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Autor Tema: Ejercicio de retracto de deformación  (Leído 870 veces)
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math-dummie
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« : 28/08/2016, 02:54:07 pm »

Buenas, se me plantea el siguiente ejercicio:
Demostrad que la circunferencia [texx]S^1[/texx] es retracto de deformación de [texx]\mathbb{R^3}-{(0,0,z)}[/texx].
Para ello tengo que encontrar una aplicación H,
[texx]H:\mathbb{R^3}-{(0,0,z)}\times{I}\longrightarrow{\mathbb{R^3}-{(0,0,z)}} [/texx] ; H(x,0)=x y H(x,1)= [texx]S^1[/texx].

Tomo la siguiente aplicación: [texx]H(x_1,x_2,x_3,t)=(x_1,x_2,x_3)t +\displaystyle\frac{(1-t)(x_1,x_2,x_3)}{ \left\|{(x_1,x_2,x_3)}\right\|}[/texx]

¿sería válida esta aplicación ?
Gracias
Un saludo
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« Respuesta #1 : 28/08/2016, 03:17:39 pm »

Hola math-dummie.

 Con la aplicación que defines [texx]H(\cdot,0):\mathbb{R}\setminus\{\text{eje }Z\}\to\mathbb{R}\setminus\{\text{eje }Z\}[/texx] tiene como imágen a [texx]S^{2}\setminus\{(0,0,1),(0,0,-1)\}[/texx], mientras que [texx]H(\cdot,1)[/texx] es la identidad. Pero nosotros queremos que la imagen en tiempo uno sea [texx]S^{1}=\{(z,y,0)\in\mathbb{R}^{3}:\,x^{2}+y^{2}=1\}[/texx] y que en tiempo cero sea la identidad.

 Lo que podemos hacer por ejemplo es primero retraer todo el espacio al plano definido por los ejes [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx], esto lo podríamos hacer en la mitad del tiempo. Luego, ya en plano podemos definir una aplicación similar a la que usas. Más concretamente, piensa en [texx]H\big((x,y,z),t\big)=\big(x,y,(1-2t)z\big)[/texx] cuando [texx]t\in[0,1/2][/texx] y en la aplicación [texx]H\big((x,y,0),t\big)=\big(\frac{3}{2}-2t\big)(x,y,0)+\frac{2t-1}{\|(x,y,0)\|}(x,y,0)[/texx], cuando [texx]t\in[1/2,1][/texx]. Culaquier duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 28/08/2016, 03:37:51 pm »

Hola Enrique, gracias por responder tan rápido.
Perdóname, pero creo que estoy un poco espesa, ... la aplicación que defines ¿sería la retracción?, es que no me acaba de cuadrar...  :rodando_los_ojos:
un saludo.
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« Respuesta #3 : 28/08/2016, 04:07:56 pm »

Hola.

 Sí, esa aplicación sería una retracción que cumple lo pedido; la definimos con dos reglas de correspondencia, una para [texx]t\in[0,1/2][/texx] y otra para [texx]t\in[1/2,1][/texx]. Puedes verificar que [texx]H((x,y,z),0)=(x,y,z)[/texx], es decir [texx]H(\cdot,t)[/texx] es la identidad, y que [texx]H(\cdot,1)[/texx] tiene como imagen a [texx]S^{1}[/texx]. Además tienes que verificar que la aplicación está bien definida, y que es contínua.

Saludos,

Enrique.
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