Foros de matemática
24/11/2017, 01:37:24 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Demostración divisibilidad de números enteros  (Leído 1737 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« : 16/08/2016, 11:54:12 pm »

Hola no se como demostrar este enunciado.

Sean [texx]a,b,c \in{Z}[/texx] (Quizás esté demás la parte anterior pero en otro apartado me pedían demostrar propiedades como si [texx]a| b [/texx], entonces [texx]a| bc[/texx]) Demostrar que [texx]30| (n^5-n)[/texx]

De antemano gracias.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.663



Ver Perfil
« Respuesta #1 : 17/08/2016, 03:08:24 am »

Hola no se como demostrar este enunciado.

Sean [texx]a,b,c \in{Z}[/texx] (Quizás esté demás la parte anterior pero en otro apartado me pedían demostrar propiedades como si [texx]a| b [/texx], entonces [texx]a| bc[/texx]) Demostrar que [texx]30| (n^5-n)[/texx]

De antemano gracias.

Hola. Es una aplicación literal del pequeño teorema de Fermat; ¿lo has visto en la teoría ya?

Saludos.
En línea

cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 17/08/2016, 09:01:45 am »

Hola no se como demostrar este enunciado.

Sean [texx]a,b,c \in{Z}[/texx] (Quizás esté demás la parte anterior pero en otro apartado me pedían demostrar propiedades como si [texx]a| b [/texx], entonces [texx]a| bc[/texx]) Demostrar que [texx]30| (n^5-n)[/texx]

De antemano gracias.

Hola. Es una aplicación literal del pequeño teorema de Fermat; ¿lo has visto en la teoría ya?

Saludos.

Hola, todavia no lo veo en clases.
En línea
Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.071


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 17/08/2016, 09:35:53 am »

[texx] n^5-n = n \cdot (n^4-1) = n \cdot (n^2-1) \cdot (n^2+1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n^2+1) [/texx]

Ahora pon [texx] n = 5 \cdot m + k [/texx] donde [texx] 0 \leq k < 5 [/texx] y usar un poco de fuerza bruta.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Por inducción :

Se verifica para el caso base [texx] k=1 [/texx]

Se supone cierto para [texx] k=n [/texx] y lo verificamos para [texx] k=n+1 [/texx]

[texx] (n+1)^5 - (n+1) = (n^5-n) + 5 \cdot (n^4 + 2 \cdot n^3 + 2 \cdot n^2 + n) = \dot{30} + 5 \cdot n \cdot  (n^3 + 2 \cdot n^2 + 2 \cdot n + 1) = \dot{30} + 5 \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n^2+n+1) [/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)
En línea
EnRlquE
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 5.878



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 17/08/2016, 09:43:01 am »

Hola.

 Alternativamente puedes notar que [texx]n^{5}-n=(n^{4}-1)n=(n^{2}+1)(n-1)n(n+1)[/texx]. Ahora nota que el producto [texx](n-1)n(n+1)[/texx] siempre es múltiplo de [texx]6[/texx] pues al haber al menos dos números consecutivos es múltiplo de [texx]2[/texx] y al haber tres números consecutivos es múltiplo de [texx]3[/texx]. Finalmente solo tenemos que mostrar que [texx]5|(n^{2}+1)(n-1)n(n+1)[/texx], tenemos los siguientes casos: (i) Si [texx]5|(n-1)n(n+1)[/texx] habremos terminado. Nota que este caso es equivalente a que [texx]5[/texx] divida a alguno de los números [texx](n-1),\,n[/texx] ó [texx](n+1)[/texx]. (ii) Si [texx]5{\color{red}\not|}(n-1)n(n+1)[/texx] entonces solo es posible que [texx]5|(n+2)[/texx] ó [texx]5|(n-2)[/texx] (¿por qué?), luego [texx]5|(n+2)(n-2)[/texx], es decir [texx]5|(n^{2}-4)[/texx] de donde se deduce que [texx]5|(n^{2}+1)[/texx]. Todo esto implica que [texx]30|n^{5}-n[/texx].

 También puedes resolver el ejercicio por inducción matemática. Hace poco se preguntó en el foro un pregunta muy relacionada y se discutió cómo resolverla usando inducción. Ahora no soy capaz de encontrar ese hilo, tal vez alguien más pueda y lo enlace.

Saludos,

Enrique.

P.D: Lo siento Juan Pablo, me dí cuenta de tu respuesta justo antes de publicar la mía, que es esencialmente la misma. Me dio pena no publicarla; espero que de todas formas se complementen.

Nota: Tuve un error de tipeo que hora está corregido en rojo.
En línea
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 17/08/2016, 09:46:16 am »

Muchas gracias a todos por responder.

Saludos
En línea
Juan Pablo Sancho
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 4.071


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 17/08/2016, 09:50:18 am »

Ahora no tiene que buscar el hilo que lo resolvieron por inducción  :sonrisa_amplia:
También puedes resolver el ejercicio por inducción matemática. Hace poco se preguntó en el foro un pregunta muy relacionada y se discutió cómo resolverla usando inducción. Ahora no soy capaz de encontrar ese hilo, tal vez alguien más pueda y lo enlace.
En línea
feriva
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 6.663



Ver Perfil
« Respuesta #7 : 17/08/2016, 10:01:32 am »


Hola, todavia no lo veo en clases.

Bueno, sólo como curiosidad te lo cuento, dado eso y dado que ya tienes las explicaciones de EnRlquE y Juan Pablo, que sí te sirven como método.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
En línea

cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #8 : 17/08/2016, 10:04:49 am »


Hola, todavia no lo veo en clases.

Bueno, sólo como curiosidad te lo cuento, dado eso y dado que ya tienes las explicaciones de EnRlquE y Juan Pablo, que sí te sirven como método.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.

Muchas gracias feriva. Lo estoy revisando.

Saludos
En línea
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 17/08/2016, 07:34:46 pm »

Hola analizando la respuesta, no he entendido bien esa parte
(ii) Si [texx]5\neq|(n-1)n(n+1)[/texx] entonces solo es posible que [texx]5|(n+2)[/texx] ó [texx]5|(n-2)[/texx] (¿por qué?),


Saludos
En línea
EnRlquE
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 5.878



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 17/08/2016, 08:08:07 pm »

Hola cristianoceli.

 Me acabo de percatar que en la parte que citas tengo un error de tipeo, espero que esto no sea parte de tu duda, ya está corregido más arriba y lo marco en lo que cito a continuación

Hola analizando la respuesta, no he entendido bien esa parte
(ii) Si [texx]5{\color{red}\neq|}(n-1)n(n+1)[/texx] entonces solo es posible que [texx]5|(n+2)[/texx] ó [texx]5|(n-2)[/texx] (¿por qué?),


Saludos

En este caso, una forma de justificar lo que quise escribir es notar que [texx]5|(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/texx], pues [texx](n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/texx] es el producto de cinco números consecutivos. Luego si [texx]5\not|(n-1)n(n+1)[/texx], necesariamente [texx]5|(n-2)(n+2)[/texx].

Saludos,

Enrique.
En línea
cristianoceli
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 543


Ver Perfil
« Respuesta #11 : 17/08/2016, 08:13:56 pm »

Vale muy claro.

Saludos
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!