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Autor Tema: Demostración d=(a,b)  (Leído 958 veces)
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cristianoceli
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« : 16/08/2016, 02:33:19 am »

Hola tengo dificultades con esta demostración

Sean [texx]a,b \in{Z}[/texx] [texx]( \mbox{no }simultaneamente\mbox{ iguales a} [/texx] [texx]0)[/texx], y sea [texx]d = min \{ax+by \in{N}|x,y \in{Z}\}[/texx]. [texx]Demostrar[/texx] que [texx]d = (a,b)[/texx].

De antemano gracias.
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« Respuesta #1 : 16/08/2016, 04:07:32 am »

Hola tengo dificultades con esta demostración

Sean [texx]a,b \in{Z}[/texx] (no simultáneamente iguales a 0), y sea [texx]d = min \{ax+by \in{N}|x,y \in{Z}\}[/texx]. [texx]Demostrar[/texx] que [texx]d = (a,b)[/texx].

De antemano gracias.

Hola.

Si tenemos dos números enteros [texx]x,y[/texx], con máximo común divisor [texx]d=(x,y)[/texx], entonces existen “a” y “b” tales que [texx]d=ax+by[/texx]; en realidad esto es lo que hay que demostra en el fondo.

Considera el conjunto de los números de la forma [texx]ax+by[/texx], donde, como x,y son enteros y ponen el signo, entonces basta con que “a” y “b” sean naturales; en ese conjunto tenemos enteros de todos los colores; no consideramos el cero dentro del conjunto, claro, estamos hablando de divisores.Como son enteros, ese conjunto tiene un mínimo.

Llamemos al mínimo de ese conjunto [texx]m=a_{0}x+b_{0}y
 [/texx]; lo que tenemos que demostrar es que este mínimo es el m.c.d.

Para esto tienes que probar que “m” divide a “x” y a “y”.

Ahora, por el algoritmo de la división tendremos

[texx]x=qm+r
 [/texx] donde el resto es siempre menor que “m”, trivialmente: * [texx]{\color{blue}r<m}
 [/texx]

Sustituimos ese “m” por la expresión [texx]m=a_{0}x+b_{0}y
 [/texx]

[texx]x=q(a_{0}x+b_{0}y)+r
 [/texx]

despejamos “r”

[texx]r=x-q(a_{0}x+b_{0}y)
 [/texx]

aplicamos la distributiva

[texx]r=x-qa_{0}x+qb_{0}y
 [/texx]

sacamos factor común x

[texx]r=x(1-qa_{0})+qb_{0}y
 [/texx]

Entonces “r” es un número que resulta que pertenece al conjunto de los números que habíamos dicho, tiene la forma

[texx]ax+by[/texx]

Y además no sólo tiene la forma general, tiene la forma del mínimo; vamos, que es el mínimo literalmente quiero decir:

[texx]r=x(1-q{\color{blue}a_{0}})+q{\color{blue}b}_{{\color{blue}0}}y
 [/texx]

El resto siempre es positivo, luego ese polinomio es un número positivo.

Si sus variables son distintas de cero, en principio (como hemos dicho que el cero no pertenece a ese conjunto de los divisores) su valor mínimo podría ser 1 todo lo más; pero “r” es menor que “m”

* [texx]{\color{blue}r<m}
 [/texx]

Por lo que “r”, para ser menor que el mínimo de los divisores, tiene que ser cero, lo que implica que la división sea exacta y “m” divida a “x”.

Análogamente lo demuestras para “y”.

Lo he hecho para (x,y) en vez de para (a,b) perdona, pero las letras dan igual

Saludos.
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cristianoceli
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« Respuesta #2 : 16/08/2016, 12:03:15 pm »

Muchas gracias.

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feriva
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« Respuesta #3 : 17/08/2016, 03:09:41 am »

Muchas gracias.

Saludos

De nada.

Saludos.
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