Foros de matemática
18/11/2017, 01:30:10 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: ¡Atención! Hay que poner la matemática con LaTeX, y se hace así (clic aquí):
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Divisible por 3  (Leído 878 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 542


Ver Perfil
« : 17/08/2016, 06:05:22 pm »

Hola tengo dudas con este ejercicio.

Demostrar que si [texx]n\in{Z}[/texx], entonces [texx]n , o (n+2), o (n+4)[/texx] es divisible por [texx]3[/texx]

Intuitivamente no me parece cierta ya que el "o" implica que basta que solo 1 de las afirmaciones sea cierta.


Saludos
En línea
robinlambada
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.489


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 17/08/2016, 06:21:29 pm »

Hola.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Una manera es ver que cualquier número entero es de la forma [texx]n=3k[/texx] ó  [texx]n=3k+1[/texx] ó  [texx]n=3k+2[/texx] con [texx]k\in{\mathbb{Z}}[/texx]

Solo debes sustituir y factorizar.

Saludos.
En línea

Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 542


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 17/08/2016, 06:26:12 pm »

Hola.
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Una manera es ver que cualquier número entero es de la forma [texx]n=3k[/texx] ó  [texx]n=3k+1[/texx] ó  [texx]n=3k+2[/texx] con [texx]k\in{\mathbb{Z}}[/texx]

Solo debes sustituir y factorizar.

Saludos.

Ok muchas gracias. Lo intentaré

Saludos.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.646



Ver Perfil
« Respuesta #3 : 17/08/2016, 08:57:32 pm »

Hola.
Otra forma de verlo.

En “n” números consecutivos siempre hay un múltiplo de “n”; por eso habrá también al menos un múltiplo de [texx]n-1[/texx], al menos un múltiplo de [texx]n-2[/texx]... hasta al menos un múltiplo de 1.

Esto es por una razón muy sencilla; tomemos el caso del 3, por ejemplo:

[texx]...{\color{blue}0},1,2,{\color{blue}{\color{blue}}3},4,5,{\color{blue}{\color{blue}}6},7,8,{\color{blue}9}...
 [/texx]

Entre los múltiplos de 3 sólo hay dos números, por tanto es imposible elegir tres números consecutivos sin elegir uno que sea múltiplo de 3;  la razón es la misa por la cual no se pueden elegir dos números consecutivos sin que uno de ellos sea par, exactamente la misma; y si eliges otro número pasará análogamente lo mismo con los “huecos” que queden entre medias (se puede decir que lo dicho funciona por una cosa llamada “principio del palomar”).

Así pues, dicho sea de paso, cuando tienes el producto de, por ejemplo, 5 números consecutivos (como en el caso del problema del otro hilo) uno de los factores será múltiplo de 5.

Dicho esto, ahora sí, planteamos el problema:

[texx]{\color{blue}n};\, n+1;\,{\color{blue}n+2};\, n+3;\,{\color{blue}n+4}
 [/texx]

Los azules son los números que te da el problema; si alguno fuera múltiplo de tres, pues ya estaría; así que hay que suponer que ninguno es múltiplo de 3 para ver lo que pasaría.
 En ese caso, entre los tres primeros tiene que haber un múltiplo de 3, y dado lo que estamos suponiendo, sería “n+1”.

Pero si “n+1” es múltiplo de 3  obliga a que, contando tres desde ahí, lleguemos a [texx]n+4[/texx] que será el siguiente múltiplo de 3; con lo cual, no se nos escapa, uno de ellos es seguro múltiplo de 3. (tu intuición te ha engañado, regáñala :sonrisa: )



Saludos y buenas noches.
En línea

cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 542


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 17/08/2016, 09:07:36 pm »

Hola.
Otra forma de verlo.

En “n” números consecutivos siempre hay un múltiplo de “n”; por eso habrá también al menos un múltiplo de [texx]n-1[/texx], al menos un múltiplo de [texx]n-2[/texx]... hasta al menos un múltiplo de 1.

Esto es por una razón muy sencilla; tomemos el caso del 3, por ejemplo:

[texx]...{\color{blue}0},1,2,{\color{blue}{\color{blue}}3},4,5,{\color{blue}{\color{blue}}6},7,8,{\color{blue}9}...
 [/texx]

Entre los múltiplos de 3 sólo hay dos números, por tanto es imposible elegir tres números consecutivos sin elegir uno que sea múltiplo de 3;  la razón es la misa por la cual no se pueden elegir dos números consecutivos sin que uno de ellos sea par, exactamente la misma; y si eliges otro número pasará análogamente lo mismo con los “huecos” que queden entre medias (se puede decir que lo dicho funciona por una cosa llamada “principio del palomar”).

Así pues, dicho sea de paso, cuando tienes el producto de, por ejemplo, 5 números consecutivos (como en el caso del problema del otro hilo) uno de los factores será múltiplo de 5.

Dicho esto, ahora sí, planteamos el problema:

[texx]{\color{blue}n};\, n+1;\,{\color{blue}n+2};\, n+3;\,{\color{blue}n+4}
 [/texx]

Los azules son los números que te da el problema; si alguno fuera múltiplo de tres, pues ya estaría; así que hay que suponer que ninguno es múltiplo de 3 para ver lo que pasaría.
 En ese caso, entre los tres primeros tiene que haber un múltiplo de 3, y dado lo que estamos suponiendo, sería “n+1”.

Pero si “n+1” es múltiplo de 3  obliga a que, contando tres desde ahí, lleguemos a [texx]n+4[/texx] que será el siguiente múltiplo de 3; con lo cual, no se nos escapa, uno de ellos es seguro múltiplo de 3. (tu intuición te ha engañado, regáñala :sonrisa: )



Saludos y buenas noches.

 Aplauso Aplauso Aplauso Muy bien explicado. Me quedo muy claro.


Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!