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Autor Tema: De fórmulas contingentes a tautologías y contradicciones, demostración  (Leído 1979 veces)
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« : 07 Octubre, 2016, 04:24 »

No sé cómo demostrar que teniendo una fórmula contingente cualquiera, por ejemplo [texx]p\land q[/texx] puedo, mediante sustitución, convertirla en una tautología o en una contradicción, por ejemplo, sustituyendo [texx]p[/texx] por [texx]s\land \lnot s[/texx], tal que la fórmula quedaría [texx](s\wedge \lnot s)\land q[/texx].
Se lo comenté a mi profesor de Lógica y este me dijo que tenía que usar lo demostrado en el lema sobre sustituciones en tautologías para hacer mi demostración. Este lema dice que si hay una valuación [texx]v[/texx] que hace falsa a [texx] sigma(A)[/texx], es decir a la fórmula [texx]A[/texx] una vez hecha la sustitución, entonces hay también una valuación falsa [texx]u[/texx] que hace falsa a la fórmula [texx]A[/texx]. Sinceramente, no sé cómo puedo usar ese resultado para mi demostración.

Muchas gracias :cara_de_queso:
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 07 Octubre, 2016, 04:58 »

Considera una valuación [texx]v[/texx] que haga verdadera a tu fórmula. Para cada variable [texx]p[/texx] que aparezca en la fórmula, si [texx]v(p)= V[/texx], cambia [texx]p[/texx] por [texx]p\lor \lnot p[/texx] y si [texx]v(p)=F[/texx], cambia [texx]p[/texx] por [texx]p\land \lnot p[/texx]. El resultado será una tautología.

Si partes de una valoración que la haga falsa, obtendrás una contradicción.
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« Respuesta #2 : 07 Octubre, 2016, 13:28 »

Si tengo una valuación [texx]v[/texx] que haga verdadera a mi fórmula, no entiendo la necesidad de que todas las variables sean tautológicas, ya que no es necesario que todas las variables lo sean para tener una fórmula tautológica. Por ejemplo en la tautología [texx]p\lor \lnot p[/texx], es imposible que [texx]p\land  \lnot p[/texx] sean verdaderas a la vez.
Seguramente no te estoy entendiendo, si pudiseses explayarte más te lo agradecería.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 07 Octubre, 2016, 17:20 »

Si tengo una valuación [texx]v[/texx] que haga verdadera a mi fórmula, no entiendo la necesidad de que todas las variables sean tautológicas, ya que no es necesario que todas las variables lo sean para tener una fórmula tautológica.

No es necesario, pero sí suficiente. Si transformas una fórmula como te digo, lo que obtienes es una tautología o una contradicción según la valoración de partida.

Por ejemplo en la tautología [texx]p\lor \lnot p[/texx], es imposible que [texx]p\land  \lnot p[/texx] sean verdaderas a la vez.

¿Y por qué tendrían que serlo? Esa fórmula ya es una tautología y no hay nada que hacer con ella. Lo que yo te digo es que si partes de una fórmula que no es ya de por sí una tautología, pero hay una valoración que la hace verdadera, puedes convertirla en una tautología cambiando cada [texx]p[/texx] que sea verdadera según la valoración por [texx]p\lor \lnot p[/texx] y cada [texx]p[/texx] que sea falsa por [texx]p\land \lnot p[/texx]. ¿Cuál es el problema?

Seguramente no te estoy entendiendo, si pudiseses explayarte más te lo agradecería.

Pues, no sé. Por ejemplo, si tienes [texx]p\land q\rightarrow \lnot p[/texx], esa fórmula es verdadera cuando [texx]p[/texx] es verdadera y [texx]q[/texx] es falsa, luego una forma de convertirla en tautología es convertirla en

[texx](p\lor \lnot p)\land (q\land\lnot q)\rightarrow \lnot(p\lor \lnot p)[/texx]

En cambio, la fórmula original es falsa cuando [texx]p, q[/texx] son falsas, luego puedes convertirla en una contradicción haciendo

[texx](p\land\lnot p)\land (q\land\lnot q)\rightarrow \lnot(p\land \lnot p)[/texx].

No sé si lo que quieres decir es que para convertirla en tautología hubiera bastado con

[texx]p\land (q\land\lnot q)\rightarrow \lnot p[/texx],

que es verdad, pero por eso te digo que el método que te propongo simplemente garantiza el objetivo, sin entrar en si hay formas más rápidas de conseguir lo mismo.
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« Respuesta #4 : 08 Octubre, 2016, 11:37 »


No sé si lo que quieres decir es que para convertirla en tautología hubiera bastado con

[texx]p\land (q\land\lnot q)\rightarrow \lnot p[/texx],

que es verdad
Sí, era eso lo que quería decir. Siento que mi ejemplo no ayudase demasiado.
Ahora ya te entiendo mejor, ¡muchas  gracias! ¿Me podrías decir, si no es ya abusar, si esto valdría como demostración más general?

A una fórmula contingente cualquiera [texx]p[/texx], puedo darle una valuación tal que [texx]v(p)=1[/texx], siendo entonces [texx]p[/texx] una tautología. Ya que si una fórmula es contingente, en su tabla de verdad habrá al menos un 1, y al menos un 0. Puedo entonces darle la asignación que quiera. No sucedería lo mismo si fuese una tautología, todas las asignaciones serían siempre 1, o una contradicción que sería siempre 0.
Tengo una fórmula contingente [texx]p[/texx]. Para esta fórmula existen valuaciones tales que [texx]x(p)=1[/texx]y [texx]y(p)=0[/texx].
Quiero hacer de la fórmula contingente [texx]p[/texx] una tautología, por ejemplo. Entonces le asigno el valor de verdad en el que [texx]x(p)=1[/texx]. Esto lo hago mediante sustitución, ya que se pueden hacer sustituciones siempre que se conserven las estructuras de las fórmulas.
Si [texx]p[/texx] es contingente, hago que [texx]sigma(p)[/texx] (la fórmula después de la sustitución) sea ya una tautología. Entonces, por el lema sobre sustituciones en tautologías, si hay una valuación [texx]v(sigma(p))=1[/texx], también hay una valuación [texx]u[/texx] tal que [texx]u(a)=1[/texx]. Luego [texx]v(sigma(p))=u(p)[/texx]. Y si esto es verdad, que lo es ya que está demostrado (en el lema que uso), entonces podemos decir que podemos transformar una contingencia en una tautología.
Sucede lo mismo en el caso de la contradicción, pero partiendo de [texx]y(p)=0[/texx]
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« Respuesta #5 : 08 Octubre, 2016, 12:01 »

¿Me podrías decir, si no es ya abusar, si esto valdría como demostración más general?

¿Más general que qué?

A una fórmula contingente cualquiera [texx]p[/texx], puedo darle una valuación tal que [texx]v(p)=1[/texx], siendo entonces [texx]p[/texx] una tautología.

Eso no tiene sentido. No puedes partir de una [texx]p[/texx] es una fórmula contingente y acabar diciendo que es una tautología. O es una cosa o es la otra. Pero no puede ser una cosa al principio de una frase y otra al final.

Ya que si una fórmula es contingente, en su tabla de verdad habrá al menos un 1, y al menos un 0.

Eso es cierto.

Puedo entonces darle la asignación que quiera.

¿Darle la asignación que quieras a quién? Supongo que quieres decir que puedes tomar una valoración que le asigne el valor 1 o bien una que le asigne el valor 0, pero eso ya lo has dicho antes. No hace falta repetirlo.

No sucedería lo mismo si fuese una tautología, todas las asignaciones serían siempre 1, o una contradicción que sería siempre 0.

Cierto.

Tengo una fórmula contingente [texx]p[/texx]. Para esta fórmula existen valuaciones tales que [texx]x(p)=1[/texx]y [texx]y(p)=0[/texx].

En efecto, vuelves a decir lo mismo por tercera vez.

Quiero hacer de la fórmula contingente [texx]p[/texx] una tautología, por ejemplo.

No. La fórmula [texx]p[/texx] nunca será una tautología, ya que es contingente. Quieres construir a partir de ella una tautología, lo cual es otra cosa.

Entonces le asigno el valor de verdad en el que [texx]x(p)=1[/texx].

¿Y eso qué quiere decir? Si quieres decir que tienes una valoración [texx]x[/texx] que cumple eso, ya lo habías dicho antes. No ganas nada repitiéndolo.

Esto lo hago mediante sustitución, ya que se pueden hacer sustituciones siempre que se conserven las estructuras de las fórmulas.

¿Y esto qué quiere decir? ¿Qué es lo que haces? Si lo que has dicho antes hay que entenderlo como que tomas una valoración que cumple [texx]x(p)=1[/texx], no hay nada que hacer. Esa valoración existe y ya está. No hay nada que sustituir.

Si [texx]p[/texx] es contingente,

Eso ya lo has supuesto antes. No ganas nada volviéndolo a suponer.

hago que [texx]\sigma(p)[/texx] (la fórmula después de la sustitución) sea ya una tautología.

Eso es lo que tienes que hacer, pero la gracia está en que demuestres que puede hacerse, no que digas que ya lo has hecho.

Entonces,

¿Entonces qué más? Si ya has llegado (no se sabe cómo) a una tautología ¿qué más quieres hacer?

por el lema sobre sustituciones en tautologías, si hay una valuación [texx]v(sigma(p))=1[/texx], también hay una valuación [texx]u[/texx] tal que [texx]u(a)=1[/texx].

¿Y quién es [texx]a[/texx]? No puedes meter una letra en una demostración sin decir qué pinta en ella.

Luego [texx]v(sigma(p))=u(p)[/texx].

¿Por qué "luego"? ¿Qué tiene que ver esto con lo anterior?

Y si esto es verdad, que lo es ya que está demostrado (en el lema que uso), entonces podemos decir que podemos transformar una contingencia en una tautología.

¿El qué es verdad? ¿Qué es lo que ya está demostrado?

Sucede lo mismo en el caso de la contradicción, pero partiendo de [texx]y(p)=0[/texx]

¿Lo mismo que qué?

En total: no veo que hayas demostrado en ningún momento que puedes hacer las sustituciones oportunas para convertir una fórmula contingente en una tautología.
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« Respuesta #6 : 08 Octubre, 2016, 17:33 »

¿Más general que qué?
Más general en el sentido de que no necesite hacer tautologías o contradicciones a todas las subfórmulas.
Eso no tiene sentido. No puedes partir de una [texx]p[/texx] es una fórmula contingente y acabar diciendo que es una tautología. O es una cosa o es la otra. Pero no puede ser una cosa al principio de una frase y otra al final.
Eso es lo que tienes que hacer, pero la gracia está en que demuestres que puede hacerse, no que digas que ya lo has hecho.
Al final de la frase puede ser una tautología si ya le he asignado 1 a su valor de verdad. No digo qué sustitución he hecho para conseguir esto, pero si la fórmula tiene 1's y 0's en su tabla de verdad, puedo haber hecho cualquier sustitución, siempre que se respete que el valor de la conectiva principal es 1 (en el caso de las tautologías y 0 en el caso de la contradicción). Quiero decir que si tengo la tabla de verdad de una disyunción (por ejemplo), y sé que que esa disyunción tiene al menos un valor de verdad 1 (como toda fórmula contingente), no me importa si [texx]p\vee q[/texx] son ambas verdaderas o al menos una de ellas lo es. No importa cuál sea la sustitución, sólo tengo que saber que le he asignado la función que le da 1 como valor a la conectiva principal, y que las fórmulas subatómicas se fijarán con respecto a ella y no me importa cómo.
Es lo que quería hacer, si vale o no, eso es lo que me pregunto...
No sucedería lo mismo si fuese una tautología, todas las asignaciones serían siempre 1, o una contradicción que sería siempre 0.

Por eso cualquier asignación que le dé a una de estas fórmulas nunca podrá ser otra distinta del valor que la tienen, nunca podré sustituir en una tautología para hacerla una contingencia, ni una contradicción. Lo mismo pasa con las contradicciones. Pero no con las fórmulas contingentes, por lo que sí puedo hacer esa sustitución y construirlas para que sean o contradicción o tautología. (Reflexión que viene a cuento del lema, creo yo). No sé qué sustitución se hará, pero sé que será posible ya que hay al menos un 1 en su tabla de verdad. O al menos un 0 en el caso de las contradicciones.

¿El qué es verdad? ¿Qué es lo que ya está demostrado?
Esta demostrado este lema el cual pretendía usar en mi intento de demostración.
Este lema dice que si hay una valuación [texx]v[/texx] que hace falsa a [texx] sigma(A)[/texx], es decir a la fórmula [texx]A[/texx] una vez hecha la sustitución, entonces hay también una valuación falsa [texx]u[/texx] que hace falsa a la fórmula [texx]A[/texx].
Que quiere decir que [texx]v(sigma(p))=u(p)[/texx]
Lo que asegura este lema es que una vez hecha la sustitución en una fórmula, si la sustitución ha hecho falsa a la fórmula [texx]v(sigma(p))=0[/texx], es que ya había otra valuación [texx]0=u(p)[/texx] que hacía falsa a la fórmula antes.
No hace falta repetirlo.
Tienes razón, me he repetido mucho pensando que lo haría más claro. Obviamente no ha sido así y lo siento.

¿Y quién es [texx]a[/texx]? No puedes meter una letra en una demostración sin decir qué pinta en ella.
Debería poner [texx]p[/texx]  :indeciso: fallo tonto.

Muchas gracias por tu ayuda :cara_de_queso:
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« Respuesta #7 : 08 Octubre, 2016, 17:52 »

Más general en el sentido de que no necesite hacer tautologías o contradicciones a todas las subfórmulas.

Eso no hace la prueba más general. Salvo que quieras encontrar una cota al número de sustituciones necesarias, no ganas nada ahorrando sustituciones.

Al final de la frase puede ser una tautología si ya le he asignado 1 a su valor de verdad.

Estás mezclando una fórmula con otra presunta fórmula que obtienes con no se sabe qué sustituciones. Si una fórmula es contingente, no puedes decir que es una tautología.

No digo qué sustitución he hecho para conseguir esto, pero si la fórmula tiene 1's y 0's en su tabla de verdad, puedo haber hecho cualquier sustitución, siempre que se respete que el valor de la conectiva principal es 1 (en el caso de las tautologías y 0 en el caso de la contradicción). Quiero decir que si tengo la tabla de verdad de una disyunción (por ejemplo), y sé que que esa disyunción tiene al menos un valor de verdad 1 (como toda fórmula contingente), no me importa si [texx]p\vee q[/texx] son ambas verdaderas o al menos una de ellas lo es. No importa cuál sea la sustitución, sólo tengo que saber que le he asignado la función que le da 1 como valor a la conectiva principal, y que las fórmulas subatómicas se fijarán con respecto a ella y no me importa cómo.

No le veo ningún sentido a esto.

Es lo que quería hacer, si vale o no, eso es lo que me pregunto...

Yo no le veo ningún sentido, y de ningún modo lo aceptaría como demostración.

Por eso cualquier asignación que le dé a una de estas fórmulas nunca podrá ser otra distinta del valor que la tienen, nunca podré sustituir en una tautología para hacerla una contingencia, ni una contradicción. Lo mismo pasa con las contradicciones. Pero no con las fórmulas contingentes, por lo que sí puedo hacer esa sustitución y construirlas para que sean o contradicción o tautología. (Reflexión que viene a cuento del lema, creo yo). No sé qué sustitución se hará, pero sé que será posible ya que hay al menos un 1 en su tabla de verdad. O al menos un 0 en el caso de las contradicciones.

Sigo sin ver en tus palabras nada que se parezca a un razonamiento que demuestre lo que pretendes.

¿El qué es verdad? ¿Qué es lo que ya está demostrado?
Esta demostrado este lema el cual pretendía usar en mi intento de demostración.
Este lema dice que si hay una valuación [texx]v[/texx] que hace falsa a [texx] sigma(A)[/texx], es decir a la fórmula [texx]A[/texx] una vez hecha la sustitución, entonces hay también una valuación falsa [texx]u[/texx] que hace falsa a la fórmula [texx]A[/texx].
Que quiere decir que [texx]v(sigma(p))=u(p)[/texx]
Lo que asegura este lema es que una vez hecha la sustitución en una fórmula, si la sustitución ha hecho falsa a la fórmula [texx]v(sigma(p))=0[/texx], es que ya había otra valuación [texx]0=u(p)[/texx] que hacía falsa a la fórmula antes.

Está claro el lema, pero no veo qué se supone que haces con él para demostrar lo que pretendes.
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« Respuesta #8 : 08 Octubre, 2016, 18:16 »

Si una fórmula es contingente, no puedes decir que es una tautología.
Quiero decir que puede hacerse, no que sea.
Yo no le veo ningún sentido, y de ningún modo lo aceptaría como demostración.
¿Pero qué es lo que falla?
Está claro el lema, pero no veo qué se supone que haces con él para demostrar lo que pretendes.

Tendré que pensarlo más.
Gracias de nuevo
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« Respuesta #9 : 08 Octubre, 2016, 18:23 »

Si una fórmula es contingente, no puedes decir que es una tautología.
Quiero decir que puede hacerse, no que sea.

Una fórmula contingente será toda la vida contingente. Otra cosa es que a partir de ella quieras construir una tautología, pero entonces tendrás otra fórmula. La primera seguirá siendo tan contingente al final como lo era al principio.

Yo no le veo ningún sentido, y de ningún modo lo aceptaría como demostración.
¿Pero qué es lo que falla?

Pues todo. Que no le veo ningún sentido a nada de lo que dices. Tienes que justificar que es posible realizar sustituciones en una fórmula contingente p para convertirla en otra fórmula q que sea una tautología (o una contradicción), y no veo en todo lo que dices nada que justifique que es posible hacerlo.

Una forma es la que ya te he dicho: toma una valoración que la haga verdadera y cambia por una tautología cada variable verdadera en esa valoración, y por una contradicción cada variable falsa en esa valoración. Eso te da el resultado. Si quieres proponer otro método con menos sustituciones, tendrás que decir cuál es. Pero no veo nada parecido en nada de lo que dices.
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