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Autor Tema: No comprendo la definición de diferenciable  (Leído 1420 veces)
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laurenttoledo
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« : 09/08/2016, 09:39:07 pm »

La definición que tengo anotado es la siguiente: [texx]f:\mathbb{R}^n \longrightarrow{\mathbb{R}}[/texx] es diferenciable en [texx]x[/texx] si existe [texx]a \in \mathbb{R}^n [/texx] tal que cumple [texx]f(x+y)=f(x)+(a,y)+o(y)[/texx], para todo y.  ¿Está bien la definición? Lo que pasa es que no la comprendo bien, ni tampoco sé que significa [texx](a,y)[/texx]. ¿Podrían explicarme un poco? Gracias.
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« Respuesta #1 : 11/08/2016, 12:53:56 pm »

Hola laurenttoledo.

 La definición está bien, [texx](a,y)[/texx] denota al producto interno de los vectores [texx]a,y\in\mathbb{R}^{n}[/texx]. Y lo que quiere decir más o menos la definición es que "cerca" de [texx]x[/texx] la función se comporta como

[texx]f(x+y)\simeq f(x)+(a,y)=f(x)+a_{1}y_{1}+\dots+a_{n}y_{n},[/texx]

donde [texx]a=(a_{1},\dots,a_{n})[/texx] e [texx]y=(y_{1},\dots,y_{n})[/texx]. Es decir, podemos aproximar una función diferenciable en [texx]x[/texx] por una transformación afín, en una vecindad de [texx]x[/texx]. Cuando la función es diferenciable resulta que [texx]a[/texx] es el gradiente de [texx]f[/texx] en [texx]x[/texx]; o equivalentemente [texx]a_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)[/texx] par todo [texx]i=1,\dots,n[/texx]. Si te queda alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 11/08/2016, 09:04:48 pm »

Hola laurenttoledo.

 La definición está bien, [texx](a,y)[/texx] denota al producto interno de los vectores [texx]a,y\in\mathbb{R}^{n}[/texx]. Y lo que quiere decir más o menos la definición es que "cerca" de [texx]x[/texx] la función se comporta como

[texx]f(x+y)\simeq f(x)+(a,y)=f(x)+a_{1}y_{1}+\dots+a_{n}y_{n},[/texx]

donde [texx]a=(a_{1},\dots,a_{n})[/texx] e [texx]y=(y_{1},\dots,y_{n})[/texx]. Es decir, podemos aproximar una función diferenciable en [texx]x[/texx] por una transformación afín, en una vecindad de [texx]x[/texx]. Cuando la función es diferenciable resulta que [texx]a[/texx] es el gradiente de [texx]f[/texx] en [texx]x[/texx]; o equivalentemente [texx]a_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)[/texx] par todo [texx]i=1,\dots,n[/texx]. Si te queda alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. ¿Cómo podría demostrar que el vector [texx]a \in \mathbb{R}^n [/texx] es único? (utilizando mi definición original) Supongo que existen [texx]a,b \in \mathbb{R}^n [/texx] tales que

[texx]f(x+y)=f(x)+(a,y)+o(y)[/texx]
[texx]f(x+y)=f(x)+(b,y)+o(y)[/texx]

de manera que [texx](a,y) = (b,y)[/texx], es decir, [texx](a - b,y) = 0 [/texx]. Pero no supe como seguir... ¿Podrías ayudarme por favor?

Tambien tengo una duda: Para esta definición de función diferenciable, ¿suponemos que [texx]\lim_{y \to 0} \frac{o(y)}{y} = 0[/texx] o eso se demuestra? (y no sé si realmente es [texx]o(y)[/texx] o [texx]o(||y||)[/texx].

Espero se me pueda ayudar. Muchas gracias Enrique por aclararme mis primeras dudas.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 11/08/2016, 10:28:49 pm »

Editado

Cambié [texx] \color{red}O(y)\color{black} [/texx] por [texx] \color{red}o(y)\color{black} [/texx]

Se debe cumplir como mencionas:

[texx]\displaystyle \lim_{y \to 0} \dfrac{o(y)}{\|y\|} =  0[/texx].

Hace uso de la notación de Landau

Tenemos:

[texx]f(x+y) - f(x) = (a,y) + o_1(y) [/texx]

[texx]f(x+y) - f(x) = (b,y) + o_2(y) [/texx]

Restamos y nos quedamos:

[texx] (a,y) - (b,y) = o_2(y) - o_1(y) [/texx]

Toma ahora [texx] y = t \cdot e_i [/texx] y queda(donde [texx] e_i [/texx] es el vector unitario de la base canónica):

[texx] t \cdot [(a,e_i) - (b,e_i)] = o_2(y) - o_1(y) [/texx]

Divide por [texx] t [/texx] y haz tender [texx] t [/texx] a cero.

Y esto lo puedes hacer para cada vector de la base.
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laurenttoledo
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« Respuesta #4 : 11/08/2016, 11:43:08 pm »


Toma ahora [texx] y = t \cdot e_i [/texx] y queda(donde [texx] e_i [/texx] es el vector unitario de la base canónica):

[texx] t \cdot [(a,e_i) - (b,e_i)] = o_2(y) - o_1(y) [/texx]

Divide por [texx] t [/texx] y haz tender [texx] t [/texx] a cero.

Y esto lo puedes hacer para cada vector de la base.


Si defino [texx]a = (a_1, ..., a_n)[/texx] y [texx]b = (b_1, ..., b_n)[/texx], entonces para [texx]y = te_i[/texx] llego a que [texx]a_i = b_i[/texx]. (¿Luego [texx]a=b[/texx]?). Lo que pasa es que no entiendo porque sólo tomar valores particulares [texx]y = te_i[/texx] si debemos considerar todo [texx]y \in R^n[/texx], o quizás no he captado bien como concluir lo que haz hecho. ¿Podría seguirme ayudando? Gracias por el tiempo dedicado.
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« Respuesta #5 : 12/08/2016, 10:55:09 am »

Hola laurenttoledo.

[...] Si defino [texx]a = (a_1, ..., a_n)[/texx] y [texx]b = (b_1, ..., b_n)[/texx], entonces para [texx]y = te_i[/texx] llego a que [texx]a_i = b_i[/texx]. (¿Luego [texx]a=b[/texx]?). [...]

Observa que tenemos [texx]a_{i}=b_{i}[/texx] y podemos hacer esto para cualquier valor de [texx]i=1,\dots,n[/texx], entonces estamos probando que [texx](a_{1},\dots,a_{n})=(b_{1},\dots,b_{n})[/texx].

 Otra forma (que en el fondo es la misma) es suponer que [texx]a-b\neq0[/texx] y hacer [texx]y=t(a-b)[/texx], para [texx]t>0[/texx]. En este caso [texx]{\color{blue}o(y)}=(a,y)-(b,y)=t(a-b,a-b)=t\|a-b\|^{2}[/texx], luego dividiendo por [texx]t\|a-b\|=\|y\|[/texx] resulta [texx]\frac{o(y)}{\|y\|}=\|a-b\|[/texx] de donde al hacer [texx]t\to0[/texx] deducimos que [texx]\|a-b\|=0[/texx]. Esto implica que [texx]a-b=0[/texx], lo cual es absurdo. Por tanto [texx]a[/texx] es único.

Saludos,

Enrique.

P.D: Estoy denotando por [texx]\color{blue}o(y)[/texx] a la diferencia [texx]\color{blue}o_{2}(y)-o_{1}(y)[/texx] que Juan Pablo escribe en su anterior respuesta.
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laurenttoledo
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« Respuesta #6 : 12/08/2016, 09:17:31 pm »

Hola laurenttoledo.

[...] Si defino [texx]a = (a_1, ..., a_n)[/texx] y [texx]b = (b_1, ..., b_n)[/texx], entonces para [texx]y = te_i[/texx] llego a que [texx]a_i = b_i[/texx]. (¿Luego [texx]a=b[/texx]?). [...]

Observa que tenemos [texx]a_{i}=b_{i}[/texx] y podemos hacer esto para cualquier valor de [texx]i=1,\dots,n[/texx], entonces estamos probando que [texx](a_{1},\dots,a_{n})=(b_{1},\dots,b_{n})[/texx].

 Otra forma (que en el fondo es la misma) es suponer que [texx]a-b\neq0[/texx] y hacer [texx]y=t(a-b)[/texx], para [texx]t>0[/texx]. En este caso [texx]{\color{blue}o(y)}=(a,y)-(b,y)=t(a-b,a-b)=t\|a-b\|^{2}[/texx], luego dividiendo por [texx]t\|a-b\|=\|y\|[/texx] resulta [texx]\frac{o(y)}{\|y\|}=\|a-b\|[/texx] de donde al hacer [texx]t\to0[/texx] deducimos que [texx]\|a-b\|=0[/texx]. Esto implica que [texx]a-b=0[/texx], lo cual es absurdo. Por tanto [texx]a[/texx] es único.

Saludos,

Enrique.

P.D: Estoy denotando por [texx]\color{blue}o(y)[/texx] a la diferencia [texx]\color{blue}o_{2}(y)-o_{1}(y)[/texx] que Juan Pablo escribe en su anterior respuesta.

Muchas gracias por la ayuda y el tiempo dedicado tanto a Juan como a tí, Enrique. Lo he entendido.
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