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Autor Tema: Ortocentro  (Leído 1033 veces)
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Michel
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« : 19 Octubre, 2016, 04:44 »

Demostrar que si el ortocentro de un triángulo acutángulo divide a las aturas en la misma razón, el triángulo es equilátero.
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Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker
feriva
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« Respuesta #1 : 19 Octubre, 2016, 08:24 »

Demostrar que si el ortocentro de un triángulo acutángulo divide a las aturas en la misma razón, el triángulo es equilátero.

Hola, Michel. Aquí dejo un dibujo y mi explicación.

Perdón, he considerado sólo acutángulos equiláteros; habría que considerar los no equiláteros, pero sería fácil también

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Saludos.

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« Respuesta #2 : 20 Octubre, 2016, 21:15 »

Hola.

[...]
Perdón, he considerado sólo acutángulos equiláteros; habría que considerar los no equiláteros, pero sería fácil también
[...]

 feriva, me parece que la parte más complicada es probar que un triángulo acutángulo bajo las condiciones de problema es necesariamente equilátero. Es decir, el reciproco de lo que has mostrado. Dale una revisada, verás que no es trivial.

 Aprovecho para adjuntar mi solución bajo el sigueinte spoiler

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Saludos,

Enrique.

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« Respuesta #3 : 21 Octubre, 2016, 06:11 »

Hola.

 feriva, me parece que la parte más complicada es probar que un triángulo acutángulo bajo las condiciones de problema es necesariamente equilátero. Es decir, el reciproco de lo que has mostrado. Dale una revisada, verás que no es trivial.

 Aprovecho para adjuntar mi solución bajo el sigueinte spoiler

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Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. Muchas gracias, una demostración muy elegante.

No pretendí decir que fuera trivial, hay que hacer operaciones, claro, pero las tenía en papel y no las puse porque me quedó una demostración muy barroca y larga de la que no estaba nada orgulloso; tengo poca o ninguna experiencia en esto, con lo que soy más torpe de lo habitual, que ya es decir.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 21 Octubre, 2016, 15:57 »

Hola feriva.

 No pretendí decir que pretendiste decir que fuera trivial  :risa:. Nada más anoté lo anterior para aclarar que el problema pide probar que un triángulo es equilátero, pues al ver tu respuesta me pareció que interpretaste el recíproco de su enunciado. Pero si no fue así, todo bien.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #5 : 22 Octubre, 2016, 05:17 »

Hola feriva.

 No pretendí decir que pretendiste decir que fuera trivial  :risa:. Nada más anoté lo anterior para aclarar que el problema pide probar que un triángulo es equilátero, pues al ver tu respuesta me pareció que interpretaste el recíproco de su enunciado. Pero si no fue así, todo bien.

Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. En esta ocasión lo entendí bien, por una vez y sin que sirva de precedente :cara_de_queso: pero lo planteé mirando primero a ver qué pasaba con el equilátero y me di cuenta de que el enunciado era equivalente a demostrar que si el ortocentro divide en la misma proporción a todas las alturas, entonces, sólo en ese caso, se forman seis triángulos rectángulos iguales entre sí.

Saludos. 
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