texx]\displaystyle q[/texx] tome el valor primo más cercano a [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], si el valor [texx]\displaystyle p[/texx] toma el valor primo más cercano a [texx]\displaystyle n[/texx], la suma de ambos será próxima a [texx]\displaystyle 3\cdot n[/texx], mayor que el máximo valor permitido para dicha suma, que es [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]. Miraré a ver si se me ocurre algo
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« Respuesta #107 : 16/06/2017, 08:01:41 am »


Estoy viendo que la cosa es más complicada de lo que en un primer momento pensé,

Claro que es complicado, es que estás apuntando al hueso del jamón :sonrisa: por ahí anda el arranque de lo que podría llevar a la prueba.

Efectivamente, ningún par de primos del intervalo [n.2n] sirve para combinar entre ellos, pues la suma será siempre mayor que “n”, dado que los dos serán igual o mayores que “n”.

Entonces, para seguir, hay que atender a las parejas que podamos formar con los del otro intervalo, (0,n) y todas valen, todas las sumas entre ellos serán menores que “2n” dado que ambos serán menores que “n”.

 Una vez obtenidas todas estas  parejas... viene el lío. Valen, de momento, todos los que sean iguales o menores que los simétricos de los primos de arriba; pero si contamos, como hipótesis, con que ningún simétrico respecto de los primos de arriba es primo, entonces no se cumple la conjetura por mucho que haya suficientes primos en el sentido que dices.

Es muy difícil, sin embargo, la idea de buscar por ahí es muy buena, ojalá encuentre alguna cosa; por pequeña que sea tendría interés para mí.

Saludos.
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« Respuesta #108 : 17/06/2017, 06:35:41 am »

Hola, sqrmatrix (y Víctor, si andas por aquí).

Tu idea me hizo distraerme del RSA y anduve pensando otra vez en Goldbach.

Se me ocurrió la siguiente idea, de la que no salió nada pese a que sobre el papel parecía prometedora (quizá yo no haya visto nada y sí se pueda sacar algo).

Voy a empezar enunciando una sencilla definición, algo que a lo que llamo zona Bertrand (Esto lo planteé así simplemente para organizarme al hacer el programa en cuanto a las variables y demás, si no, hubiera pasado de ello, ya que, se ve mucho más fácil de forma intuitiva con un ejemplo; que pondré después.)

Una zona Bertrand, como ya habrás sospechado, es cualquier intervalo de naturales [texx][m,2m]
 [/texx] encajado en un intervalo mayor [texx](0,n]
 [/texx]; en todos los casos hasta ahora, como ya sabes también, siempre he usado el intervalo abierto por los dos lados, ya que, el caso “2n”, cuando n es primo, es trivial en cuanto al cumplimiento de la conjetura, y, por otra parte, 2n suma con 0 y tampoco vale. Pero, por una cuestión de comodida al programar, metí la “n” dentro.

Del mismo modo, en cuanto al postulado de Bertrand, también me gusta más considerar el intervalo abierto, pero aquí lo uso cerrado por los dos lados.

Aunque no sirva para nada en la conjetura, esto, [texx][1,2]
 [/texx], es la primera zona Bertrand; sólo sirve para el par 4, 2+2.

En una zona Bertrand distinguiremos dos cosas: la cantidad de elementos entre “m” y “2m” ambos incluidos (a lo que podemos llamar longitud [texx]{\color{blue}L}
 [/texx]) y la distancia entre “2m” y “n”, o sea [texx]{\color{blue}D}=n-2m
 [/texx] siendo siempre (por la definición de zona Bertrand) [texx]n\geq2m
 [/texx].

A partir de estas definiciones, podemos definir lo que llamaré zonas simétricas Bertrand; que supongo que ya te las vas imaginando.

Las zonas simétricas estarán siempre en el intervalo [n,2n] y empezaran por el elemento [texx]n+d[/texx], el cual está a la misma distancia respecto de “n” que está el elemento [texx]2m[/texx]. A partir de ahí, la zona simétrica tendrá la misma longitud que la otra, [texx]{\color{blue}L}
 [/texx].

Es decir, con un ejemplo:

[texx]0,1,{\color{blue}2,3,4},5,{\color{magenta}6},7,{\color{blue}8,9,10},11,12
 [/texx] con n=6.

A la zona Bertrand [2,4] le corresponde su simétrica [8,10], ambas están a la misma distancia de respecto de “n” y ambas tienen 3 elementos. La zona [3,6] (que no la he puesto en colores) se corresponde con la [6,9], pues la distancia es cero para ambas y la cantidad de elementos es cuatro.

Con esta idea, a la vez, me vino a la cabeza una conjetura que, también enseguida, vi que era falsa con un par de contraejemplos: las zonas simétricas no tienen por qué contener siempre algún primo, por el contrario respecto de las zonas Bertrand.

Se intuye (con gran fuerza, se ve que es así seguro) que esto tiene una clara razón de ser; si fuera de otra manera no cabrían los compuestos que corresponden a cada intervalo a partir de los primos anteriores; pero no deja de ser intuición por el momento, abría que probarlo y no sé si es fácil o difícil hacerlo, no he pensado más en ello.

Hice un programa buscando algo. Lo único que vi fue que para casi todos los “n” siempre existe alguna zona simétrica sin primos; pero algunos “n” salteados, y poco densos, todas las zonas simétricas tienen algún primo. No guardé datos, pero en 400 o así había unos 6 o siete nada más, una cosa así más o menos; y se mantenían a unas distancias no muy irregulares, me pareció que iba a significar algo más concreto, pero el Wolfram no me dio ningún término general para esa sucesión y tampoco descubrí ninguna curiosidad a simple vista.

Pero aun sin resultados claros, podemos hacer nuevas conjeturas; la propia conjetura fuerte, de cumplirse, implica que para todo “n” existe siempre al menos una zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo; pues todos los primos existentes del intervalo [texx](0,n)[/texx] están contenidos en esas zonas Bertrand encajadas.

Por tanto, el conjeturar que para todo “n” siempre existe alguna zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo, es menos fuerte que la conjetura original; es condición necesaria pero no suficiente. Y quizá, en el ataque de lo que nos ocupa, sería buena idea intentar demostrar esto primero (que debe de ser dificilísimo también) y dejar las especulaciones sobre lo otro para cuando se consiga este requisito  (Ahora que lo pienso creo que esto que he dicho en este párrafo es una tontería, me parece que es bastante obvio que siempre existe una zona simétrica con primos por el propio postulado)

En principio, se me antoja una demostración que, en teoría, debe de ser un poquitín menos difícil. Para empezar, no necesitamos demostrar que existen primos en posiciones “únicas” y concretas tales que sean simétricos respecto de “n”, sino zonas simétricas con primos donde hay muchos números; es algo así como con las partículas cuánticas, donde la partícula está aquí o allá, o puede estar en todos sitios de alguna manera y no se puede concretar, pero sí se puede restringir una zona en la que la probabilidad de que esté es del 100% (o casi, no sé si del todo).

Si se demuestra esto, se demuestra que la conjetura es aún más probable; pues al ser las zonas más pequeñas que los intervalos (0,n) y (n,2n) hay menos números y es más fácil que coincidan los primos; o al menos eso me parece ver; y será más de esa manera cuantas más zonas Bertrand-simétricas que contengan primos haya.

Aunque al final se sacara poco de esta idea, creo que es interesante en cuanto a la distribución de los primos; objetivamente, no porque lo diga yo, creo que es patente que tiene que tener una relación íntima con el tema porque el postulado de Bertrand en sí la tiene.

...

Sigo un poco.

En un intervalo (0,n) la cantidad de zonas Bertrand no encajadas entre sí nos da un mínimo, seguro, de primos existentes en dicho en intervalo; esta cantidad vendrá dada por “k” en la expresión

[texx]\dfrac{n}{2^{k}}
 [/texx]

de tal forma que el valor de la fracción no sea menor que 1.

si n= 7, por ejemplo, podemos dividir dos veces entre dos y el mínimo de primos en (0,7) es 2; si dividimos 7 entre [texx]2^{3}
 [/texx] éste ya es mayor que 7 y nos pasamos (aunque en realidad haya más primos, puesto que es sólo una cota mínima). Y así con los demás valores que demos a “n”.

Y, bueno, como es lógico, llamando “x” al resultado de la fracción, tenemos la relación

[texx]log(\dfrac{n}{x})=k*log2\Rightarrow k=log(\dfrac{n}{x})/log2
 [/texx]

por si se quiere investigar cómo varía “x” o el mínimo de primos “k” según eso haciendo un programa.

De hecho, me parece recordar que ya hice un programa sobre la cuestión y lo puse en algún hilo, mirando la diferencia entre el valor teórico de la función contadora de primos y el mínimo de primos según el postulado de Bertrand; tampoco encontré ningún término general para la sucesión de valores de la diferencia, como era de esperar (o o más había habría que decir de “desesperar”, porque ya se cansa uno de no obtener nunca nada).

No obstante, como tú sabes más que yo de programación y mates (y Víctor también saca más provecho a la programación que yo) tengo la esperanza de que podáis encontrar aunque sea algo “gracioso”, curioso, que me alegre un poco estos fracasos, este no encontrar nunca nada.

AÑADO

A partir de lo último que he dicho se me ocurre investigar una cosa más.

Empiezo con un ejemplo: sea n=41. Dividimos entre 2 y tomamos la parte entera, 20; y ahí, de 20 a 40, tenemos un intervalo y, por tanto, al menos un primo seguro; dividimos 20 entre 2, tenemos el intervalo [10,20]... etc., Nos salen 5 zonas no encajadas, lo que hace que el mínimo de primos sean 5; es decir [texx]2^k=2^5[/texx].

Bien, el número de zonas Bertrand encajadas y no encajas, totales, es 20, porque el último “2m” que cabe es 2*20. La diferencia entre zonas encajadas y no encajadas (totales) y las no encajadas es por tanto 15 (en este ejemplo).

¿Se podría deducir algún algoritmo o fórmula para a partir de esto obtener de una forma exacta la cantidad de primos en el intervalo?  O, si no pudiera ser exacta, que al menos fuera más exacta que la función “pi” para cuando “n” no tiende a infinito.

La tarea sería hacer un programa para investigar esta cuestión.

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sqrmatrix
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« Respuesta #109 : 17/06/2017, 09:00:24 am »

Saludos, feriva

Pero aun sin resultados claros, podemos hacer nuevas conjeturas; la propia conjetura fuerte, de cumplirse, implica que para todo “n” existe siempre al menos una zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo; pues todos los primos existentes del intervalo [texx](0,n)[/texx] están contenidos en esas zonas Bertrand encajadas.

Por tanto, el conjeturar que para todo “n” siempre existe alguna zona Bertrand-simétrica que contiene algún primo, es menos fuerte que la conjetura original; es condición necesaria pero no suficiente. Y quizá, en el ataque de lo que nos ocupa, sería buena idea intentar demostrar esto primero (que debe de ser dificilísimo también) y dejar las especulaciones sobre lo otro para cuando se consiga este requisito  (Ahora que lo pienso creo que esto que he dicho en este párrafo es una tontería, me parece que es bastante obvio que siempre existe una zona simétrica con primos por el propio postulado)

Aunque ya lo has dejado indicado, se me ocurrió una demostración para lo que indicas, a saber, que, dado el entero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], con [texx]\displaystyle n[/texx] compuesto, al menos una de las zonas simétricas de Bertrand contiene un primo, independientemente de que se cumpla o no la conjetura de Goldbach.

La demostración es como sigue:

Tomamos la zona de Bertand [texx]\displaystyle [1,2][/texx]. La zona simétrica de Bertrand será [texx]\displaystyle [2\cdot n-2,2\cdot n-1][/texx]. Ahora tomamos la zona de Bertrand [texx]\displaystyle [2,4][/texx]. Su correspondiente zona simétrica de Bertrand es [texx]\displaystyle [2\cdot n-4,2\cdot n-2][/texx]. Como puedes ver, las dos zonas de Bertrand se solapan en el valor [texx]\displaystyle 2[/texx], y las correspondientes zonas simétricas de Bertrand se solapan en el valor [texx]\displaystyle 2\cdot n-2[/texx]. Seguimos con la zona de Bertrand [texx]\displaystyle [4,8][/texx], y la correspondiente zona simétrica de Bertrand [texx]\displaystyle [2\cdot n-8,2\cdot n-4][/texx]. Como antes, se solapan estas nuevas zonas con las anteriores en un valor. Seguimos así, tomando las zonas de Bertrand de la forma [texx]\displaystyle [2^k,2^{k+1}][/texx] y las correspondientes zonas simétricas [texx]\displaystyle [2\cdot n-2^{k+1},2\cdot n-2^k][/texx], que se solapan con las inmediatamente anteriores. Seguimos hasta el máximo valor de [texx]\displaystyle k[/texx] tal que [texx]\displaystyle 2^k<\dfrac{n}{2}\le 2^{k+1}[/texx]. De esta forma, hemos obtenido todas las zonas de Bertrand que cubren la mitad inferior de los enteros del intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx], y la mitad superior de los enteros del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n-1][/texx] (es decir, hemos cubierto los intervalos [texx]\displaystyle [1,\dfrac{n}{2}][/texx] y [texx]\displaystyle [\dfrac{3\cdot n}{2},2\cdot n-1][/texx], si [texx]\displaystyle n[/texx] es par, o los intervalos [texx]\displaystyle [1,\dfrac{n+1}{2}][/texx] y [texx]\displaystyle [\dfrac{3\cdot n-1}{2},2\cdot n-1][/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es impar).

Ahora nos queda por cubrir la mitad superior del intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx] y la mitad inferior del intervalo [texx]\displaystyle [n,2\cdot n-1][/texx]. Pero esto lo podemos hacer tomando la zona de Bertrand [texx]\displaystyle [\dfrac{n}{2},n][/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es par, o la zona de Bertrand [texx]\displaystyle [\dfrac{n-1}{2},n-1][/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es impar. Correspondientemente, las zonas simétricas de Bertrand serían [texx]\displaystyle [n,\dfrac{3\cdot n}{2}][/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es par, [texx]\displaystyle [n+1,\dfrac{3\cdot n+1}{2}][/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es impar.

Así, tenemos garantizado que habremos cubierto todos los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle n[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n-1[/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es par, o los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle n+1[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n-1[/texx] si [texx]\displaystyle n[/texx] es impar.

Para el caso en el que [texx]\displaystyle n[/texx] par, esto abarca todos los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle n[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n-1[/texx]. Por el postulado de Bertrand, aquí hay al menos un primo (el entero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] no puede ser primo, por lo que aunque lo descartemos, esto no afecta al hecho de que debe haber un primo en el intervalo indicado), y sabemos que ese primo debe estar en alguna de las zonas simétricas de Bertrand, pues hemos visto que han abarcado todos los valores del intervalo.

En el caso de que [texx]\displaystyle n[/texx] sea impar, si [texx]\displaystyle n[/texx] es compuesto, de nuevo tenemos la seguridad de que hay al menos un primo entre [texx]\displaystyle n+1[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n-1[/texx], por lo que de nuevo, tendremos la seguridad de que al menos una zona simétrica de Bertrand contiene un primo.

En el caso de que [texx]\displaystyle n[/texx] sea primo, es muy probable que exista otro primo en el intervalo [texx]\displaystyle [n+1,2\cdot n-1][/texx], que es el que cubrirían las zonas simétricas de Bertrand, pero esta demostración no comprende ese caso (no sé si está demostrado que hay al menos dos primos entre [texx]\displaystyle n[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]).

Con respecto a lo demás, voy a tener que repasarlo con más detenimiento. Ya te diré si se me ocurre algo
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« Respuesta #110 : 17/06/2017, 10:42:32 am »


Aunque ya lo has dejado indicado, se me ocurrió una demostración para lo que indicas, a saber, que, dado el entero [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], con [texx]\displaystyle n[/texx] compuesto, al menos una de las zonas simétricas de Bertrand contiene un primo, independientemente de que se cumpla o no la conjetura de Goldbach.


Muchas gracias, sqrmatrix; te  agradezco de verdad las demostraciones de las cosas que  intuyo o veo “obvias” y que por veguería (o por miedo a mi falta de pericia otras veces) dejo de demostrar;  has sabido plasmar muy bien lo que me parecía que pasaba.

Estupendo entonces, el que la C.F de Goldbach se cumpla no depende (no sólo) de la distribución de los primos en los dos grandes intervalos, sino de unos intervalos interiores más pequeños, con lo que creo que la probabilidad aumenta (no es que aumente, será la que es siempre, supongo, la que sea, sino que, digamos, a mis ojos se ve más fácil que antes).

Saludos.
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« Respuesta #111 : 18/06/2017, 05:04:21 am »

Saludos, feriva

Muchas gracias, sqrmatrix; te  agradezco de verdad las demostraciones de las cosas que  intuyo o veo “obvias” y que por veguería (o por miedo a mi falta de pericia otras veces) dejo de demostrar;  has sabido plasmar muy bien lo que me parecía que pasaba.

Gracias a tí por las ideas tan interesantes que compartes. Y lo de la vaguería, lo entiendo perfectamente :cara_de_queso:.

Creo que lo que intenté demostrar en mi bochornosa metedura de pata se puede demostrar igualmente, de una forma muy similar. Voy a explicarlo. A ver si no meto la pata otra vez.

Lo que pretendía mostrar es que entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] hay suficientes primos para generar todos los enteros pares comprendidos entre [texx]\displaystyle 4[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] como suma de dos primos. Esto no garantiza que se puedan generar todos los enteros pares, pero sí que garantiza que, si no se pueden generar todos los enteros pares, no será por falta de primos.

Desarrollo

A diferencia del anterior desarrollo, vamos a tomar únicamente los primos comprendidos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle n[/texx]. La suma de cualquier par de estos primos será siempre menor o igual que [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx], con lo cual, estaremos generando enteros pares comprendidos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx].

Vamos a ver si hay al menos tantas parejas de primos como enteros pares hay entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx]. El número de primos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle n[/texx] es de [texx]\displaystyle \pi{(n)}[/texx]. El número de parejas que podemos formar en total será de [texx]\displaystyle \pi{(n)}^2[/texx]. El número de enteros pares comprendidos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle 2\cdot n[/texx] es de [texx]\displaystyle n[/texx]. Basta ver si [texx]\displaystyle \pi{(n)}^2\ge n[/texx] para determinar que hay tantas o más parejas de primos que enteros pares. Aplicando la aproximación [texx]\displaystyle \pi{(n)}\approx\dfrac{n}{\log{(n)}}[/texx], podemos desarrollar esta desigualdad, obteniendo al final que se cumple [texx]\displaystyle n\ge\log^2{(n)}[/texx].

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Esta última desigualdad se cumple para todos los valores enteros de [texx]\displaystyle n[/texx] positivos, lo que nos indica que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores pares al sumarlos.

Como en la otra demostración (fallida :avergonzado:), este número de pares genera pares repetidos, con los primos intercambiados de orden. Si queremos determinar los pares sin repetición, debemos simplemente tomar como primer primo, cualquiera de los que hay en el intervalo [texx]\displaystyle [1,n][/texx], y como segundo primo, uno mayor o igual que el que acabamos de tomar. Así, si tomamos el primero de los primos del intervalo, el segundo puede ser cualquiera de los demás primos, incluyendo el que acabamos de tomar, por lo que para el segundo podemos elegir [texx]\displaystyle \pi{(n)}[/texx] primos diferentes. Si como primer primo tomamos el segundo de los primos del intervalo, el siguiente será cualquiera de los restantes, incluyendo el que acabamos de tomar, pero no el primero de los primos del intervalo, por lo que tendremos [texx]\displaystyle \pi{(n)}-1[/texx] primos para elegir. Si tomamos el tercer primo del intervalo como primero del par, el otro sólo podrá ser uno de los [texx]\displaystyle \pi{(n)}-2[/texx], etc. Al final, elegiremos como primer primo del par, el último del intervalo y, por tanto, como segundo primo del par sólo podremos elegir el último del intervalo. Tenemos, al final, para elegir, [texx]\displaystyle 1, 2, 3, ..., \pi{(n)}[/texx] primos, que es una progresión aritmética cuya suma vale [texx]\displaystyle \dfrac{\pi{(n)}\cdot (\pi{(n)}+1)}{2}[/texx].

En lo anterior, hemos contado los pares en los que el primer primo es el [texx]\displaystyle 2[/texx], pero con éste sólo es válido el par [texx]\displaystyle (2,2)[/texx], pues el resto no tienen suma par al ser la suma de [texx]\displaystyle 2[/texx] con otro primo impar. Lo tenemos que descartar. Para ello, basta restar [texx]\displaystyle 1[/texx] al cálculo de la cantidad de primos. Nos queda al final un total de pares de [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(n)}-1)\cdot \pi{(n)}}{2}[/texx]. Como antes, tiene que cumplirse [texx]\displaystyle \dfrac{(\pi{(n)}-1)\cdot \pi{(n)}}{2}\ge n[/texx]. Sustituyendo el valor de [texx]\displaystyle \pi{(n)}[/texx] por [texx]\displaystyle \dfrac{n}{\log{(n)}}[/texx] y desarrollando, obtenemos al final que se tiene que cumplir [texx]\displaystyle \dfrac{n}{\log{(n)}}\ge 2\cdot\log{(n)}+1[/texx]

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Esta última desigualdad se cumple para [texx]\displaystyle n=2[/texx] y [texx]\displaystyle n\ge 23[/texx], lo que nos indica de nuevo que hay suficientes pares de primos para generar [texx]\displaystyle n[/texx] valores al sumarlos, y esta vez no hay pares de primos de más. Para los valores que no se cumple, sabemos que se generan todos los enteros pares.

Hemos visto que en el intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx] hay suficientes primos para generar los enteros pares del intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx]. Como en el intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx] hay aún más primos que en el intervalo [texx]\displaystyle [0,n][/texx], se podrán generar aún más enteros pares, con lo cual queda demostrado que en el intervalo [texx]\displaystyle [0,2\cdot n][/texx] hay suficientes primos para generar los enteros pares de ese mismo intervalo, aunque esto no demuestra que efectivamente generen todos los pares. Eso ya dependerá de los valores de los primos.
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« Respuesta #112 : 18/06/2017, 07:07:21 am »


Buenos días, sqrmatrix. Estupendo.

Bien, pues entonces, a partir de ahí, hay que investigar algo que, seguramente, todos hemos pensado más de una vez de una forma u otra al plantearnos la conjetura fuerte (incluso creo que ya hablamos de cosas bastante relacionadas, y con Víctor también lo hablé).

Te acordarás de que planteaba esto por ahí arriba; voy con un ejemplo (después ya paso a lo que planteas, que esto no es exactamente pero tiene bastante que ver):


[texx]0,1,2,3,4,{\color{blue}5},6,7,8,9,10
 [/texx]

Combinando de dos en dos los elementos del intervalo (0,n) tal como decías (el pequeño con el siguiente más grande y así) pero en este caso para usar finalmente el producto de los números en vez la suma, obtendremos todos los compuestos posibles existentes en el intervalo (n,2n) más algunos compuestos sobrantes, o sea, mayores que 2n (bueno, está por ahí en algún sitio del hilo, pero lo resumo un poco sin “copiarme” para hacer memoria, que me viene bien).

Poniendo el 2 el primero tenemos las combinaciones

(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

con el 3

(3,3);(3,4);(3,5)

y así con los demás hasta (5,5).

En este caso saldrían 10 en total.

No consideraba (te acordarás también de ello) las combinaciones con el 1, porque daban, por producto, primos o compuestos que no están en el intervalo (n,2n) (que es lo que yo analizaba por ahí, los compuestos del intervalo de arriba a partir del producto de los de abajo).

Las cantidades de combinaciones que salían eran (son) para los pares cartesianos que empiezan por 2, cuatro combinaciones; o sea, en general son “n-1”, 5-1 en este caso. La cantidad de las que empiezan por 3 son “n-2” combinaciones... y así.

La cantidad total se corresponde con al suma [texx](n-1)+(n-2)...(n-(n-1))[/texx], que, en efecto, la podemos expresar por medio de la progresión geométrica cuyo término final es (n-1); en el ejemplo 4+3+2+1=10, es decir [texx]\dfrac{(n-1)(n-1+1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}
 [/texx].

Si pensamos en las repeticiones, su cantidad es (n-1), o sea contando los pares “2,2”, “3,3”... etc. Por tanto, si añadimos esta cantidad a la fórmula de las combinaciones sin repetición tomando el “n” (o digamos k) de la fórmula como “n-1”, tendremos las combinaciones con repetición; y debería coincidir, también, con esa progresión. Tendríamos:

[texx]\dfrac{(n-1)!}{2\text{!}(n-1-2)!}+(n-1)=\dfrac{(n-1)!}{2(n-3)!}+(n-1)=
 [/texx]

[texx]\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}+(n-1)=\dfrac{(n-1)((n-2)+2)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}
 [/texx]

y, efectivamente, coincide.

(Estas explicaciones repetidas y detalladas, sobra decir quizá, van más bien dirigidas a cualquier supuesto lector que no haya seguido el hilo demasiado).

El quitar los compuestos que nos salen del producto de esas combinaciones y que sobrepasan el intervalo (n,2n) (es obvio también que todos serán compuestos al no combinar con el 1 ) no es muy complicado, el problema es que hay muchas combinaciones distintas que nos dan un mismo producto: 6*2 =3*4, por ejemplo (y aquí acaba el rollo preliminar).

En tu planteamiento tenemos sumas diferentes, en vez de productos, pero la cuestión básicamente es muy parecida; tenemos combinaciones distintas (en este caso de dos primos en vez de dos naturales en general) como 7+7 = 3+11, por ejemplo, y así todas las parejas Goldbach que dan un mismo 2n, las cuales aumentan mucho en cantidad según lo pares van siendo más grandes, como sabemos.

Esto último, que aumenten las parejas, es sin duda una buena cosa a la hora de unirlo al análisis y la deducción que haces. Por un lado, el que haya suficientes primos no es suficiente porque las distintas combinaciones de esos primos nos pueden dar pares 2n repetidos al sumar sus elemntos (si no se dieran repeticiones, existiría una biyección -porque no podrían dar lugar a más pares de los que hay- y quedaría demostrada la conjetura).

Luego, por un lado, las repeticiones (repeticiones en cuanto al valor de las sumas) parecen molestar para intentar asegurar el cumplimiento de la conjetura (y sí, molestan) pero, por otra parte, el que aumente la cantidad de parejas siempre (hasta dónde hemos mirado) también asegura la conjetura; no se ve claro lo que pasa ahí (al menos yo no lo veo claro para asegurar nada) pero parece entreverse algo positivo o bueno para que se cumpla, como si dijéramos un “seguro de vida” ante posibles “percances” que pudiéramos suponer.

Bueno, lo dejo aquí, que ya me he alargado más de la cuenta; con esto quizá queda planteado algo que puede servir de motivación para pensar más cosas a partir de tu demostración.

Un cordial saludo.
 





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« Respuesta #113 : 19/06/2017, 06:15:22 am »


Hola, sqrmatrix. Perdóname, que quizá no fui claro en la explicación en cuanto a lo del mínimo de primos y eso que te decía..

Si tenemos un número “n” y lo dividimos entre 2 queda un segmento que va de cero a n/2 y otro que va de n/2 a n. Esto implica la existencia de al menos un primo entre n/2 y n.

El segmento que va de cero a n/2 no está solapado con el que va de n/2 a n.

Seguidamente, si dividimos n/2 entre 2 (y la división no es menor que 1) tendremos otros dos segmentos, uno que va de cero a n/4 y otro que va de n/4 a n/2 (lo que supone otro número y su doble). Este último intervalo asegura al menos otro primo más (siempre que la división no sea menor que 1) porque no está solapado con el intervalo (n/2, n) donde está el otro primo.

Es decir hasta aquí hemos hecho cuatro trozos y en dos de ellos, no solapados, hay seguro un primo (en cada uno).

Si ahora se divide n/4 entre 2 y la división no es menor que 1, habrá un intervlo (n/8, n/4) no solapado con los anteriores, etc.

Hay que decir que los “extremos” se van tocando, pero el postulado de Bertrand es cierto para el intervalo abierto (n,2n) siempre que “n” no sea 1; en es caso no hay un primo entre medias de 1 y 2 (no hay nada) hay que tomar la cota superior, el propio 2, para tener al menos un primo.

Cuando puse “x” en [texx]\dfrac {n}{2^k}=x[/texx] estaba pensando en que no era entero, pero en la práctica, para hallar así el mínimo de primos, pondremos un 1 siempre; x=1, porque con eso nos va a dar la potencia “k”, las veces que se puede dividir entre 2 (naturalmente, tomaremos sólo la parte entera de “k”).

Por ejemplo, si n=10, tenemos al menos un primo entre 5 y 10; al menos otro primo entre 2 y 4, y después el primo 2 en el intervalo cerrado [1,2], que ya sabemos trivialmente que no coincide con los otros aunque no sea un intervalo abierto. En definitiva, son tres primos mínimo, porque podemos dividir 10 entre 2 tres veces sin que el resultado sea menor que 1. O sea, haciendo las cuentas:

[texx]\dfrac {10}{2^k}=1[/texx]

[texx]\dfrac {log(10)}{log2}=3.3219...[/texx]

donde nos quedamos con la parte entera, 3.

Y esto lo hemos hecho tomando las zonas (n,2n) no solapadas.

Las solapadas y no solapadas las obtenemos a partir del mayor 2m, que es 2n en este ejemplo; como 10 es par, el mayor 2m que entra es el propio 2n.

Aunque en realidad hay que decir, mejor, que las obtenemos a partir de “n”, es más fácil contar las cotas inferiores; tendremos contenidos los intervalos “n” y su doble; “n-1” y su doble, etc., hasta 1 y su doble. Es decir, son “n” zonas Bertrand solapadas (olvidándonos ahora de  zonas simétricas, pensando en las zonas en total hasta un 2n  o un impar, el número que sea).

La cantidad de zonas totales, solapadas y no solapada, es entonces la mitad del número, la parte entera de la mitad, en el ejemplo son 5 zonas.

Entre 1 y 10 hay cuatro primos, 2,3,5,7, y el mínimo nos ha salido que es 3, uno menos (el mínimo coincide con las zonas no solapadas, claro).

Y, por otro lado, tenemos eso otro, las zonas solapadas, que son 5.

Entonces, la pregunta es ésta; ¿podría existir alguna relación (usando razones y haciendo inventos) entre la cantidad de zonas de distinto tipo, el mínimo de primos y la cantidad real de primos?


Si haces un pequeño programa que te vaya dando el mínimo de primos para los sucesivos “n” verás que esa cota mínima cada vez es más pequeña respecto a la cantidad real de primos existentes en el intervalo; o sea, es una cota segura, pero muy mala; y se va haciendo más mala cada vez. El objetivo sería encontrar una cota mínima mejor, que se acerque bastante a la cantidad real de primos y que fuera más constante; es decir, que no se vaya haciendo pequeña, o no tanto, respecto de la cantidad auténtica a medida que el “n” se va haciendo grande.

Mi intuición (que a la vez intuyo bastante acertada en este caso) es que el hecho de que esa diferencia vaya aumentando tiene sin duda que ver con el aumento de intervalos solapados.

Y todo esto te lo estoy contando sin haber probado yo nada todavía; no he hecho ningún programa para buscar relaciones e intentar mejorar esa cota. Lo mismo hay por ahí una maravilla; y yo aquí, perdiendo el tiempo en enrollarme :sonrisa:


Un cordial saludo.
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« Respuesta #114 : 20/06/2017, 01:52:42 am »

Saludos, feriva

Perdona que no te haya respondido antes.

En realidad parece ser que sí que existe una aproximación mejor a [texx]\displaystyle \pi{(x)}[/texx]. Es la denominada función [texx]\displaystyle Li(x)[/texx], conocida como "integral logarítmica desplazada", que se define como [texx]\displaystyle Li(x)=\int_{2}^{x}\dfrac{1}{\log{t}}\,dt[/texx]. Aquí, se le da a [texx]\displaystyle x[/texx] el valor para el que se quieren calcular la cantidad de primos menores o iguales a dicho valor, y se calcula la integral para obtener una aproximación, que será mejor que la dada por la famosa función [texx]\displaystyle \dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx]. Por otro lado, según un libro de teoría de números, se puede calcular la cantidad aproximada de primos entre [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] con la fórmula [texx]\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{1}{\log{t}}\,dt[/texx].

El problema de esta función [texx]\displaystyle Li(x)[/texx] es que la integral no tiene primitiva. Buscando por internet, he visto varias fórmulas que supuestamente calculan el valor de dicha integral, pero cuando he hecho los cálculos, en lugar de obtener la cantidad de primos, obtengo el propio valor [texx]\displaystyle x[/texx], con un pequeño error de redondeo. Quizá los he implementado mal. En todo caso, se afirma que esta función es una mejor aproximación a [texx]\displaystyle \pi{(x)}[/texx] que la conocida [texx]\displaystyle \dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx].

Puedes buscar en la wikipedia por "teorema de los números primos", donde se explica un poco esta función, hay un enlace a un artículo dedicado a esa función, y también muestra gráficos de cómo se aproxima la función a la cantidad real de números primos.
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« Respuesta #115 : 20/06/2017, 05:01:03 am »

Saludos, feriva

Perdona que no te haya respondido antes.

En realidad parece ser que sí que existe una aproximación mejor a [texx]\displaystyle \pi{(x)}[/texx]. Es la denominada función [texx]\displaystyle Li(x)[/texx], conocida como "integral logarítmica desplazada", que se define como [texx]\displaystyle Li(x)=\int_{2}^{x}\dfrac{1}{\log{t}}\,dt[/texx]. Aquí, se le da a [texx]\displaystyle x[/texx] el valor para el que se quieren calcular la cantidad de primos menores o iguales a dicho valor, y se calcula la integral para obtener una aproximación, que será mejor que la dada por la famosa función [texx]\displaystyle \dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx]. Por otro lado, según un libro de teoría de números, se puede calcular la cantidad aproximada de primos entre [texx]\displaystyle x[/texx] e [texx]\displaystyle y[/texx] con la fórmula [texx]\displaystyle \int_{x}^{y}\dfrac{1}{\log{t}}\,dt[/texx].

El problema de esta función [texx]\displaystyle Li(x)[/texx] es que la integral no tiene primitiva. Buscando por internet, he visto varias fórmulas que supuestamente calculan el valor de dicha integral, pero cuando he hecho los cálculos, en lugar de obtener la cantidad de primos, obtengo el propio valor [texx]\displaystyle x[/texx], con un pequeño error de redondeo. Quizá los he implementado mal. En todo caso, se afirma que esta función es una mejor aproximación a [texx]\displaystyle \pi{(x)}[/texx] que la conocida [texx]\displaystyle \dfrac{x}{\log{(x)}}[/texx].

Puedes buscar en la wikipedia por "teorema de los números primos", donde se explica un poco esta función, hay un enlace a un artículo dedicado a esa función, y también muestra gráficos de cómo se aproxima la función a la cantidad real de números primos.


Hola, Sqrmatrix.

Gracias, lo conocía, sé que se ha ido mejorando esa estimación; y quizá se mejore más con el tiempo. Pero eso no me quita las ganas de reducir el mínimo que te digo; no busco mejorar lo que hay, sino lo que tengo, aunque siga siendo peor que lo que hay. Es una idea distinta, investigar la relación de ese mínimo con cantidad real. Todavía no me he puesto a ello pero me pondré; casi seguro que no va a salir lo que se dice un teorema, pero no descarto una conjetura que parezca cumplirse; si fuera así, la podríamos usar para nuestros experimentos hasta que fallara, en cualquiera de los casos siempre nos podría dar información o hacernos ver cosas.

Un cordial saludo.
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« Respuesta #116 : 20/06/2017, 06:58:00 am »


Hola de nuevo, Sqrmatrix.

Ya me he puesto a ello un poco.

Siendo “n” el valor final de los intervalos (tomando todos los “n”) he hecho un programa donde se va apuntando el “n”, el mínimo, la cantidad real de primos y la cantidad de intervalos sopados y no solapados.

A partir de ahí se me ha ocurrido aumentar el mínimo sumando al mínimo inicial (al que obtenía según lo dicho, con los intervalos no solapados) la razón dada entre los intervalos solapados y no solapados, y el mínimo inicial (o lo que es lo mismo, el número de intervalos no solapados); en el programa la letra para el mínimo es “x” y para los solapados y no solapados es “s”.

Así, el nuevo mínimo conjeturado es [texx]x+ \dfrac {s}{x}[/texx]; y por tanto mayor que “x”, el inicial.

Si se toman todos los “n” a partir de 2, fallan algunos desde el principio, el valor de este “mínimo” es mayor que la cantidad real de primos; pero, oh, curiosidad, si se toman sólo los “n” impares, no falla (he probado los primeros 50000 impares a partir de 3).

Es decir, [texx]x+ \dfrac {s}{x}[/texx] es siempre menor que la cantidad real para “n” impar; y va siendo cada vez más pequeño respecto de la cantidad real de primos a medida que crece “n”.

Así pues, es más que presumible que este mínimo conjeturado (para los “n” impares) funcione siempre salvo algo rarísimo o casi imposible.

No he analizado por qué con los impares sirve y con los pares no (acabo de hacer esto ahora mismo) pero quizá se pueda demostrar por qué; sería bueno conseguirlo, podría ser interesante en cuanto a la distribución.

Aquí va el programa en Python 2

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

¿Por qué he probado a ver qué pasaba con [texx]x+ \dfrac {s}{x}[/texx] en cuanto a mirar si no superaba la cantidad de primos? Pues porque eso me ha parecido al ver los resultados en pantalla. Y, después, ha fallado en algunos, entonces he añadido una rutina para ver en cuáles fallaba y he visto que eran pares...

Así es un poco como trabajo yo cuando estoy perdido y no llego a encontrar un razonamiento lógico que probar; es esos casos pruebo lo que llamo “inventos” y observo a ver qué pasa. Unas veces, esos inventos resultan tener una lógica que no había visto, otras... no sé por qué funcionan, como en este caso.

En la cuestión de la factorización hago lo mismo (pero todavía más) busco algo que no consigo ver razonando, esperando que los datos me lleven algún día a eso que busco, a poder acercarme paulatinamente (y sabiendo dónde estoy) a uno de los divisores (dicho también para ti, Víctor Luis, aunque esto no sea lo mismo que factorizar, pero para que veas mejor la forma de trabajar que propongo)

Un cordial saludo.
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« Respuesta #117 : 21/06/2017, 05:58:03 am »

Saludos, feriva

Creo que ya sé por qué tu fórmula siempre da menos cantidad de números primos que la cantidad real. Si no me he equivocado, tu fórmula es menor que la famosa fórmula [texx]\displaystyle \dfrac{n}{\log{(n)}}[/texx], que a su vez, es menor que la cantidad real de primos (por lo que se ve en los gráficos comparativos entre esta fórmula y la cantidad de primos).

Voy a explicar por qué es así. Tu fórmula es [texx]\displaystyle x+\dfrac{s}{x}[/texx]. Por otro lado, defines [texx]\displaystyle x[/texx] como [texx]\displaystyle x=\dfrac{n}{\log{(2)}}=\log_2{(n)}[/texx], y [texx]\displaystyle s[/texx] lo defines como [texx]\displaystyle s=\dfrac{n}{2}[/texx]. Sustituyendo en la fórmula original, tenemos:

[texx]\displaystyle
x+\dfrac{s}{x}= \\
\log_2{(n)}+\dfrac{\dfrac{n}{2}}{\log_2{(n)}}= \\
\log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}
[/texx]

Sabemos que, para [texx]\displaystyle n>1[/texx], se cumple [texx]\displaystyle \log_2{(n)}>\log{(n)}[/texx], por lo que se cumplirá que [texx]\displaystyle \dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}<\dfrac{n}{\log{(n)}}[/texx]. Al sumarle [texx]\displaystyle \log_2{(n)}[/texx], puede que se cumpla [texx]\displaystyle \log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}>\dfrac{n}{\log{(n)}}[/texx], pero sólo hasta cierto valor de [texx]\displaystyle n[/texx], a partir del cual la fórmula será siempre menor, debido al lento crecimiento de [texx]\displaystyle \log_2{(n)}[/texx]. Según mis cálculos, cuando [texx]\displaystyle 1<n<4[/texx], y cuando [texx]\displaystyle n\ge 20[/texx], es cuando se cumple [texx]\displaystyle \log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}<\dfrac{n}{\log{(n)}}<\pi{(n)}[/texx], que es el motivo por el que tu fórmula es menor que la cantidad de primos.

Por otro lado, he comparado tu fórmula con [texx]\displaystyle \pi{(n)}[/texx], y he visto que se cumple [texx]\displaystyle \log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}>\pi{(n)}[/texx] sólo cuando [texx]\displaystyle 2\le n\le 12[/texx]. En el resto de casos (hasta 10 millones) se cumple [texx]\displaystyle \log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}\le\pi{(n)}[/texx] (para el caso [texx]\displaystyle n=16[/texx], se cumple [texx]\displaystyle \log_2{(n)}+\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}=\pi{(n)}[/texx]).

Una cosa que no acabo de ver es cómo es que la desigualdad se cumple para valores impares, pero no para pares. Según mis cálculos, esto no ocurre. Quizá haya algo que he hecho mal. Ya me dirás.

Y ahora que lo pienso. Viendo esto, se me ocurre que quizá exista una base para el logaritmo que aproxime mejor la función [texx]\displaystyle \pi{(n)}[/texx]. Habrá que mirarlo.
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« Respuesta #118 : 21/06/2017, 08:10:27 am »


Hola, Sqrmatrix. Buenos días y muchas gracias.

En cuanto a lo de los pares a lo mejor programé algo mal, no sé; pero no importa mucho ya.


Estuve haciendo más pruebas, me quedé sólo con [texx]s/x[/texx] sin sumarle “x” en introduje los “n” pares, o sea, trabajé con todos los “n”. El valor se desvía más para valores pequeños de “n”, pero cuando “n” empieza a ser bastante grande influye muy poco.

Trabajé con un bucle hasta n=10000 y otro de hasta n=100000; y, después, con bucles mayores pero a trocitos; o sea, por ejemplo, desde 100000000 hasta  100000099, para ver unos cuantos números. A partir de números de 10 cifras ya le cuesta al programa que hice, se desborda la memoria enseguida incluso con trocitos, pero creo que llegó a admitirme 10 cifras con un 1 delante, con 2 se desbordaba (no lo recuerdo bien, no apunté datos porque andaba sólo trasteando).

Al hacer esto “viajando” a saltos por todos los rangos que me permitía el programa, observé que la razón entre la cantidad real de primos y el valor de (s/x) tendía a ser constante en cuanto “n” crecía un poco, se quedaba en valer 3 ó muy cerca de 3 en todos los casos. Así que para estimar la cantidad de primos utilicé (s/x)*3. Haciendo esto ya no tenía un mínimo, a veces sobrepasaba un poco el valor de la cantidad real, pero de forma oscilante, casi alternativa diría por la apariencia; es decir, en un rango a lo menor no sobrepasaba, luego en otro mayor sí, en otro mayor que ése no...

En cualquier caso la cantidad, por abajo o por arriba, se iba acercando bastante a la real

Hice una comparación con el valor de la función pi (la normal, no la versión mejorada) y, salvo en los primeros los primeros 10 valores de “n” o así, tenía 3*(s/x) me daba siempre en todos los casos una mejor aproximación que la función pi; trabajando hasta 100 millones para “n” o un poco más (para unos cuantos valores; en esos rangos grandes no comprobé todos uno por uno)

Por ejemplo, por ponerte unos pocos:

Donde pone “mc” es el valor 3*(s/x)

En el intervalo (1000,1099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Como verás, se aproxima bastante mejor 3(s/x) que la función pi en todos los casos.

En el intervalo (10000,10099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Se vuelve aproximar considerablemente mejor en todos los casos.

En el intervalo (100000,100099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ya va estando unos mil unidades más cerca del valor real que la función pi.

En el intervalo (1000000,1000099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En esta zona excede al valor real, pero sigue estando más cerca unas miles de unidades.

En el intervalo (10000000,10000099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En esta zona deja de exceder (lo que te decía, es como intermitente) y el resultado sigue siendo en todos los casos mucho mejor para el valor “mc” que para la función pi.

En el intervalo (100000000,100000099)

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Ahora vuelve a exceder pero sigue aproximando mejor; y fíjate en que la cantidad viene dada por un número 7 cifras y las 3 primeras de “mc” son ya las mismas que las tres primeras de la cantidad real.

Si añado un cero más para buscar un intervalo más grande, la memoria se desborda ya. Una pena, porque me gustaría ver si se van fijando las primeras cifras.


Si quieres comprobarlo, mira a ver, no sea que haya programado algo mal, como posiblemente haya pasado con lo de los pares.

Mi  sospecha es, por tanto (si no hay nada mal) que existe una “casi contante” en torno al valor 3 tal que que ocurre eso que se observa.

Sé que la función pi está demostrada, pero creo que es una demostración un tanto complicada la cual no podría entender sin estudiar bastante. Pero aun sin conocer su demostración, me parece una fórmula cuyo significado es un poco... oculto, ¿por qué la cantidad se aproxima a [texx]n/log(n)[/texx], ve alguien esto con “los ojos”? Para ser sincero, en cuanto a los primos, yo no sé por qué están dónde están ni por qué hay los que hay; ¿cuál es el porqué? Creo que el propio Gauss, que fue el primero en observar esto, no sabía en realidad por qué ocurría, simplemente se dio cuenta de que ocurría.

Es decir, para explicarme con un ejemplo:

Si aquí, [texx]\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}[/texx], hacemos lo que se suele llamar multiplicar en cruz o en aspa, obtenemos el valor de la suma de la fracción. Esto tiene un porqué que en este foro todos conocemos, pero las personas no muy aficionadas seguramente no saben por qué; es elemental, pero lo pongo para que se vea bien a lo que me refiero


Como una cosa es igual de grande que ella misma, entonces [texx]\dfrac{x}{x}=1[/texx] o con la letra que sea [texx]\dfrac{y}{y}=1
 [/texx]. A partir de eso, que podemos entender y ver “con los ojos” todos, se sigue

[texx]\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}=1\cdot\dfrac{a}{x}+1\cdot\dfrac{b}{y}=\dfrac{y}{y}\dfrac{a}{x}+\dfrac{x}{x}\dfrac{b}{y}
 [/texx]

y, bueno, operando nos queda una fracción de denominador común xy y tal; lo mismo que multiplicar en aspa. Y por eso funciona, porque en realidad lo que ocurre es esto, lo otro es una receta “mágica”.

Entiendo lo que esa un razón, entiendo lo que es un logaritmo... pero no entiendo el sginificado de la función pi.

En cambio, a esto que he usado “s/x”, sin poder razonarlo completamente y quedando gran parte de intuición al hacerlo, le veo un sentido a partir del postulado de Bertrand. Hay unos intervalos no solapados en los que hay al menos (esto es un mínimo) un primo;
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« Respuesta #119 : 21/06/2017, 08:45:11 am »

Saludos, feriva

No me salen los mismos resultados que a tí. Quizá no tenga bien la fórmula. Partiendo del hecho de que [texx]\displaystyle x=\log_2{(n)}[/texx] y [texx]\displaystyle s=\dfrac{n}{2}[/texx], la fórmula [texx]\displaystyle 3\cdot\dfrac{s}{x}[/texx] queda como [texx]\displaystyle 3\cdot\dfrac{n}{2\cdot\log_2{(n)}}[/texx]. Si lo aplicamos a los primeros valores de cada operación que has hecho, sale:

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Quizá hayas ajustado el valor que multiplica a [texx]\displaystyle \dfrac{s}{x}[/texx], y sea [texx]\displaystyle 3[/texx] y pico. O quizá la fórmula que he utilizado no sea correcta.
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