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Autor Tema: Unión de espacios topológicos cuyo grupo fundamental no es trivial  (Leído 848 veces)
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Iziro
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« : 29/09/2016, 01:11:30 pm »

En la siguiente imagen podrían darme una idea intuitiva de porque ese camino que menciona al final basado en el origen no es homotópico a un camino constante.

Es que según lo veo me parece que si es contraible. Porque cada círculo lo vamos   deformando al círculo de radio menor hasta llegar al origen. Estoy algo confundido en este ejemplo.
 

* HOMOTOPIA.jpg (160.76 KB - descargado 115 veces.)
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« Respuesta #1 : 29/09/2016, 04:24:45 pm »

Hola Iziro.

 Casi puedo adivinar el libro que estás estudiando  :cara_de_queso:. Cuando leí algo de estas cosas hace tiempo vi este ejemplo. Nunca me puse a escribir detalladamente una prueba de lo que nos cuenta, pero la idea intuitiva que tengo es la siguiente:

 Tenemos un camino [texx]\alpha[/texx] en [texx]X[/texx] cuya imagen tiene infinitas circunferencias con centros en puntos del tipo [texx](0,0,-1/n)[/texx] e infinitas circunferencias con centros en puntos del tipo [texx](0,0,1/n)[/texx]. Para fines prácticos podemos suponer que la imagen del camino es [texx]X\cap(\text{plano }YZ)[/texx]. Entonces si [texx]\alpha[/texx] fuera homotópico a un punto, tendríamos que retraer todas las circunferencias de [texx]Z[/texx] al punto [texx]q[/texx] y también tendríamos que retraer las circunferencias de [texx]Y[/texx] al punto [texx]p[/texx]. Cuando hagamos eso tendremos que retraer circunferencias arbitrariamente próximas al origen, a los puntos [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx], esto es imposible si queremos mantener la continuidad del camino mientras lo deformamos; intuitivamente las partes del camino próximas al origen deben mantenerse próximas entre si mientras se deforman, pero en algún punto tendríamos que separar esas partes próximas para que alcancen [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx].

 Bueno, más o menos esa es la idea que tengo. Si quieres formalizarla puede que surjan algunos problemas técnicos, nunca me he detenido a pensar el ello. Pero si te interesa, puedes intentarlo y vemos que resulta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 03/10/2016, 12:00:17 pm »

.
Sólo una cuestión respecto a esto: Entonces si [texx]\alpha[/texx] fuera homotópico a un punto, tendríamos que retraer todas las circunferencias de [texx]Z[/texx] al punto [texx]q[/texx] y también tendríamos que retraer las circunferencias de [texx]Y[/texx] al punto [texx]p[/texx].

No se tendrían que retraer las circunferencias al origen??

Gracias
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« Respuesta #3 : 03/10/2016, 06:53:08 pm »

Hola Iziro.

Sólo una cuestión respecto a esto: Entonces si [texx]\alpha[/texx] fuera homotópico a un punto, tendríamos que retraer todas las circunferencias de [texx]Z[/texx] al punto [texx]q[/texx] y también tendríamos que retraer las circunferencias de [texx]Y[/texx] al punto [texx]p[/texx].

No se tendrían que retraer las circunferencias al origen??

 Bueno, todo lo que te he contado es intuitivo, pero ¿cómo retraeríamos una curva (cuya imagen contiene a [texx]Z[/texx] e [texx]Y[/texx]) al origen, sin antes pasar por [texx]q[/texx] y sin romper la continuidad de la curva? Es importante que además notes la importancia de que hayan hayan infinitas circunferencias en [texx]Z[/texx] e [texx]Y[/texx], todas ellas aproximándose al origen. Ésto y la continuidad de [texx]\alpha[/texx] en el origen son importantes.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #4 : 05/10/2016, 12:43:24 am »

Gracias
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