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Autor Tema: Función continua homotópica a un segmento de recta  (Leído 716 veces)
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Iziro
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« : 27/09/2016, 01:37:55 pm »

Sea [texx]a:I\to \mathbb{S}^n[/texx] un camino que no es sobre. Si [texx]a[/texx] es cerrado entonces es homotópico a un camino constante. Si no es cerrado entonces es homotópico a un camino inyectivo [texx]c:I\to \mathbb S^n[/texx].

Se tiene la proyección estereográfica [texx]\varphi:\mathbb S^n\setminus{p}\to \mathbb R^n[/texx], con [texx]p\in\mathbb S^n\setminus a(I)[/texx].

Como [texx]\mathbb R^n[/texx] es simplemente conexo entonces [texx]\varphi \circ a :I\to \mathbb R^n[/texx] es homotópico a un camino constante o a un segmento de recta parametrizado inyectivamente.

Acá entiendo que es homotópico a un camino constante cuando el camino es cerrado.
Si no es cerrado a que segmento de recta es homotópico [texx]\varphi \circ a [/texx]? al segmento de recta formado por los vectores [texx]\varphi (a(0)) [/texx] y [texx]\varphi (a(1)) [/texx]?

Gracias.
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« Respuesta #1 : 27/09/2016, 02:42:15 pm »

Hola Iziro.

[...]
Acá entiendo que es homotópico a un camino constante cuando el camino es cerrado.
Si no es cerrado a que segmento de recta es homotópico [texx]\varphi \circ a [/texx]? al segmento de recta formado por los vectores [texx]\varphi (a(0)) [/texx] y [texx]\varphi (a(1)) [/texx]?

Gracias.

 Sí, es exactamente como dices. Suponiendo que [texx]I=[0,1][/texx], [texx]\varphi\circ a:I\to\mathbb{R}^{n}[/texx] es un camino (en [texx]\mathbb{R}^{n}[/texx]) cuyos extremos son [texx]\varphi\big(a(0)\big)[/texx] y [texx]\varphi\big(a(1)\big).[/texx] Si estos extremos son iguales el camino es homotópico a una constante y si son diferentes el camino es homotópico (con extremos fijos) al segmento de recta que une [texx]\varphi\big(a(0)\big)[/texx] con [texx]\varphi\big(a(1)\big).[/texx]

 Para terminar sólo hace falta ver que esta homotopía puede llevarse a una homotopía en la esfera vía [texx]\varphi^{-1}.[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 27/09/2016, 02:52:07 pm »

Gracias
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