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Autor Tema: Divergencia  (Leído 751 veces)
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CKmatematico08
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« : 21/10/2016, 10:25:51 am »

Hola, alguna sugerencia para este problema.

Demostrar que la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{n}}.\displaystyle\frac{1+a_{n+1}}{a_n}[/texx] es divergente para toda sucesión [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] con [texx]a_n>0, \forall{n\in{\mathbb{N}}}[/texx].

Gracias.
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« Respuesta #1 : 21/10/2016, 08:00:43 pm »

Hola CKmatematico08.

 Sería bueno que indicaras lo que has intentado o las dudas concretas que tienes en los ejercicios que publicas. En nuestro caso podemos seguir el siguiente camino:

[texx]\bullet[/texx] La serie es igual a la suma de las series [texx]\sum_{n}\frac{1}{na_{n}}+\sum_{n}\frac{1}{n}c_{n},[/texx] donde [texx]c_{n}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/texx] para todo [texx]n\in\mathbb{N}.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Supongamos que [texx]\sum_{n}\frac{1}{n}c_{n}[/texx] converge. En este caso si [texx]x_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}c_{k}[/texx] y [texx]x_{0}=0[/texx] podemos verificar que [texx]n(x_{n}-x_{n-1})=c_{n}.[/texx] En consecuencia [texx]\sum_{k=1}^{n}c_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}(x_{n}-x_{k}).[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Fijemos [texx]\varepsilon>0.[/texx] De la convergencia de [texx](x_{n})_{n}[/texx] se sigue que existe [texx]N\in\mathbb{N}[/texx] tal que [texx]|x_{n}-x_{N}|<\varepsilon[/texx] para todo [texx]n\geq N.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Para [texx]n[/texx] suficientemente grande ocurre que

[texx]\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c_{k}\leq\sum_{k=0}^{N-1}(x_{n}-x_{k})+n(x_{n}-x_{N}).[/texx]

[texx]\bullet[/texx] Luego, gracias a que [texx]\sqrt[n]{a_{n+1}/a_{1}}=\sqrt[n]{c_{1}c_{2}\dots c-{n}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}c_{k}[/texx]

[texx]\displaystyle\sqrt[n]{\frac{a_{n+1}}{a_{1}}}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}c_{k}\leq\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{N-1}(x_{n}-x_{k})+\varepsilon.[/texx]

[texx]\bullet[/texx] De lo anterior deduce que [texx]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n+1}}=0,[/texx] en particular [texx]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{na_{n}}}=+\infty[/texx] y por tanto la serie [texx]\sum_{n}\frac{1}{na_{n}}[/texx] diverge.

 Sospecho que debe haber algún camino más corto para resolver la pregunta. Todo el anterior razonamiento conduce a [texx]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{na_{n}}}=+\infty[/texx] que en cierta forma es "información de sobra" para deducir la divergencia de [texx]\sum_{n}\frac{1}{na_{n}}[/texx].

 En fin, si tienes alguna duda, pregunta.

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Saludos,

Enrique.
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