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Autor Tema: Sucesión 1  (Leído 1012 veces)
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CKmatematico08
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« : 21/10/2016, 10:21:24 am »

Hola, podrian darme sugerencia para este problema.

[/tex] Sean las sucesiones de números reales positivos [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx], [texx]\left\{{b_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] tal que: [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(a_n)^n}=a[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(b_n)^n}=b[/texx], con [texx]a,b>0[/texx]
y sean [texx]p,q\in{\mathbb{R^+}}[/texx] / [texx]p+q=1[/texx]. Demostrar que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(pa_n+qb_n)^n}=a^pb^q[/texx]

Gracias.
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« Respuesta #1 : 22/10/2016, 12:19:47 am »

Hola CKmatematico08.

 En este momento sólo se me ocurre lo siguiente: Como el logaritmo es una función cóncava, gracias a la desigualdad de Jensen, obtenemos que [texx]\ln(px+qy)\geq p\ln x+q\ln y=\ln(x^{p}y^{q}).[/texx] Es decir [texx]px+qy\geq x^{p}y^{q}[/texx] para todo [texx]x,y>0.[/texx] De esto se deduce que

[texx](pa_{n}+qb_{n})^{n}\geq (a_{n}^{p}b_{n}^{q})^{n},[/texx]

para todo [texx]n\in\mathbb{N}.[/texx] Luego [texx]\liminf_{n\to\infty}(pa_{n}+qb_{n})^{n}\geq a^{p}b^{q}.[/texx] Probar que [texx]\limsup_{n\to\infty}(pa_{n}+qb_{n})^{n}\leq a^{p}b^{q}[/texx] debe ser más complicado; ahora no se me ocurre cómo. Intenta trabajar con algunas desigualdades y cuéntanos lo que obtienes, tal vez logramos avanzar un poco.

Saludos,

Enrique.
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