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Autor Tema: Memorias sobre la CF de Goldbach  (Leído 20990 veces)
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feriva
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« : 26/10/2016, 12:21:48 pm »


Un poco imitando la labor de Mente oscura y Proyecto, he pensado en ir recompilando en un hilo mis reflexiones sobre la conjetura fuerte de Goldbach.

En el spoiler dejo una introducción sobre cómo empecé a interesarme por este tema.

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Empiezo haciendo memoria por una de las últimas cosas que se me ocurrió, la generalización de la Conjetura fuerte de Goldbach, la cual ya le conté a Víctor Luis.


 CONJETURA: Siempre que no sea primo, todo múltiplo de un primo “p” se puede expresar como suma de una cantidad exacta de “p” sumandos primos.

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Demostración suponiendo cierto el caso “p=2”.


Si la conjetura es cierta para “p=2”, entonces es cierta para “p=3”.

Demostración:

Todo par mayor que 4 se podrá expresar como [texx]p_a+p_b+2[/texx], por lo que todo par múltiplo de 3 no primo (o sea, a partir de 6) se podrá expresar como suma de tres primos.

Para los múltiplos de 3 impares, basta decir que está demostrada la conjetura débil y por tanto también se cumpliría para todos. 


A partir de eso, la conjetura será cierta para “n=5”, pues todo múltiplo de 5 no primo se podrá expresar como

[texx]2n+3n=5n[/texx] con [texx]n=2,3,4...[/texx]

Tendremos dos sumandos primos para cada [texx]2n[/texx] y tres sumandos primos para cada [texx]3n[/texx], cinco sumandos.



Dado lo anterior, supongamos que deja de cumplirse por primera vez, en la sucesión de naturales, para algún [texx]p>5[/texx].

Llamemos [texx]kp[/texx] al número que supuestamente no cumple la conjetura para algún [texx]p>5[/texx].

Si [texx]k=2[/texx], entonces [texx]kp[/texx] se podrá expresar como suma de una cantidad [texx]p[/texx] de sumandos primos:

[texx] 2p=\underset{p\,\, veces\,\, dos}{\underbrace{2+2+2...}}
 [/texx]

por lo que dejamos este caso resuelto. 

Hagamos pues [texx]k=(a+2)[/texx] con [texx]a \neq 0[/texx].

Tendremos

[texx]kp=p(a+2)=ap+2p[/texx]


Al ser [texx]ap<kp[/texx], [texx]ap[/texx] se tendrá que poder expresar como suma de [texx]p[/texx] sumandos primos; pues estamos suponiendo que [texx]kp[/texx] es el primero que no cumple la conjetura, luego [texx]ap[/texx] la cumple por ser menor, por tanto, se puede expresar como suma de una cantidad exacta de [texx]p[/texx] de sumandos primos.

Así pues, [texx]kp[/texx] se podrá formar con una cantidad “p” de sumandos primos más otros dos sumandos primos, que son [texx]p+p=2p[/texx].

Como [texx]p>5[/texx], porque 5 no falla al haberse demostrado esto antes, tendremos al menos siete sumandos primos.

Si hubiera entre esos sumandos cuatro doses, sumarían 8, un par que se puede expresar como suma de dos sumandos primos [texx]3+5[/texx], y al dejar cuatro sumandos en dos, tendríamos “p” sumandos y la suposición sería falsa, luego sí se podría formar con “p” sumandos primos.

Si hubiera menos de cuatro doses, el resto de los sumandos serían primos impares, y como son siete o más sumandos, por ser “p” mayor o igual a 7, habría al menos cuatro impares que sumarían un par, y este par se podría expresar también como suma de dos primos por suponer la conjetura fuerte de Goldbach, y cumpliría la conjetura para todo [texx]p[/texx].

Así que también en ese segundo caso se podría expresar como suma de [texx]p[/texx] sumandos primos.

Por tanto, por este razonamiento inductivo llegamos a que el siguiente múltiplo no primo de cualquier “p” también se puede expresar como suma de “p” primos y, por tanto, se cumple lo dicho.

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feriva
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« Respuesta #1 : 11/11/2016, 02:25:35 pm »




Digo novedad porque, al menos, no encuentro nada en internet sobre esto que conjeturo.

Se me ocurrió pensar el otro día en cuántos números pares se podrían expresar como suma de dos compuestos coprimos. Hice un programa, saqué la lista y no vi nada parecido a un patrón. Puse los números en el Wolfram y tampoco me dio ninguna función de “n” para esos números, pero sí me dijo que la secuencia estaba registrada como  OEIS A076772.

Pinché en “más información” y me llevó a esta página

http://oeis.org/A076772

Una enciclopedia de sucesiones de enteros; no sabía que existía.

Pinchando ahí veis cuáles son: 34, 44, 46, 52, 58, 62, 64, 68, 74, 76, 82, 86, 88...


Ya ayer, se me ocurrió hacer otro programa. En esta ocasión busqué los pares  que se podían expresar como suma dos primos (coprimos con el par) que, además, no tuvieran (uno u otro) un primo gemelo mayor; o sea, descartando los pares tales que

[texx]2n=p_{1}+p_{2}:\, p_{1}+2\notin\mathbb{P}\vee p_{2}+2\notin\mathbb{P}
 [/texx]

Comprobando a mano el programa me falla en algún sitio y no sé dónde; lista números que cumplen la condición para no ser listados; (pero ya está corregido en la nueva respuesta)

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« Respuesta #2 : 11/11/2016, 03:13:37 pm »

Hola feriva.

 No entiendo bien lo que conjeturas aquí

[...]
Ya ayer, se me ocurrió hacer otro programa. En esta ocasión busqué los pares  que se podían expresar como suma dos primos (coprimos con el par) que, además, no tuvieran (uno u otro) un primo gemelo mayor; o sea, descartando los pares tales que

[texx]2n=p_{1}+p_{2}:\, p_{1}+2\notin\mathbb{P}\vee p_{2}+2\notin\mathbb{P}
 [/texx]
[...]

 ¿Los números [texx]p_{1}[/texx] y [texx]p_{2}[/texx] tienen que ser primos? Si fuera así, sí es posible que [texx]p_{1}+p_{2}[/texx] sea múltiplo de tres. Pues con excepción del [texx]2[/texx] y el [texx]3[/texx] todos los números primos son de la forma [texx]6k-1[/texx] o [texx]6k+1.[/texx] Entonces basta sumar un primo de la forma [texx]6k-1[/texx] con otro de la forma [texx]6\widehat{k}+1[/texx] para obtener un múltiplo de tres. Por ejemplo [texx]887+907=1794=3\times 598.[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #3 : 11/11/2016, 03:36:41 pm »

Hola feriva.

 No entiendo bien lo que conjeturas aquí

[...]
Ya ayer, se me ocurrió hacer otro programa. En esta ocasión busqué los pares  que se podían expresar como suma dos primos (coprimos con el par) que, además, no tuvieran (uno u otro) un primo gemelo mayor; o sea, descartando los pares tales que

[texx]2n=p_{1}+p_{2}:\, p_{1}+2\notin\mathbb{P}\vee p_{2}+2\notin\mathbb{P}
 [/texx]
[...]

 ¿Los números [texx]p_{1}[/texx] y [texx]p_{2}[/texx] tienen que ser primos? Si fuera así, sí es posible que [texx]p_{1}+p_{2}[/texx] sea múltiplo de tres. Pues con excepción del [texx]2[/texx] y el [texx]3[/texx] todos los números primos son de la forma [texx]6k-1[/texx] o [texx]6k+1.[/texx] Entonces basta sumar un primo de la forma [texx]6k-1[/texx] con otro de la forma [texx]6\widehat{k}+1[/texx] para obtener un múltiplo de tres. Por ejemplo [texx]887+907=1794=3\times 598.[/texx]

Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. Sí, son primos y coprimos con el par; es decir, se descartan los de la forma [texx]2p[/texx] que cumplen trivialmente la conjetura (y he metido la pata en una cosa, no es un “sólo y sí solo”, lo cumplen los múltiplos de 3 pero también otros, porque el primero que no cumple eso es 28).
Conozco lo de los famosos [texx]6n\pm{1}[/texx], incluso un amigo de aquí del foro me adjudicó parte de su invención :cara_de_queso:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83147.msg332885#msg332885

Ah, esto

Cita

Hola feriva.

 No entiendo bien lo que conjeturas aquí

Es al menos alguna pareja; no todas, claro.


Saludos.
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« Respuesta #4 : 11/11/2016, 04:12:45 pm »

Hola.

 Sigo sin entender, no veo cómo generas la lista que anotaste antes, ni qué es lo que conjeturas. Al inicio pensé que decías que una suma de dos primos diferentes no podía ser múltiplo de tres, pero creo que tienes claro que eso es falso.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #5 : 11/11/2016, 04:48:32 pm »

Hola.

 Sigo sin entender, no veo cómo generas la lista que anotaste antes, ni qué es lo que conjeturas. Al inicio pensé que decías que una suma de dos primos diferentes no podía ser múltiplo de tres, pero creo que tienes claro que eso es falso.

Saludos,

Enrique.


Falla el programa en algún sitio, lista números que sí cumplen la condición; pero ya lo eh corregido y puesto en la nueva respuesta

Espera, empiezo un poco por el principio, porque escribo como suponiendo que todo el mundo conoce la forma en que trato esto (por haberlo contado por ahí en otros hilo) y no tiene por qué ser así.

Dado un par [texx]2n
 [/texx] se puede expresar con dos sumandos de esta forma para todos los posibles:

[texx](0+2n);(1+(2n-1));(2+(2n-2))...(n+n)
 [/texx]

De ahí elimino los pares y los impares que no son coprimos con “n”.

Entonces podemos tener distintas parejas de primos que suman el par; aquí tenemos dos, por ejemplo

[texx]0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,(13),14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26[/texx]

Siempre son coprimos entre ellos y con el par por el lema de Euclides; a no ser, como en este caso, que tomemos [texx]13+13[/texx]. Es decir, exlluyendo los casos “2p”, la conjetura sólo se cumple para primos coprimos con el par.

Mi programa da valores a “n” en un bucle, toma el primer valor y después llama a una función que comienza con otro bucle for. Este segundo bucle, el de la función, va tomando los impares desde 3 hasta llegar a “n-1” (si es impar lo toma y, si no, no).

A partir del valor tomado, sea “a”, mete en una variable el otro valor, “b=2n-a”; su pareja para formar el par por suma.

Detrás va un condicional con el mcd para que sólo tome coprimos y una orden que dice literalmente así:

if isprime (a) == True and isprime (b)== True and (isprime (a+2)==True or isprime (b+2) == True):

break

Es decir, si es verdad que los dos son primos y, además, es cierta la disyunción que ves en el paréntesis, rompe el bucle; y de inmediato salta al bucle principal y toma otro “n” descartando  el “n” del “2n” que sí cumple la condición.

Si no encuentra esa condición, con el mismo “n”, toma la pareja “a,b” siguiente y así con todas hasta que llega a “n-1” y no hay más parejas. Sólo cuando no existe ninguna pareja de primos que tenga un primo gemelo a la derecha (alguno de los dos, el primo “a” o el “b”, o quizá los dos, ahora mismo no sé si la disyución es exlcusiva con el comando “or” de Python) llega a imprimir el número. Y resulta que no imprime ningún múltiplo de 3, lo que quiere decir que los descarta porque sí cumplen la condición; alguna pareja o varias, “a,b”, de los múltiplos de 3 tienen un primo gemelo a derecha.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #6 : 12/11/2016, 09:05:37 am »


Ya corregido el programa, la conjetura se sigue cumpliendo tal como decía; repito el enunciado para que quede claro:

Dado un múltiplo de 6, si se cumple la conjetura fuerte de Goldbach para dicho número (con esta condición previa) siempre existen al menos dos primos [texx]p_1[/texx] y [texx]p_2[/texx] tales que

[texx]2n=p_{1}+p_{2}:\, p_{1}+2\in\mathbb{P}\vee p_{2}+2\in\mathbb{P}
 [/texx]

(la disyunición no es excluyente, ya lo he mirado).

Otra cosa que tengo que añadir es que puede ocurrir esto

1,2,3,4,5,(6),7,8,9,10,11,12 con 5+7= 12

 y resulta que el propio [texx]p_2[/texx] es el gemelo de [texx]p_1[/texx]; así que se cumple la condición en ese caso.


Probando los primeros 10000 pares consecutivos de manera que el programa liste los que no cumplen la condición, no se encuentra ningún múltiplo de 3 (luego, he probado unos cuantos más pero a saltos). El último que da esta lista es 19988.

Los números que no cumplen lo dicho empiezan a partir de 38: son 38,
 68,
 80,
 98,
 122...

O sea, hasta 38 todos los pares sí tienen alguna “pareja Goldbach” tal que alguno de sus primos tiene un primo gemelo hacia la derecha.

Veamos un poco lo que quiere decir esto con unos ejemplo:

El  número 38, primero de la lista, se puede formar con dos parejas de primos, que son

7, 31
19, 19  (ésta se puede excluir, como dije)


Sumando 2 a esos primos no encontramos primos gemelos en ningún caso, tenemos 9, 33, 21.

 

El  número 68, siguiente de la lista, se puede formar con dos parejas de primos, que son

7, 61
31, 37

Lo mismo, siempre tenemos compuestos si sumamos 2: son 9, 63, 33 y 39

El siguiente
 es 80, y en esta ocasión encontramos cuatro “parejas Goldbach”


7, 73
13, 67
19, 61
37, 43

Una vez más, sumando 2 tenemos 9, 75, 15, 69, 21, 63, 39, 45; todos compuestos, sin compañeros gemelos a la derecha.

Una vez que ya he comprobado bien que el programa hace lo que quiero que haga, repito la lista corregida:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

El programa es éste

Spoiler (click para mostrar u ocultar)


Espero que ahora ya no haya problemas y todo quede claro.

...

Como también decía, si los descomponemos vamos encontrando que entre sus factores hay primos de todos los colores, 2,5,7,11,13... a unas distancias que no son regulares (como es lógico, porque la condición es un tanto especial) pero faltan siempre los múltiplos de   3, que estarían a una distancia imposible, sin “enlazar modularmente” con nadie desde el principio de la sucesión de naturales; esto es algo vago dicho así, pero ¿se entiende lo que quiero decir?

Los números naturales, en orden, guardan una distancia “p” sin son múltiplos de “p”; y después a “p” le sigue “2p”, etc., en fin, no hay que dar más explicaciones.
Aquí no pasa eso exactamente así, pero tomando una cantidad de números de la lista vamos a encontrar un porcentaje de múltiplos de 2, de 5... que están en ese conjunto a unas distancias irregulares pero no demasiado grandes. Estas distancias son irregulares porque, evidentemente, faltan los múltiplos que sí cumplen la condición. En definitiva... cada uno puede sacar sus conclusiones y hacer sus apuestas sobre si esto se cumple o no.

Sin embargo, al no ser únicamente los múltiplos de 3 los que cumplen la condición, se hace difícil de tratar; no se puede ni intentar trabajar por reducción al absurdo (al menos directamente) porque no es absurdo que los no múltiplos de 3 la cumplan, ya que existen, y muchos.

Si se demostrara no aportaría mucho en cuanto a hacer afirmaciones; casi sólo se sacaría esto en limpio: “si la conjetura de Goldbach se cumple, entonces hay infinitos primos gemelos...” Todo muy condicionado. En otras palabras, la demostración serviría para hacer una segunda conjetura más; ya que, para considerar la condición, primero tiene que haber esos dos primos, que no está demostrado formalmente que los haya. No obstante, no deja de ser una conjetura muy llamativa, al menos a mí así me lo parece.

Los múltiplos de 2, como son todos, pues siempre aparecerán entre los que la cumplen y  los que no, obviamente; pero qué pasa si consideramos el caso “p=3” de lo que he dado en llamar (en la primera respuesta de este hilo) la conjetura generalizada; ¿ocurrirá algo paralelo con otro primo, como podría ser, por ejemplo, el 5? Quizá pueda haber alguna “simetría” en todos los casos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #7 : 14/11/2016, 09:01:33 am »

Hola

 Aquí se conjetura (basándose en experimentos que no he comprobado) que todo número par mayor que [texx]4208[/texx] puede escribirse como suma de dos primos gemelos.

 No es exactamente lo mismo, porque entiendo que alguno de tus dos primos tienen que ser los hermanos pequeños de cada pareja de primos gemelos, mientras que allí pueden ser también los hermanos mayores.

 Buceando en la red aparecen otras muchas conjeturas que matizan y juegan con la conjetura de Goldbach.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #8 : 14/11/2016, 02:35:37 pm »

Hola

 Aquí se conjetura (basándose en experimentos que no he comprobado) que todo número par mayor que [texx]4208[/texx] puede escribirse como suma de dos primos gemelos.

 No es exactamente lo mismo, porque entiendo que alguno de tus dos primos tienen que ser los hermanos pequeños de cada pareja de primos gemelos, mientras que allí pueden ser también los hermanos mayores.

 Buceando en la red aparecen otras muchas conjeturas que matizan y juegan con la conjetura de Goldbach.

Saludos.

Muchas gracias, el_manco. Tengo otra cosa sobre los primos gemelos a la que me gustaría que le echaras un ojo, pero aún no la tengo escrita, se me ha ocurrido esta mañana; la pondré en este mismo hilo.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 14/11/2016, 04:06:30 pm »

Saludos, feriva.

Hacía tiempo que no te escribía.

Revisando lo que has hecho, se me ha ocurrido lo siguiente. Espero que esto no lo hayas planteado ya en tu exposición. No me ha parecido verlo.

Tenemos el entero par [texx]\displaystyle n[/texx] que queremos expresar como suma de dos primos, al menos uno de ellos primo gemelo, con su correspondiente primo gemelo a su derecha, y el otro puede o no ser primo gemelo.

Por lo visto en anteriores comentarios, todos los primos, salvo [texx]\displaystyle 2[/texx] y [texx]\displaystyle 3[/texx], son de la forma [texx]\displaystyle 6\cdot k\pm 1[/texx]. Por tanto, si [texx]\displaystyle p_{izda}[/texx] es un primo gemelo, y [texx]\displaystyle p_{dcha}[/texx] es su correspondiente primo gemelo a su derecha, tenemos que [texx]\displaystyle p_{izda}=6\cdot k-1[/texx] y [texx]\displaystyle p_{dcha}=6\cdot k+1[/texx].

Supongamos que el entero [texx]\displaystyle n[/texx] puede escribirse como suma de [texx]\displaystyle p_{izda}[/texx] y otro primo [texx]\displaystyle q[/texx], todos los primos distintos de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx]. Tenemos que [texx]\displaystyle n=p_{izda}+q[/texx].

Ahora, podemos expresar [texx]\displaystyle n[/texx] como [texx]\displaystyle n=2\cdot(3\cdot m+d)[/texx], con [texx]\displaystyle d=0, \ 1 \ ó \ 2[/texx]. Sustituyendo, queda al final:

[texx]\displaystyle n=p_{izda}+q \to \\
2\cdot(3\cdot m+d)=6\cdot k-1+q \to \\
q=6\cdot m+2\cdot d-6\cdot k+1 \to \\
q=6\cdot(m-k)+2\cdot d+1[/texx].

Como [texx]\displaystyle q[/texx] es primo distinto de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx], debe ser de la forma [texx]\displaystyle q=6\cdot t\pm 1[/texx]. Por tanto, debe cumplirse [texx]\displaystyle 2\cdot d+1=\pm 1[/texx], es decir, [texx]\displaystyle \cancel{d=0 \ ó \ d=2}[/texx]. [texx]\displaystyle 2\cdot d=0 \ ó \ 2\cdot d=-2[/texx], que queda como [texx]\displaystyle d=0 \ ó \ d=-1\equiv 2\pmod{3}[/texx]. Como vemos, [texx]\displaystyle d\ne 1[/texx], es decir, que para que [texx]\displaystyle n[/texx] par pueda ser la suma de un primo gemelo a la izquierda junto con otro primo (gemelo o no), ambos distintos de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx], [texx]\displaystyle n[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle n=2\cdot(3\cdot m+d)[/texx], con [texx]\displaystyle d\not\equiv 1\pmod{3}[/texx], o lo que es equivalente, [texx]\displaystyle n\not\equiv 2\pmod{6}[/texx]. O lo que es lo mismo, si [texx]\displaystyle n\equiv 2\pmod{6}[/texx], [texx]\displaystyle n[/texx] no es la suma de un primo gemelo a la izquierda más otro primo, ambos distintos de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx]. Bueno, esto es verdad si no me he equivocado, claro :sonrisa:.

No es que esto ayude mucho a comprobar tu conjetura, pero es algo que me parece interesante. Además, podría dar otras ideas.


------------------------------------------------------------
CORRECCIÓN:


Bueno, esto es verdad si no me he equivocado, claro :sonrisa:.


Pues resulta que sí que me he equivocado :avergonzado:. Lo que está en rojo está mal. Lo corrijo a continuación, en azul. Al final la conclusión es la misma, si no me he equivocado de nuevo :sonrisa:.

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feriva
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« Respuesta #10 : 14/11/2016, 06:51:28 pm »

Muchas gracias, sqrmatrix; ahora después de cenar lo miro, que estaba escribiendo esto que voy a poner, lo que decía en la respuesta anterior a el_manco (acabo de ver tu entrada ahora mismo).

Claro que es interesante, muchas gracias, ya la he leído.

Más sobre la cuestión.

Realmente, la conjetura se cumpliría si se pudiera asegurar que todo “2n” que cumpla la conjetura (hasta donde llegue supuestamente) teniendo alguna pareja [texx]p_{1}+p_{2}
 [/texx] (siendo primos) o una pareja [texx]p_{1}+c
 [/texx]; pero en este último caso el primo mayor habría de estar delante de “c” (a dos unidades); no valdría en general un primo gemelo siguiendo al primo.

La razón de que se cumpliría es casi obvia (pero la explico por si pasara algún lector no muy aficionado al tema):

Todo número par se puede formar como suma de dos primos o un primo y un compuesto, esto es trivial:

si el [texx]2n[/texx] se compone por “p”, pues se podrá expresar como suma de “p” y otro número, que será primo o compuesto.

Por tanto, como sabemos que se cumple para muchos pares seguidos, si suponemos que esto se cumple para todos los pares, y que hay un último que cumple la conjetura por última vez, sería falso; pues se cumpliría para el siguiente en contra de la hipótesis hecha, ya que, tendríamos [texx]p_{1}+(c+2)
 [/texx] siendo “c+2” ese primo siguiente (puedes probar a hacer un programa con esta idea, a ver si funciona también para todos los pares múltiplos de 3; yo no lo sé, lo pensé pero lo he ido dejando).



Hola el_manco, ésta era la cuestión que decía:

(me había hipnotizado la tabla tontamente; ahora he visto que no tiene por qué funcionar como digo; si quieres no pierdas el tiempo en mirarlo)

Tomo los primos sin el 2 en [texx]\mathbb{Z}_{3}
 [/texx] y los coloco en tres columnas según su resto correspodiente y lo demás lo relleno con ceros:

[texx]\begin{array}{ccccc}
{\color{blue}p\equiv1(mod\:3)} &  & {\color{blue}p\equiv2(mod\:3)} &  & {\color{blue}p\equiv0(mod\:3)}\\
0 &  & 0 &  & 0\\
0 &  & 0 &  & 3\\
0 &  & 5 &  & 0\\
7 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
0 &  & 11 &  & 0\\
13 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
0 &  & 17 &  & 0\\
19 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
0 & {\color{red}} & {\color{red}23} &  & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & 29 &  & 0\\
31 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
37 &  & 0 &  & 0\\
0 &  & 41 &  & 0\\
43 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
0 &  & {\color{red}47} &  & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & {\color{red}53} &  & 0\\
{\color{red}0} & {\color{red}\leftarrow\swarrow} & 59 &  & 0\\
61 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0\\
67 &  & 0 &  & 0\\
0 &  & 71 &  & 0\\
73 & \leftarrow\swarrow & 0 &  & 0
\end{array}
 [/texx]

Todos, excepto el tres, quedan en solamente dos columnas, como es lógico.

Los primos gemelos (en cada pareja de ellos, digo) tienen siempre distinto resto, “resto 1” ó “resto 2”; por lo que se produce un cambio de columna; es decir, a partir de que aparecen unos gemelos, el gemelo mayor pasa a estar en la otra columna.

O dicho de otra forma, hasta que no entra en juego una pareja de primos gemelos, los números van apareciendo siempre en la misma columna.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Por tanto, si a partir de un supuesto “n” crítico dejara de haber primos gemelos, los primos aparecerían, desde ahí, ya para siempre en la misma columna. (dicho como “curiosidad”, si observamos las flechas hacia arriba -no dibujadas- en las diagonales y en los cambios de columna, encontramos primos a distancia de 4 unidades en vez de dos; 11 y 7; 17 y 13... etc.)

Pero no tengo nada más que el argumento de la tabla; no sé si se puede  aceptar.

...

Supongamos entonces que llega ese “n” crítico; todos los primos desde ahí hasta el infinito serán ó así [texx]p\equiv1(mod\,3)
 [/texx] ó así [texx]p\equiv2(mod\,3)
 [/texx]; de una u otra forma, pero nunca de las dos.

En consecuencia, la suma de tres primos cualesquiera mayores que “n” será siempre un múltiplo de 3, pues tendremos

[texx]S_{p}=3k+3
 [/texx] ó [texx]S_{p}=3k+6
 [/texx]

Tomando dos primos cualesquiera de ésos, sean [texx]p_{1},p_{2}
 [/texx], tendríamos:

[texx](p_{1}+p_{1}+p_{2})-(p_{1}+p_{1}+p_{1})=p_{2}-p_{1}=\overset{\cdot}{3}
 [/texx]

[texx](p_{1}+p_{1}+p_{2})-(p_{1}+p_{1}-p_{1})=p_{2}+p_{1}=\overset{\cdot}{3}
 [/texx] Esto tampoco está bien

[texx](p_{2}+p_{1})+(p_{2}-p_{1})=2p_{2}=\overset{\cdot}{3}
 [/texx]

Pero entonces

[texx]p_{2}+p_{2}+p_{2}=2p_{2}+p_{2}\Rightarrow3|p_{2}
 [/texx]

Gracias.

Saludos.
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« Respuesta #11 : 15/11/2016, 12:41:41 pm »

Saludos de nuevo, feriva.

Realmente, la conjetura se cumpliría si se pudiera asegurar que todo “2n” que cumpla la conjetura (hasta donde llegue supuestamente) teniendo alguna pareja [texx]p_{1}+p_{2}
 [/texx] (siendo primos) o una pareja [texx]p_{1}+c
 [/texx]; pero en este último caso el primo mayor habría de estar delante de “c” (a dos unidades); no valdría en general un primo gemelo siguiendo al primo.

Había entendido anteriormente que teníamos dos primos, uno de ellos gemelo izquierdo. Este planteamiento que mencionas es menos restrictivo que el anterior. Se pueden aplicar los cálculos de mi otro mensaje.

Partimos del entero par [texx]\displaystyle n[/texx], del primo [texx]\displaystyle p[/texx], distinto de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx], y del entero [texx]\displaystyle c[/texx], primo o no, también distinto de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx], de tal forma que [texx]\displaystyle c+2[/texx] es primo.

Por ser [texx]\displaystyle p[/texx] primo distinto de [texx]\displaystyle 2[/texx] y de [texx]\displaystyle 3[/texx], será de la forma [texx]\displaystyle p=6\cdot r\pm 1[/texx]. [texx]\displaystyle n[/texx], como antes, lo podemos expresar como [texx]\displaystyle n=2\cdot(3\cdot m+d)[/texx], con [texx]\displaystyle d=0, \ 1 \ ó \ 2[/texx]. Tenemos que [texx]\displaystyle n=p+c[/texx], por lo que [texx]\displaystyle c=n-p[/texx]. Además, [texx]\displaystyle c+2[/texx] ha de ser primo, lo que significa que debe ser de la forma [texx]\displaystyle c+2=6\cdot s\pm 1[/texx]. Sustituyamos. Empezaremos suponiendo que [texx]\displaystyle p=6\cdot r+1[/texx]:

[texx]\displaystyle
c=n-p \to \\
c=2\cdot(3\cdot m+d)-(6\cdot r+1) \to \\
c=6\cdot m+2\cdot d-6\cdot r-1 \to \\
c=6\cdot(m-r)+2\cdot d-1[/texx]

Como se indicó antes, [texx]\displaystyle c+2[/texx] es primo. Así que sumaremos [texx]\displaystyle 2[/texx] al anterior resultado y veremos para qué valores de [texx]\displaystyle d[/texx] puede ser primo:

[texx]\displaystyle
c=6\cdot(m-r)+2\cdot d-1 \to \\
c+2=6\cdot(m-r)+2\cdot d+1[/texx]

Para que [texx]\displaystyle c+2[/texx] sea primo, tiene que cumplirse [texx]\displaystyle 2\cdot d+1=\pm1[/texx]. Tenemos que [texx]\displaystyle 2\cdot d=0 \ ó \ 2\cdot d=-2[/texx], que queda al final [texx]\displaystyle d=0 \ ó \ d=-1\equiv 2\pmod{3}[/texx].

Repitiendo los cálculos para [texx]\displaystyle p=6\cdot r-1[/texx], tenemos:

[texx]\displaystyle
c=n-p \to \\
c=2\cdot(3\cdot m+d)-(6\cdot r-1) \to \\
c=6\cdot m+2\cdot d-6\cdot r+1 \to \\
c=6\cdot(m-r)+2\cdot d+1 \to \\
c+2=6\cdot(m-r)+2\cdot d+3[/texx]

Como antes, para que [texx]\displaystyle c+2[/texx] sea primo, tiene que cumplirse [texx]\displaystyle 2\cdot d+3=\pm1[/texx]. Tenemos que [texx]\displaystyle 2\cdot d=-2 \ ó \ 2\cdot d=-4[/texx], que queda al final [texx]\displaystyle d=-1\equiv 2\pmod{3} \ ó \ d=-2\equiv 1\pmod{3}[/texx].

De aquí concluimos que si [texx]\displaystyle n[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot(3\cdot m)[/texx], es decir, [texx]\displaystyle n\equiv 0\pmod{6}[/texx], entonces [texx]\displaystyle p[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle p=6\cdot r+1[/texx]. Si [texx]\displaystyle n[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot(3\cdot m+1)[/texx], es decir, [texx]\displaystyle n\equiv 2\pmod{6}[/texx], entonces [texx]\displaystyle p[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle p=6\cdot r-1[/texx]. Y si [texx]\displaystyle n[/texx] es de la forma [texx]\displaystyle 2\cdot(3\cdot m+2)[/texx], es decir, [texx]\displaystyle n\equiv 4\pmod{6}[/texx], entonces [texx]\displaystyle p[/texx] es de cualquiera de las dos formas.

Y, como de costumbre, espero no haberme equivocado.
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« Respuesta #12 : 15/11/2016, 01:37:10 pm »



Había entendido anteriormente que teníamos dos primos,


Hola. Sqrmatrix, gracias por el mensaje y gracias por el análisis, creo que no te equivocas.

Y sí, en principio consideraba dos primos, esto del compuesto es otra cosa (que no es la primera vez que considero, pero nunca me había preocupado en programar para ver qué podía pasar con una y otra).

He cambiado la línea de comandos del programa que puse para que filtre los de ese tipo: con el compuesto mayor que el primo, ó sea, el compuesto en [texx](n,2n)[/texx] tal que [texx]c+2=p[/texx].

En 10000 números sólo éstos pares “2n” cumplen esta condición: 8,10, 36, 210. No he hecho más que cambiar esa linea que elige las condiciones, no sé si habré estropeado algo, pero no veo nada mal; el programa saca estos números y después está un rato buscando hasta que llega al final sin encontrar a nadie. Y, como ves, en esta ocasión sí hay un múltiplos de tres; pero lo curioso es eso, sólo esos cuatro números en 10000 pares. Seguro que tú podrías llegar más arriba a ver quién es el siguiente, ya sabes que yo programando soy... como con todo, un tanto bohemio y desastre.

 Si no lo encontramos, ya tenemos otra conjetura tipo la delos primos de Fermat; ¿sólo hay ésos que cumplan eso? Yo me inclino porque no es así; pero, si lo fuera, esto sí que sería más curioso, sería una particularidad llamativa (por eso pienso que no es así, porque me parece demasiado llamativa)

Saludos.
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« Respuesta #13 : 15/11/2016, 03:23:30 pm »

Hola.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

 Ya veo, creo que ya entiendo un poco mejor lo que decías. Que pena que estos días esté especialmente ocupado, el hilo está empezando a crecer y creo que no podré aportar nada  :triste: :cara_de_queso:.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #14 : 15/11/2016, 05:08:18 pm »


 Ya veo, creo que ya entiendo un poco mejor lo que decías. Que pena que estos días esté especialmente ocupado, el hilo está empezando a crecer y creo que no podré aportar nada  :triste: :cara_de_queso:.

Saludos,

Enrique.

Vaya, pues una pena, porque estimo mucho tus respuestas, pero no te preocupes, cuando puedas y si quieres.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 16/11/2016, 06:52:46 am »

Saludos, feriva.

En 10000 números sólo éstos pares “2n” cumplen esta condición: 8,10, 36, 210. No he hecho más que cambiar esa linea que elige las condiciones, no sé si habré estropeado algo, pero no veo nada mal; el programa saca estos números y después está un rato buscando hasta que llega al final sin encontrar a nadie. Y, como ves, en esta ocasión sí hay un múltiplos de tres; pero lo curioso es eso, sólo esos cuatro números en 10000 pares. Seguro que tú podrías llegar más arriba a ver quién es el siguiente, ya sabes que yo programando soy... como con todo, un tanto bohemio y desastre.

 Si no lo encontramos, ya tenemos otra conjetura tipo la delos primos de Fermat; ¿sólo hay ésos que cumplan eso? Yo me inclino porque no es así; pero, si lo fuera, esto sí que sería más curioso, sería una particularidad llamativa (por eso pienso que no es así, porque me parece demasiado llamativa)

He hecho pruebas hasta 100000000 (100 millones) y sólo da los valores que indicas (bueno, el algoritmo que he hecho también me da los valores 2, 4 y 6. El 2 y el 4 no deberían salir (no comprobé que el primer primo que pruebo, el 3, es menor o igual que la mitad del entero). El 6 no sé si entraría dentro de tu criterio, pues 3 es primo y está en el intervalo (3,6)). Pensaba que iban a salir más números, pero no. Resulta bastante interesante. Espero no haberme equivocado en el algoritmo.
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« Respuesta #16 : 16/11/2016, 07:01:35 am »


He hecho pruebas hasta 100000000 (100 millones) y sólo da los valores que indicas (bueno, el algoritmo que he hecho también me da los valores 2, 4 y 6. El 2 y el 4 no deberían salir (no comprobé que el primer primo que pruebo, el 3, es menor o igual que la mitad del entero). El 6 no sé si entraría dentro de tu criterio, pues 3 es primo y está en el intervalo (3,6)). Pensaba que iban a salir más números, pero no. Resulta bastante interesante. Espero no haberme equivocado en el algoritmo.

Pues muchísimas gracias por comprobarlo; seguiré pensando cosas y, si se me ocurre algo más, tengo dificultades para sacar alguna conclusión o programar algo que llegue lejos, te digo.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 16/11/2016, 07:41:05 am »


He hecho pruebas hasta 100000000 (100 millones) y sólo da los valores que indicas (bueno, el algoritmo que he hecho también me da los valores 2, 4 y 6. El 2 y el 4 no deberían salir (no comprobé que el primer primo que pruebo, el 3, es menor o igual que la mitad del entero). El 6 no sé si entraría dentro de tu criterio, pues 3 es primo y está en el intervalo (3,6)). Pensaba que iban a salir más números, pero no. Resulta bastante interesante. Espero no haberme equivocado en el algoritmo.

Pues muchísimas gracias por comprobarlo; seguiré pensando cosas y, si se me ocurre algo más, tengo dificultades para sacar alguna conclusión o programar algo que llegue lejos, te digo.

Saludos.

Gracias a tí por tus interesantes aportaciones. Por cierto, las pruebas las he hecho en JavaScript, porque no tenía acceso a Java. En cuanto tenga tiempo, probaré a hacer el algoritmo en Java, que irá más rápido, y podré probar más valores. Si en algo te puedo ayudar, en lo que pueda, te ayudaré sin problemas (salvo cuando no tenga tiempo, claro :sonrisa: )
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« Respuesta #18 : 16/11/2016, 08:51:30 am »

Saludos de nuevo, feriva.

Después de la prueba que he hecho, he estado pensando en tu criterio para esos números. No sé si recuerdas cuando publiqué unas observaciones sobre la conjetura de Goldbach, que hice unas tablas. Te pongo el enlace que nos interesa para lo que voy a explicar:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89451.msg359479#msg359479

Quería ver cómo determinar los enteros pares que cumplen tu criterio en la tabla. Las condiciones son simples. En la columna del entero en cuestión, tenemos debajo una columna de valores. En verde están los valores primos, y en blanco los no primos.

En tu criterio, el entero debe cumplir que, para todo primo en el intervalo [texx]\displaystyle (0,n/2)[/texx], no exista ningún compuesto [texx]\displaystyle c[/texx] (que estará en el intervalo [texx]\displaystyle (n/2,n)[/texx]) tal que [texx]\displaystyle c+2[/texx] sea primo.

En la tabla esto se traduce de la siguiente manera: Nos ponemos en la columna del entero [texx]\displaystyle n[/texx]. Miramos todos los valores debajo de [texx]\displaystyle n[/texx] en color blanco (los compuestos) y mayores o iguales a [texx]\displaystyle n/2[/texx] (los de más arriba). Si todas las celdas debajo del entero [texx]\displaystyle n[/texx] son verdes, el entero [texx]\displaystyle n[/texx] cumple el criterio (pues no hay compuestos). En caso de haber casillas en blanco, comprobamos si dos casillas a la derecha de cada una de ellas, la correspondiente casilla es blanca. Si en algún caso esa casilla a la derecha es verde, el entero [texx]\displaystyle n[/texx] no cumple el criterio. Si en todos los casos la casilla a la derecha es blanca, el entero [texx]\displaystyle n[/texx] sí cumple tu criterio.

Podemos ver que el [texx]\displaystyle 6[/texx], el [texx]\displaystyle 8[/texx] y el [texx]\displaystyle 10[/texx] cumplen tu criterio, pues no tienen casillas en blanco.

El siguiente que lo cumple es el [texx]\displaystyle 36[/texx]. Las casillas en blanco que tenemos que comprobar son las de los valores [texx]\displaystyle 33[/texx] y [texx]\displaystyle 25[/texx], que dos casillas a su derecha tienen otras casillas en blanco. En el resto de valores, podemos ver que siempre tienen alguna casilla en blanco que tiene dos casillas a su derecha una casilla verde, con lo cual ya no cumplen tu criterio.

El valor [texx]\displaystyle 210[/texx] no aparece en la tabla, por lo que no podemos comprobarlo.
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« Respuesta #19 : 16/11/2016, 11:35:28 am »

Saludos otra vez, feriva.

Revisando lo de la tabla, podemos ver unas condiciones que deben cumplir los enteros que cumplen tu criterio. No nos ayudará para buscar tales enteros más rápidamente que lo que estamos haciendo, pero creo que es interesante.

Si nos fijamos en las condiciones que indiqué, necesitamos que cada compuesto (en la tabla que dije en el anterior comentario) de la columna del entero tenga a su derecha (dos casillas más allá) otro compuesto. Siendo impares los compuestos de la columna, podemos decir que es necesario que haya dos compuestos impares seguidos, el primero de ellos en la columna del entero. Esto nos lleva a las siguientes condiciones:

Para saber si el entero [texx]\displaystyle n[/texx] cumple tu criterio, tomemos todos los primos [texx]\displaystyle p\le\dfrac{n}{2}[/texx]. De todos ellos, tomemos sólo aquellos en los que [texx]\displaystyle c=n-p[/texx] es compuesto (si no hay ninguno, el entero cumple tu criterio). Para cada [texx]\displaystyle c[/texx] obtenido de esta manera, sean los dos primos consecutivos [texx]\displaystyle q_i,q_{i+1}[/texx], el primero anterior a [texx]\displaystyle c[/texx] y el segundo posterior, es decir, [texx]\displaystyle p_i<c<p_{i+1}[/texx]. Entonces [texx]\displaystyle n[/texx] cumple tu criterio si [texx]\displaystyle p_{i+1}-p_i\ge 6[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}-c\ge 4[/texx] para todos los valores de [texx]\displaystyle c[/texx] obtenidos.

Lo interesante de esto es que los compuestos [texx]\displaystyle c[/texx] que cumplen [texx]\displaystyle n=p+c[/texx], [texx]\displaystyle n[/texx] el entero que cumple tu criterio, [texx]\displaystyle p[/texx] primo, deben estar en lagunas de al menos 5 compuestos seguidos, y además no debe ser el último compuesto impar de dicha laguna.

Esto no ayuda mucho al estudio de estos enteros, pero quién sabe si no dará alguna idea más adelante.
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