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Autor Tema: Convergencia  (Leído 881 veces)
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CKmatematico08
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« : 21/10/2016, 02:24:01 am »

Hola, podrían ayudarme con estos problemas.

[texx]1)[/texx] Sea la sucesión [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}},[/texx] [texx] a_n>0, \forall{n}[/texx]. Defina [texx]S_n=\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+ ... +\displaystyle\frac{1}{a_n}[/texx]  y  [texx]T_n=(1+\displaystyle\frac{1}{a_1})(1+\displaystyle\frac{1}{a_2})...(1+\displaystyle\frac{1}{a_n})[/texx].
Demostrar que si [texx]\left\{{S_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] es convergente, entonces la sucesión [texx]\left\{{Ln(T_n)}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] es convergente.
Donde: [texx]Ln=[/texx] Logaritmo natural

[texx]2)[/texx] Sean las sucesiones de números reales positivos [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx], [texx]\left\{{b_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] tal que: [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(a_n)^n}=a[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(b_n)^n}=b[/texx], con [texx]a,b>0[/texx]
y sean [texx]p,q\in{\mathbb{R^+}}[/texx] / [texx]p+q=1[/texx]. Demostrar que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(pa_n+qb_n)^n}=a^pb^q[/texx]

[texx]3)[/texx] Dadas las sucesiones de números reales positivos [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx], [texx]\left\{{b_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] tal que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{a_1+a_2+...+a_n}}=0[/texx] y [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{b_n}{b_1+b_2+...+b_n}}=0[/texx].
Defina la sucesión [texx]\left\{{c_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx].

[texx]4)[/texx] Sea [texx]\displaystyle\sum_{n\geq{1}}\displaystyle\frac{1}{a_n}[/texx] una serie divergente con [texx]a_n>0, \forall{n\in{\mathbb{N}}}[/texx]. Para [texx]b>0[/texx], estudiar la serie [texx]\displaystyle\sum_{n\geq{1}}\displaystyle\frac{a_1a_2...a_n}{(a_2+b)(a_3+b)...(a_{n+1}+b)}[/texx]

[texx]5)[/texx] Demostrar que la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{1}{n}}.\displaystyle\frac{1+a_{n+1}}{a_n}[/texx] es divergente para toda sucesión [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] con [texx]a_n>0, \forall{n\in{\mathbb{N}}}[/texx].

[texx]6)[/texx] Sea [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{a_n}[/texx] una serie divergente de términos positivos y sea [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{S_n}}=0[/texx], donde [texx]S_n=a_1+a_2+...+a_n[/texx]. Demostrar que [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_1S_1^{-1}+a_2S_2^{-1}+...+a_nS_n^{-1}}{Ln(S_n)}}=1[/texx]
Donde: [texx]Ln=[/texx] Logaritmo natural

[texx]7)[/texx] Sea la serie [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{a_n}[/texx] divergente con [texx]a_n>0, \forall{n}[/texx] y sea [texx]S_n=a_1+a_2+...+a_n>1, \forall{n\geq{1}}[/texx].
Demostrar que:

[texx]a)[/texx] [texx]\displaystyle\sum_{n\geq{1}}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{S_n.Ln(S_n)}[/texx] diverge.
[texx]b)[/texx] [texx]\displaystyle\sum_{n\geq{1}}\displaystyle\frac{a_n}{S_n.Ln^2(S_n)}[/texx] converge.
Donde: [texx]Ln=[/texx] Logaritmo natural

Muchas gracias.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 21/10/2016, 04:29:24 am »

Sería más claro publicar un problema por hilo y en cada caso escribir lo que has intentado.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 21/10/2016, 05:46:08 am »

Hola

   Como indica Fernando abre un nuevo hilo para cada problema y concreta tus dudas y/o avances. Te doy una orientación para el primero.

[texx]1)[/texx] Sea la sucesión [texx]\left\{{a_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}},[/texx] [texx] a_n>0, \forall{n}[/texx]. Defina [texx]S_n=\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+ ... +\displaystyle\frac{1}{a_n}[/texx]  y  [texx]T_n=(1+\displaystyle\frac{1}{a_1})(1+\displaystyle\frac{1}{a_2})...(1+\displaystyle\frac{1}{a_n})[/texx].
Demostrar que si [texx]\left\{{S_n}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] es convergente, entonces la sucesión [texx]\left\{{Ln(T_n)}\right\}_{n\in{\mathbb{N}}}[/texx] es convergente.
Donde: [texx]Ln=[/texx] Logaritmo natural

 Utiliza que:

[texx] ln(1+x)\leq x[/texx] para [texx]x>-1[/texx].

Saludos.
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CKmatematico08
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« Respuesta #3 : 21/10/2016, 01:03:41 pm »

Gracias, al final obtengo.

[texx]Ln(1+\displaystyle\frac{1}{a_1})+Ln(1+\displaystyle\frac{1}{a_2})+...+Ln(1+\displaystyle\frac{1}{a_n})\leq{\displaystyle\frac{1}{a_1}+\displaystyle\frac{1}{a_2}+...+\displaystyle\frac{1}{a_n}}=S_n[/texx]
[texx]Ln(1+\displaystyle\frac{1}{a_1})(1+\displaystyle\frac{1}{a_2})...(1+\displaystyle\frac{1}{a_n})\leq{S_n}[/texx]
[texx]Ln(T_n)\leq{S_n}[/texx]
y por el criterio de Comparación como [texx]S_n[/texx] es convergente , entonces [texx]Ln(T_n)[/texx] es convergente.

Algunas sugerencias para la 2 y la 6?.

Saludos.
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