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Autor Tema: Problema con demostracion de teorema de valor medio  (Leído 973 veces)
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BlackSinger
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« : 07/10/2016, 02:00:41 pm »

Hola! Tengo un serio problema con una demostración del teorema de valor medio. En realidad es una tonteria que no entiendo y tengo la esperanza de que alguien mne pueda explicar!

Teorema: Sea [texx]f:\;(a,b)\rightarrow\mathbb{R}[/texx] una fncion diferenciable. Si[texx] f[/texx] alcanza un maximo o un minimo en [texx]c\in(a,b)[/texx] entonces [texx]f'(c)=0. [/texx]
Demostracion: Supongamos que [texx]f[/texx] alcanza un maximo en [texx]c[/texx](el caso del minimo es analogo). Entonces [texx]f(x)\leq f(c)[/texx] para [texx]x[/texx] cerca de [texx]c[/texx]. Por lo tanto tenemos que si [texx]h\geq0[/texx] y pequeño, entonces
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0[/texx]
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0[/texx]

Como existe [texx]lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}[/texx] y es igual a [texx]f'(c)[/texx] tenemos que [texx]f'(c)\leq0[/texx] y [texx]f'(c)\geq0[/texx] por lo tanto [texx]f'(c)=0[/texx]

Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si [texx]h\geq0[/texx] y pequeño, entonces
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0[/texx]
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0[/texx]"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!
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statistic_man
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« Respuesta #1 : 07/10/2016, 02:29:38 pm »

Hola! Tengo un serio problema con una demostración del teorema de valor medio. En realidad es una tonteria que no entiendo y tengo la esperanza de que alguien mne pueda explicar!

Teorema: Sea [texx]f:\;(a,b)\rightarrow\mathbb{R}[/texx] una fncion diferenciable. Si[texx] f[/texx] alcanza un maximo o un minimo en [texx]c\in(a,b)[/texx] entonces [texx]f'(c)=0. [/texx]
Demostracion: Supongamos que [texx]f[/texx] alcanza un maximo en [texx]c[/texx](el caso del minimo es analogo). Entonces [texx]f(x)\leq f(c)[/texx] para [texx]x[/texx] cerca de [texx]c[/texx]. Por lo tanto tenemos que si [texx]h\geq0[/texx] y pequeño, entonces
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0[/texx]
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0[/texx]

Como existe [texx]lim_{h\rightarrow0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}[/texx] y es igual a [texx]f'(c)[/texx] tenemos que [texx]f'(c)\leq0[/texx] y [texx]f'(c)\geq0[/texx] por lo tanto [texx]f'(c)=0[/texx]

Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si [texx]h\geq0[/texx] y pequeño, entonces
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0[/texx]
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq0[/texx]"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!

Lo que te he puesto en verde es la clave. Tomando un [texx]h \geq 0[/texx] "tan pequeño como una quiera" significa que [texx]h \rightarrow 0[/texx] y como la desigualdad de verde sirve para todo x toma en particular un valor "tan proximo a c como quiera", es decir, [texx][c-h,c+h][/texx]. Sustituye en la fórmula de la derivada y estudia el signo.
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ingmarov
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« Respuesta #2 : 07/10/2016, 02:38:41 pm »

Hola BlackSinger

...
Bien, ahora lo que no entiendo es cuando dice

"que si [texx]h\geq0[/texx] y pequeño, entonces
[texx]
\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq0[/texx]
[texx]
\frac{f(c{\bf\color{red}+}h)-f(c)}{h}\geq0[/texx]"

Podrian explicarme porque pasa eso?? Gracias!

Creo que el signo que puse en rojo debe ser menos ¿verdad?

Si es así dale click al spoiler, sino ignóralo.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos
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statistic_man
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« Respuesta #3 : 07/10/2016, 02:45:17 pm »

Si la idea es que uses la desigualdad de verde y la definición de derivada. Si te sirve de consejo, usa esta formulación [texx]\frac{f(x)-f(c)}{x-c}[/texx] para el signo. El numerador estúdialo con la desigualdad [texx]f(x) \leq f(c)[/texx] y el denominador rompiendo el intervalo [c-h,c+h] en [c-h,c] y [c,c+h]. Saludos.
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