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Autor Tema: Sucesiones de potencias que son suma de potencias  (Leído 1291 veces)
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Cristian C
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« : 16/09/2016, 08:58:29 pm »

Hola a todos.

Haciendo garabatos con el hilo de Carlos Ivorra sobre la prueba de el UTF para p=5, me encontré curioseando una cosa que no tiene nada que ver con aquello (o sí, y lo ignoro). Como siempre me ocurre, esto ya estará todo estudiado y digerido, pero yo lo encuentro ahora y lo expongo como me llega.

Al final va una pregunta cuya respuesta conjeturo muy fuertemente, pero no sé como probar.

La historia se inicia con el número áureo [texx]\epsilon=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2}[/texx] y la observación de que su sucesión de potencias [texx]\epsilon^0, \epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3, \epsilon^4\ldots[/texx] etc. verifican, a partir de [texx]n=2[/texx], que cada potencia es la suma de las dos anteriores:

[texx]\epsilon^n=\epsilon^{n-1}+\epsilon^{n-2}[/texx]

[texx]\epsilon[/texx] es el único real positivo que tiene esa propiedad, aunque hay también un real negativo que lo verifica.

Es fácil ver que [texx]\epsilon^2=\epsilon^1+\epsilon^0[/texx] pues

[texx]\epsilon^2=(\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2})^2=\displaystyle\frac{1+2\sqrt[ ]{5}+5}{4}=\displaystyle\frac{6+2\sqrt[ ]{5}}{4}=\displaystyle\frac{3+\sqrt[ ]{5}}{2}=\displaystyle\frac{(1+\sqrt[ ]{5})+2}{2}=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2}+1=\epsilon^1+\epsilon^0[/texx]

De modo que, ciertamente, [texx]\epsilon^2=\epsilon^1+\epsilon^0[/texx] y a partir de allí, multiplicando ambos términos por [texx]\epsilon^{n-2}[/texx], con [texx]n\geq{2}[/texx] tenemos que, en general

[texx]\epsilon^n=\epsilon^{n-1}+\epsilon^{n-2}[/texx]

Evidentemente, si [texx]\epsilon^2=\epsilon^1+\epsilon^0[/texx], entonces [texx]\epsilon^2-\epsilon^1-\epsilon^0=0[/texx] y por lo tanto, [texx]\epsilon[/texx] es raiz del polinomio [texx]p(x)=x^2-x-1[/texx].

Como dijimos, los [texx]\epsilon^i[/texx] forman una sucesión donde cada término es suma de los dos anteriores (a partir de [texx]i=2[/texx]). Podemos preguntarnos ahora si existirá algún número real positivo tal que cada potencia sea igual a la suma de las tres potencias anteriores. Ese real debería cumplir

[texx]\alpha^3=\alpha^2+\alpha^1+\alpha^0[/texx] 

y en general [texx]\alpha^n=\alpha^{n-1}+\alpha^{n-2}+\alpha^{n-3}[/texx], multiplicando ambos miembros por [texx]n-3[/texx] con [texx]n\geq{3}[/texx] de modo análogo a como hicimos antes.

Por lo tanto, [texx]\alpha[/texx] debería ser raíz del polinomio

[texx]q(x)=x^3-x^2-x-1[/texx]

Preguntarnos si existe [texx]\alpha[/texx] equivale a preguntar si [texx]q(x)[/texx] tiene alguna raíz real. Pero rápidamente vemos que existe una raíz real positiva porque [texx]q(1)=-2[/texx] y [texx]q(2)=1[/texx] y además, las funciones polinómicas son continuas de modo que [texx]q(x)[/texx] en efecto tiene una raíz [texx]\alpha[/texx] en algún valor intermedio entre 1 y 2.
Observemos además que este nuevo polinomio [texx]q(x)[/texx] puede obtenerse a partir del [texx]p(x)[/texx] anterior haciendo

[texx]q(x)=x^3-x^2-x-1=x(x^2-x-1)-1=xp(x)-1[/texx]

En general, si en una sucesión de potencias a partir de la potencia [texx]k-ésima[/texx], cada una es la suma de sus [texx]k[/texx] potencias anteriores, esto es, si [texx]\xi_{k}^k=\displaystyle\sum_{i=o}^{k-1}{\xi_k^i}[/texx] entonces [texx]\xi_k[/texx] es raiz del polinomio

[texx]p_k(x)=x^k-\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{x^i}[/texx]

donde cada [texx]p_k(x)[/texx] se puede obtener del polinomio anterior haciendo [texx]p_k(x)=xp_{k-1}(x)-1[/texx].
Cada raíz [texx]\xi_k[/texx] del polinomio [texx]p_k(x)[/texx] es la base de las potencias de la sucesión donde cada potencia es suma de las [texx]k[/texx] potencias anteriores.

Tenemos pues una sucesión de polinomios y otra de bases de potencias que podemos exhibir así:

[texx]p_0(x)=1[/texx] no tiene raíz
[texx]p_1(x)=xp_0(x)-1=x-1[/texx] tiene raíz [texx]\xi_1=1[/texx]
[texx]p_2(x)=xp_1(x)-1=x^2-x-1[/texx] tiene raiz [texx]\xi_2=\epsilon=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2}[/texx]
[texx]p_3(x)=xp_2(x)-1=x^3-x^2-x-1[/texx] tiene raiz [texx]\xi_2=\alpha[/texx] (=1,839286...)
              [texx]\vdots[/texx]
[texx]p_k(x)=xp_{k-1}(x)-1=x^k-\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{x^i}[/texx] tiene raiz [texx]\xi_k[/texx]

La última línea nos deja preguntando si para todo [texx]k[/texx] existirán raíces reales de [texx]p_k(x)[/texx]. Si [texx]k=1[/texx], 1 es raíz de [texx]p_1(x)[/texx], por lo tanto existe una raiz real. A partir de [texx]k=2[/texx], todas las raíces [texx]\xi_k[/texx] son números reales entre 1 y 2 porque para cada [texx]k[/texx], [texx]p_k(1)=1^k-\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{1^i}=1-k[/texx] que es negativo, mientras que [texx]p_k(2)=2^k-\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}{2^i}=1[/texx], que es positivo; por ser [texx]p_k(x)[/texx] una función continua, debe haber una raíz entre 1 y 2.

Ahora viene mi pregunta: ¿Como se comporta la sucesión de los [texx]\xi_k[/texx]?

Es muy evidente que:

[texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{\xi_k}=2[/texx],

porque cuando [texx]k[/texx] crece, [texx]p_k(1)[/texx] tiende a menos infinito en tanto que [texx]p_k(2)=1[/texx] para todo [texx]k[/texx]

Pero no encontré hasta ahora la forma de probarlo.

Saludos.
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Mi primer gran deslumbramiento matemático consistió en comprender que puede demostrarse que existen infinitos de diferente tamaño.
El segundo fue comprender que lo anterior, aun pese a ser correcto, carece de todo significado.
Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 16/09/2016, 09:19:49 pm »

Tienes que [texx]p_k(\xi_{k-1})=-1[/texx], luego [texx]\xi_{k-1}<\xi_k<2[/texx]. Esto ya implica que la sucesión es creciente y acotada, luego convergente.

Por otra parte, [texx]p_k(x)=x^k-\dfrac{x^k-1}{x-1}[/texx], luego [texx]\xi_k^k=\dfrac{\xi_k^k-1}{\xi_k-1}[/texx], que reordenado es [texx]\xi_k=2-\dfrac1{\xi_k^k}[/texx].

Por otra parte, [texx]0<\dfrac1{\xi_k^k}\leq \dfrac1{\xi_2^k}[/texx], y la última expresión tiende a 0 con [texx]k[/texx], luego la del medio también. Tomando límites en la expresión precedente queda que [texx]\xi_k[/texx] tiende a [texx]2[/texx].
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Cristian C
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« Respuesta #2 : 17/09/2016, 12:55:15 pm »

¡Perfecto! Solo una pregunta.

Cuando dices

Tienes que [texx]p_k(\xi_{k-1})=-1[/texx], luego [texx]\xi_{k-1}<\xi_k<2[/texx]

¿estás usando que [texx]p_k(x)[/texx] es creciente entre 1 y 2?

Quiero decir: Si [texx]p_k(\xi_{k-1})=-1[/texx]; [texx]p_k(\xi_k)=0[/texx] y [texx]p_k(2)=1[/texx] entonces [texx]p_k(\xi_{k-1})<p_k(\xi_k)<p_k(2)[/texx], y como [texx]p_k(x)[/texx] es creciente entre 1 y 2, entonces [texx]\xi_{k-1}<\xi_k<2[/texx]

¿Esto es lo que usas? Es probable que visualices a ojo desnudo el crecimiento de [texx]p_k[/texx] y por eso no lo menciones, pero quiero asegurarme que usas eso y no lo deduces de algo más elemental.

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 17/09/2016, 01:38:28 pm »

No, estoy usando que [texx]p_k(x)[/texx] es negativo en [texx]\xi_{k-1}[/texx] y positivo en 2, luego la raíz [texx]\xi_k[/texx] la tiene entre esos dos valores. El teorema de Bolzano.
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Cristian C
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« Respuesta #4 : 17/09/2016, 04:02:00 pm »

¡Gracias!
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