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Autor Tema: Distribución de coprimos de P_n# que son múltiplos de P_(n+1)  (Leído 1242 veces)
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jbyepez
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« : 19/09/2016, 04:27:41 pm »

Cada primorial [texx]P_n\#[/texx] (donde [texx]{P}_{n}[/texx] es el primo número [texx]n[/texx]) tiene exactamente [texx]\displaystyle\prod_{1<p\leq{P_n}}^{}{(p-1)}[/texx] coprimos en el intervalo [texx](0,P_n\#)[/texx], donde [texx]p[/texx] son los primos menores o iguales que [texx]P_n[/texx].

Si [texx]C_n[/texx] es la cantidad de coprimos de [texx]P_n\#[/texx], entonces [texx]C_{n+1}=C_n(P_{n+1}-1)[/texx].

Para obtener los coprimos de [texx]P_{n+1}\#[/texx], basta listar los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] que van desde [texx]0[/texx] hasta [texx]P_{n+1}\#[/texx], y de esos eliminar los [texx]C_n[/texx] que son múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx].

Si tabulamos todos los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] en el intervalo [texx](0,P_{n+1}\#)[/texx] en filas de [texx]C_n[/texx] elementos, obtenemos una matriz de [texx]P_{n+1}[/texx] filas y [texx]C_n[/texx] columnas.

Parece ser que si de ahí queremos eliminar los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] que son múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx] y así obtener los coprimos de [texx]P_{n+1}\#[/texx], éstos se distribuyen de forma tal que en cada columna hay uno, es decir, los [texx]C_n[/texx] múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx] se encuentran de a uno en cada una de las [texx]C_n[/texx] columnas.

En el ejemplo, están los coprimos de [texx]P_3\#=30[/texx] en el intervalo [texx](0,P_4\#=210)[/texx], y en rojo están los múltiplos de [texx]P_4=7[/texx].

[texx]\begin{bmatrix}
{1}&{\textcolor{red}{7}}&{11}&{13}&{17}&{19}&{23}&{29}\\
{31}&{37}&{41}&{43}&{47}&{\textcolor{red}{49}}&{53}&{59}\\
{61}&{67}&{71}&{73}&{\textcolor{red}{77}}&{79}&{83}&{89}\\
{\textcolor{red}{91}}&{97}&{101}&{103}&{107}&{109}&{113}&{\textcolor{red}{119}}\\
{121}&{127}&{131}&{\textcolor{red}{133}}&{137}&{139}&{143}&{149}\\
{151}&{157}&{\textcolor{red}{161}}&{163}&{167}&{169}&{173}&{179}\\
{181}&{187}&{191}&{193}&{197}&{199}&{\textcolor{red}{203}}&{209}\end{bmatrix}[/texx]

¿Creen que ésto sea demostrable?
¿Conocen algún trabajo acerca de esto?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 20/09/2016, 07:17:13 am »

Hola

Cada primorial [texx]P_n\#[/texx] (donde [texx]{P}_{n}[/texx] es el primo número [texx]n[/texx]) tiene exactamente [texx]\displaystyle\prod_{1<p\leq{P_n}}^{}{(p-1)}[/texx] coprimos en el intervalo [texx](0,P_n\#)[/texx], donde [texx]p[/texx] son los primos menores o iguales que [texx]P_n[/texx].

Si [texx]C_n[/texx] es la cantidad de coprimos de [texx]P_n\#[/texx], entonces [texx]C_{n+1}=C_n(P_{n+1}-1)[/texx].

Para obtener los coprimos de [texx]P_{n+1}\#[/texx], basta listar los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] que van desde [texx]0[/texx] hasta [texx]P_{n+1}\#[/texx], y de esos eliminar los [texx]C_n[/texx] que son múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx].

Todo esto puede deducirse directamente usando la función de Euler que cuenta los naturales coprimos con número dado (y menores que él). Su estudio se describe en la mayor parte de los libros de Teoría de números. Puedes leer algo sobre el asunto, por ejemplo aquí:

http://gauss.math.luc.edu/greicius/Math201/Fall2012/Lectures/euler-phi.article.pdf

(buscando en internet sobre "Euler funcion" encontrar otras muchas referencias)

Cita
Si tabulamos todos los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] en el intervalo [texx](0,P_{n+1}\#)[/texx] en filas de [texx]C_n[/texx] elementos, obtenemos una matriz de [texx]P_{n+1}[/texx] filas y [texx]C_n[/texx] columnas.

Parece ser que si de ahí queremos eliminar los coprimos de [texx]P_n\#[/texx] que son múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx] y así obtener los coprimos de [texx]P_{n+1}\#[/texx], éstos se distribuyen de forma tal que en cada columna hay uno, es decir, los [texx]C_n[/texx] múltiplos de [texx]P_{n+1}[/texx] se encuentran de a uno en cada una de las [texx]C_n[/texx] columnas.

En el ejemplo, están los coprimos de [texx]P_3\#=30[/texx] en el intervalo [texx](0,P_4\#=210)[/texx], y en rojo están los múltiplos de [texx]P_4=7[/texx].

[texx]\begin{bmatrix}
{1}&{\textcolor{red}{7}}&{11}&{13}&{17}&{19}&{23}&{29}\\
{31}&{37}&{41}&{43}&{47}&{\textcolor{red}{49}}&{53}&{59}\\
{61}&{67}&{71}&{73}&{\textcolor{red}{77}}&{79}&{83}&{89}\\
{\textcolor{red}{91}}&{97}&{101}&{103}&{107}&{109}&{113}&{\textcolor{red}{119}}\\
{121}&{127}&{131}&{\textcolor{red}{133}}&{137}&{139}&{143}&{149}\\
{151}&{157}&{\textcolor{red}{161}}&{163}&{167}&{169}&{173}&{179}\\
{181}&{187}&{191}&{193}&{197}&{199}&{\textcolor{red}{203}}&{209}\end{bmatrix}[/texx]

¿Creen que ésto sea demostrable?
¿Conocen algún trabajo acerca de esto?

Los elementos de la matriz son de la forma:

[texx]a_{ij}=x_j+(i-1)\cdot P_n\#[/texx] con [texx]j=1,\ldots,\varphi(P_n\#)[/texx] y [texx]i=0,1,\ldots,P_{n+1}-1[/texx]

siendo [texx]x_i[/texx] los coprimos con [texx]P_n\#[/texx] en el intervalo [texx](0,P_n\#)[/texx].

Es inmediato que todos los elementos de la matriz son coprimos con todos los primos [texx]P_1,P_2,\ldots,P_n[/texx].

Y es fácil ver que en columna sólo hay un número divisible por [texx]P_{n+1}[/texx]. Si hubiese dos de tales elementos en una columna [texx]j[/texx]  tendríamos que su diferencia:

[texx]a_{ij}-a_{i'j}=(i-i')\cdot P_n\#[/texx]

es divisible por [texx]P_{n+1}[/texx]. Pero dado que [texx]P_n\#[/texx] es coprimo con [texx]P_{n+1}[/texx] y [texx]|i-i'|<P_{n+1}[/texx] necesariamente [texx]i-i'=0.[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 20/09/2016, 12:56:47 pm »

Bueno, en los primeros renglones no pretendía que pareciera que estaba re-investigando la función [texx]φ[/texx] de Euler, solo quería que quien leyera entrara en contexto jeje.

Lo que realmente quería era comprobar que en la matiz, los múltiplos de  [texx]P_{n+1}[/texx] siempre se distribuían 1 por columna, y que fácil me lo has demostrado  :sonrisa_amplia:

muchas gracias el_manco
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