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Autor Tema: Ecuación diofántica no lineal.  (Leído 835 veces)
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Galoisiano
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« : 12/09/2016, 01:06:41 pm »

Buenas tardes,

He estado buscando por las páginas de la sección de Teoría de Números y no he encontrado nada parecido a lo que planteo ahora. Si hubiera algún tema ya abierto en el que se haya discutido decídmelo, soy nuevo en el foro y no he llegado a leer las 31 páginas de la sección, y la opción búsqueda da muchísimos resultados.

El problema en sí es el siguiente:

Encontrar los valores [texx]x , y\in\mathbb{Z}\left[ i \right], \mathbb{Z}\left[ \sqrt{-2} \right], \mathbb{Z}\left[ \sqrt{2} \right] [/texx] tales que [texx]xy=3[/texx].

Me gustaría saber si existe alguna manera viable de calcular todas las soluciones, por ejemplo, en el caso de las soluciones en [texx]\mathbb{Z}\left[ i \right][/texx] he supuesto
[texx]x=a+bi, y=c+di [/texx] y entonces desarrollo de tal forma que me queda [texx] ac-bd=3, ad+bc = 0[/texx], pero pasamos de lo que en principio parecían dos variables a cuatro.

¿Conocéis algún truco para la resolución de este tipo de ecuaciones en dominios como los del ejemplo?

Muchas gracias  :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #1 : 12/09/2016, 01:31:33 pm »

Hola Galoisiano.

 Bienvenido al foro. En [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{\alpha}][/texx] podemos considerar la norma [texx]\|x+y\sqrt{\alpha}\|=N(x+y\sqrt{\alpha}):=|x^{2}-\alpha y^{2}|[/texx] y usar que ella es multiplicativa. Por ejemplo en [texx]\mathbb{Z}[{i}][/texx], si [texx]zw=3[/texx] tenemos que [texx]\|z\|\|w\|=3[/texx]. Esto es equivalente a [texx]\|z\|^{2}\|w\|^{2}=9[/texx]. Luego, llamando [texx]z=a+bi[/texx] y [texx]w=c+di[/texx], tenemos [texx](a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=9[/texx]. De esta última ecuación se deduce que las únicas posibilidades (a menos de simetría) son

 (1) [texx]a^{2}+b^{2}=1[/texx] y [texx]c^{2}+d^{2}=9[/texx]; o

 (2) [texx]a^{2}+b^{2}=3[/texx] y [texx]c^{2}+d^{2}=3[/texx].

Estudia cada caso teniendo presente las ecuaciones de tu mensaje. No es difícil ver que el caso (2) es imposible, así que solo queda revisar el caso (1). El análisis en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-2}][/texx] y [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{2}][/texx] es parecido. Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 12/09/2016, 02:06:51 pm »

Muchas gracias Enrique  :cara_de_queso:

Precisamente después de colgar la pregunta se me ha ocurrido atacar con normas, pero ya no podía eliminar el mensaje, muchas gracias de todos modos 
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