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Autor Tema: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).  (Leído 28414 veces)
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« : 19/01/2009, 11:42:50 am »

La demostración del Último Teorema de Fermat no ha llegado por la vía sencilla.

El objetivo de este hilo es que entre todos discutamos, paso a paso, la prueba de Wiles, y todas las herramientas de álgebra y teoría de números que sean necesarias para su completa comprensión.

Todos los comentarios que sean ajenos a este objetivo serán borrados automáticamente, y así el hilo podrá seguir abierto para beneficio de todos.

También habrá un thread aledaño a éste, en el que se colocarán los comentarios y conversaciones antiguas que ya no sirvan, o aquellos dichos que tengan poca relación con los cálculos de la prueba misma.

Comentarios del thread "Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente)."



Así que comencemos.

Pierre Fermat dejó anotada en el margen de su ejemplar de Arithmetica de Diofanto la conjetura siguiente:

  • Dado un entero positivo [texx]n\geq 3[/texx], no existen enteros positivos [texx]a,b,c[/texx], tales que [texx]a^n+b^n=c^n[/texx].

Fermat dijo tener una prueba maravillosa, pero jamás fue hallada, y durante más de 300 años los matemáticos intentaron probar la conjetura. Esos intentos dieron lugar a fantásticos descubrimientos en teoría de números, y al fin, Wiles en 1995 dio la prueba definitiva, aunque aprovechando todo el bagaje intelectual sembrado por otros matemáticos en estos 3 siglos.

El artículo puede leerse (o bajarse) en su versión original en inglés en la siguiente dirección:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

Conviene tener a mano la siguiente página web:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/

En adelante usaremos la abreviatura UTF (Último Teorema de Fermat).
Usualmente, el UTF se enuncia en todo el anillo de números enteros, del siguiente modo:
  • Dado [texx]n\geq 3[/texx], no existen enteros no triviales [texx]a,b,c[/texx], tales que [texx]a^n+b^n=c^n[/texx]
  • Entero no trivial significa simplemente no nulo. Es fácil hallar ejemplos de igualdad cuando alguno de los términos es igual a 0.

 :sonrisa:

Lo ideal es que la demostración quede completa y clara para todo el mundo, paso a paso.
Se esperan aportes.

________________

Nota importante: Los aportes en este hilo tienen que ser exclusivamente en torno a la historia "oficial" de la prueba del UTF, y esto involucra a los métodos empleados por Fermat, Euler y sus sucesores, hasta llegar a Wiles.

Para discutir demostraciones alternativas, o intentos o ideas o enfoques distintos,
POR FAVOR abrir otro hilo distinto en el subforo del Teorema de Fermat.

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« Respuesta #1 : 19/01/2009, 01:31:25 pm »

Según mi opinión personal, muchas cuestiones intelectuales (no siempre todas) conviene estudiarlas del mismo modo en que fueron surgiendo históricamente, debido a que el grado de comprensión que se fue alcanzando gradualmente a lo largo de los años, es más o menos el mismo proceso que un ser humano individual hubiera llevado a cabo si hubiera podido vivir durante todos esos años.

Así que me parece que empezar directamente por el artículo de Wiles es empezar por lo más difícil, y nos vamos a frustrar.

Voy a usar como guía histórica el artículo siguiente:

From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem (Israel Kleiner).

  • Fermat comenzó probando el caso n = 4 en el año 1630.
  • Euler dio una prueba del caso n = 3 en el año 1760, pero al parecer contenía un error.
  • Al parecer Gauss probó los casos n = 3 y n = 5, a mediados del siglo 19. No sé bien la fecha.
  • En 1825 Legendre y Dirichlet probaron independientemente el caso n = 5.
  • En 1832, Dirichlet probó el caso n = 14.
  • En 1839, Lamé probó el caso n = 7.

A partir de aquí las cosas se complican.
Así que propongo empezar con estos casos, como para entrar en calor.

En lo que sigue, voy a usar la notación UTF(n)
para indicar el Último Teorema de Fermat en el caso de exponente prefijado n,
y también podemos usar la notación UTF(a,b,c,n) para indicar la desigualdad [texx]a^n+b^n\neq c^n[/texx].

Antes que nada, unas observaciones sencillas.

  • Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).
Spoiler: Demostración: (click para mostrar u ocultar)

El significado de esto es que basta pensar en enteros positivos [texx]a,b,c[/texx].
Sin embargo, creería que esta restricción no se aplica al usar los métodos avanzados.

  • Suponiendo cierto el UTF(n), entonces para todo entero positivo k resulta cierto el UTF(nk).
Spoiler: Demostración: (click para mostrar u ocultar)

Sabemos también que, para n = 2 el UTF(2) es falso, debido a la existencia de las infinitas ternas pitagóricas.
Por ejemplo [texx]3^2+4^2=5^2[/texx].

De manera que, para probar el UTF, es suficiente probar el UTF(p), para todo primo p > 2, y para p = 4 (que no es primo),
debido a que todo exponente [texx]n\geq3 [/texx] es múltiplo de un primo p > 2, o bien de 4.

  • Lema. Sea [texx]n \geq 1[/texx] prefijado. Dados [texx]a,b,c,k[/texx]enteros positivos,
    si [texx]a^n+b^n=c^n[/texx], entonces [texx](ak)^n+(bk)^n=(ck)^n[/texx]

    La prueba es trivial, y lo que significa es que uno puede restringirse a estudiar ternas [texx](a,b,c)[/texx] sin factores comunes.

  • Hay otro caso sencillo a estudiar, pero lo agregaré más adelante en este mismo post...

A continuación procuraré escribir las pruebas de los casos n = 4, 3, 5, 14, 7.
Si alguien más se anima, puede hacerlo también.



Dejo aquí listados enlaces a libros de Ivorra del Castillo, que muchos conocemos por lo ameno y útil de su contenido:

Teoría de Números (Carlos Ivorra del Castillo)
Álgebra (Carlos Ivorra del Castillo)

Más de una vez usaré o me basaré en el contenido de estos textos.


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« Respuesta #2 : 19/01/2009, 01:59:44 pm »

En lo que sigue, será útil tener en cuenta lo que ocurre con el caso n = 2.

Ternas Pitagóricas.

Una terna [texx](a,b,c)[/texx] de enteros positivos es una terna pitagórica, si se satisface la igualdad

  • [texx]a^2+b^2=c^2[/texx]

Teorema. Todas las ternas pitagóricas son de la forma [texx](a,b,c)=(r^2-s^2,2rs,r^2+s^2)[/texx], donde [texx]r,s[/texx] son enteros positivos, [texx]r>s[/texx], [texx]r,s[/texx] sin factores comunes y de distinta paridad, o bien un múltiplo [texx](ka,kb,kc), k\in\mathbb{Z}^+[/texx] de las anteriores.

La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas



En el siguiente desplegable listamos Resultados básicos de Teoría de Números y Divisibilidad.
Los vamos a usar continuamente, así que conviene echarles una ojeada, y revisarlos en caso de duda en algún paso de las pruebas.
Las demostraciones se omiten.



Por último agregamos una lista de enlaces a otras páginas que pueden resultar de interés.



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« Respuesta #3 : 19/01/2009, 03:08:44 pm »

En el siguiente artículo está la prueba del UTF(4): (El enlace ha caído: no funciona)

Voy a reproducirla aquí para quienes quieran tener todo a mano, o por si el enlace cae.

Primero se prueba el siguiente

Teorema. No existen enteros positivos [texx]a, b, \gamma[/texx], tales que [texx]a^4+b^4=\gamma^2[/texx].
Spoiler: Demostración: (click para mostrar u ocultar)

Ahora es fácil obtener el UTF(4), por reducción al absurdo:

Si fuese cierto que [texx]a^4+b^4=c^4[/texx] para ciertos enteros positivos [texx]a,b,c[/texx], entonces, definiendo [texx]\gamma=c^2[/texx] tendríamos que [texx]a^4+b^4=\gamma^2[/texx], lo cual sabemos que no puede ser.



En la prueba del UTF(4) hemos usado el método del descenso infinito.
Lo explicamos y justificamos en el siguiente desplegable
Spoiler: Método del Descenso Infinito. (click para mostrar u ocultar)

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« Respuesta #4 : 19/01/2009, 11:46:44 pm »

En este post va algo de teoría algebraica, la cual hace un poco de falta para estudiar el caso n = 3 del UTF, siguiendo la demostración de Euler.

Lo relevante es comprender la factorización en el anillo [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx], pero aprovecharemos a explicar cosas más generales.

Para detalles de las demostraciones y ejemplos, remitimos al libro de Álgebra de Ivorra del Castillo: Ivorra-Algebra.pdf





El anillo [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].


Spoiler: Unidades (click para mostrar u ocultar)

(El material que sigue se basa en el libro de Ivorra antes citado, secciones 6.4 y 6.5, aunque se han reformulado y reordenado los resultados, y se han agregado más detalles.)


Jugando con la norma

Para poder facilitar el estudio de la divisibilidad en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] conviene enumerar hechos acerca de la cantidad [texx]N(\alpha)[/texx] para [texx]\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] que hemos llamado norma.
  • Llamemos por un rato elementos normables a aquellos números enteros positivos que son la norma de un elemento de [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
  • El producto de dos elementos normables es de nuevo un elemento normable.
    Spoiler: (Abrir para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Si 2 divide a un elemento normable [texx]m[/texx], entonces 4 también divide a [texx]m[/texx], y además el entero [texx]m/4[/texx] es de nuevo un elemento normable.
    Spoiler: (Abrir para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Supongamos que [texx]\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx], y que [texx]p[/texx] es un entero positivo primo que también es elemento normable. O sea, existe [texx]\varrho =r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] tal que [texx]p=N(\varrho )[/texx].
    Si suponemos que [texx]p[/texx] divide a [texx]N(\alpha)[/texx], entonces el entero positivo [texx]N(\alpha)/p[/texx] también es un elemento normable.
    Además, se tiene precisamente que [texx]N(\alpha)/p=N(\tilde\alpha)[/texx], donde [texx]\tilde\alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] es el número:
    [texx]\tilde\alpha=\alpha\tilde\varrho /p[/texx], donde [texx]\tilde\varrho [/texx] es o bien [texx]\varrho [/texx] o bien [texx]\bar\varrho [/texx] (cuál de los dos corresponde se ve en los detalles de la demostración).
    Spoiler: (Abrir desplegable para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Supongamos que [texx]p,\alpha,\varrho ,\tilde\alpha,\tilde\varrho ,[/texx] son como en el ítem precedente.
    Entonces alguno de los dos, [texx]\varrho [/texx] ó [texx]\bar\varrho [/texx], divide a [texx]\alpha[/texx] en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
    Spoiler: (Abrir desplegable para detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Nos preguntamos acerca de cómo son los factores de un elemento normable, si acaso también son elementos normables. En esta dirección, tenemos la siguiente afirmación:
    Si [texx]m[/texx] es un elemento normable, [texx]x[/texx] es un entero positivo impar que no es elemento normable, y además [texx]x[/texx] divide a [texx]m[/texx], entonces [texx]m/x[/texx] es un entero divisible por un factor [texx]q[/texx] impar que no es elemento normable.
     :BangHead:
    Spoiler: (Abrir desplegable para detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Sigamos con el elemento normable [texx]m = N(\alpha)=a^2+3b^2[/texx].
    Exijamos además la propiedad de que [texx]d = mcd(|a|,|b|) = 1[/texx] (o sea, [texx]a, b,[/texx] son coprimos entre sí).
    Supongamos que [texx]p[/texx] es un [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo positivo e impar que divide a [texx]m[/texx].
    Entonces [texx]p[/texx] es un elemento normable.
    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)

Elementos Irreducibles y Primos

Sea [texx]\alpha=a+b\sqrt{-3}[/texx] un elemento no nulo, no unidad, en el anillo [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
  • [texx]\alpha[/texx] es irreducible si no existen [texx]\beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] que no sean unidades, y de tal suerte que [texx]\alpha=\beta\gamma[/texx].
  • [texx]\alpha[/texx] es primo si siempre que [texx]\alpha[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\beta\gamma[/texx], [texx]\beta,\gamma\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx], necesariamente [texx]\alpha[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\beta[/texx] o es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\gamma[/texx].

En un DFU ambas definiciones resultarían equivalentes, pero lamentablemente el anillo [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] no es un DFU.
Aún así, algún trabajo todavía puede hacerse.

Tratemos en primer lugar de comprender cuáles son los elementos irreducibles y primos del anillo.

Algunos primos e irreducibles interesantes de [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].

  • El número 2 es irreducible en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)
  • Los elementos [texx]\xi=1+1\sqrt{-3}[/texx] y [texx]\bar\xi=1-1\sqrt{-3}[/texx]  son irreducibles.
    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)
  • Los números [texx]2+0\sqrt{-3}[/texx] y [texx]1\pm1\sqrt{-3}[/texx] no son primos en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
    Constituyen un ejemplo de elementos irreducibles que no son primos.
    Spoiler: (Abrir desplegable para detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Sea [texx]p[/texx] un entero positivo primo impar, y sea [texx]\varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] tal que [texx]p=N(\varrho)[/texx].
    Entonces [texx]\varrho[/texx] es irreducible.
    Nos preguntamos si además [texx]\varrho[/texx] puede ser primo.
    La investigación sobre primalidad nos da una condición algo "parecida" a la deseada:
    Sean [texx]\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] y supongamos que [texx]\varrho[/texx] divide al producto [texx]\alpha\beta[/texx].
    Entonces alguno de los dos [texx]\varrho[/texx] ó [texx]\bar\varrho[/texx] divide a alguno de los factores [texx]\alpha[/texx] o [texx]\beta[/texx].
    Spoiler: (Abrir desplegable para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)

Descartando elementos que no son Irreducibles en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].

Fijemos un elemento, no nulo y no unidad, [texx]\alpha=a+b\sqrt{-3}[/texx].
  • Si un número entero [texx]d[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[/texx]-divisor tanto de [texx]a[/texx] como de [texx]b[/texx], entonces es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\alpha[/texx].
  • Lo anterior nos motiva a calcular [texx]d=mcd(|a|,|b|)[/texx]. Si [texx]d[/texx] es mayor que 1, entonces [texx]\alpha[/texx] no es irreducible, pues [texx]d[/texx] será un [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\alpha[/texx].
    Luego, debemos buscar a los irreducibles en el subconjunto de aquellos elementos con [texx]d = 1[/texx].
  • Si [texx]\alpha=0+b\sqrt{-3}[/texx], entonces trivialmente se ve que no es irreducible, porque es el producto de [texx]\beta=b+0\sqrt{-3}[/texx] y [texx]\gamma=0+1\sqrt{-3}[/texx].
  • Obviamente, si [texx]\alpha=m+0\sqrt{-3}[/texx] y [texx]m[/texx] no es [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo, entonces no es irreducible, porque existe un [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo positivo [texx]{q < |m|}[/texx] tal que [texx]q[/texx] divide a [texx]m[/texx], con lo cual [texx]q+0\sqrt{-3}[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor no trivial de [texx]\alpha[/texx].
    Preguntamos ahora, ¿qué pasa si [texx]m[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo? ¿Necesariamente es irreducible en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]? Veremos enseguida que no.
  • El número 3 no es irreducible, porque haciendo [texx]\beta = 0+1\sqrt{-3}, \bar\beta=0-1\sqrt{-3},[/texx] tenemos que [texx] \beta \bar\beta = 3[/texx]. A su vez [texx]\beta, \bar\beta[/texx] no son unidades de [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}],[/texx] así que la factorización no es trivial.
  • Si un número entero [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo [texx]p[/texx] es la norma de algún elemento de [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx], entonces [texx]p[/texx] no es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-irreducible.
    Spoiler: (Detalles abriendo desplegable) (click para mostrar u ocultar)
  • Si existe un [texx]\mathbb{Z}[/texx]-primo impar [texx]p[/texx] que divide a [texx]N(\alpha)[/texx], entonces [texx]\alpha[/texx] no es irreducible.
    Spoiler: (Abrir desplegable para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)



Factorización en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]

Quizá hay muchas propiedades algebraicas del anillo [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] que podemos estudiar,
pero procuremos mantenernos cerca de nuestro objetivo de demostrar el Último Teorema de Fermat, en este caso para el exponente [texx]n = 3[/texx].
Para este objetivo, nos falta enunciar las siguientes propiedades de factoreo:

Supongamos que [texx]\alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] es tal que [texx]mcd(|a|,|b|)=1[/texx]. Entonces:
  • Si [texx]N(\alpha)=a^3+3b^2[/texx] es par, entonces [texx]\xi = 1+\sigma\sqrt{-3}[/texx] es un [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\alpha[/texx], donde [texx]\sigma=1[/texx] ó [texx]-1[/texx] (este signo se elige adecuadamente en la prueba que sigue).
    Además, el número [texx]\gamma =\alpha /\xi = x+y\sqrt{-3}[/texx] satisface que [texx]mcd(|x|,|y|)=1[/texx].
    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)
  • Si [texx]p[/texx] es un primo impar que divide a [texx]N(\alpha )[/texx], hemos visto anteriormente que:
    • [texx]p[/texx] es un elemento normable. Con lo cual, existe [texx]\varrho\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] [/texx] tal que [texx]p=N(\varrho )[/texx].
    • Además uno de los dos, [texx]\varrho[/texx] o [texx]\bar\varrho[/texx] divide a [texx]\alpha[/texx]  en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
    • Escribiendo [texx]\varrho = r+s\sqrt{-3}[/texx], se vio en los detalles de esos resultados que [texx]p[/texx] divide a [texx] ra-\sigma sb[/texx], donde [texx]\sigma = 1[/texx] ó [texx]-1[/texx] (pero no necesariamente ambos).
      En caso de que [texx]\sigma =+1[/texx], quien divide a [texx]\alpha[/texx] es [texx]\varrho[/texx], y
      en caso de que [texx]\sigma =-1[/texx], quien divide a [texx]\alpha[/texx] es [texx]\bar\varrho[/texx].
    Además, si [texx]\gamma = x+y\sqrt{-3}=\alpha /\tilde\varrho[/texx] (donde [texx]\tilde\varrho[/texx] es [texx]\varrho[/texx] ó [texx]\bar\varrho[/texx], según que el valor de [texx]\sigma[/texx] es 1 ó [texx]-1[/texx]),
    entonces [texx]mcd(|x|,|y|)=1[/texx].
    Spoiler: (Abrir desplegable para ver detalles) (click para mostrar u ocultar)
  • Si [texx]\omega =v+w\sqrt{-3}[/texx] es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\alpha [/texx],
    entonces [texx]-\omega =-v-w\sqrt{-3}[/texx] también es [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx]-divisor de [texx]\alpha [/texx].
    Esta observación sencilla la hacemos con el fin de buscar una cierta unicidad en la factorización de un elemento de [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx].
    Diremos que [texx]\omega =v+w\sqrt{-3}[/texx] es estándar en [texx]\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] si su primer componente [texx]v[/texx] es positiva. O sea, [texx]v >  0[/texx].
    El tipo de factorización que vamos a estudiar no utiliza números [texx]\omega [/texx] con componente [texx]v =0[/texx], así que no decimos nada al respecto.
  • El número [texx]\alpha =a+b\sqrt{-3}[/texx] se puede factorizar de la siguiente manera:
    [texx]\alpha =\sigma\omega  _1\omega  _2...\omega  _k[/texx],
    donde [texx]\sigma=1[/texx] ó [texx]-1[/texx],
    cada [texx]\omega  _j[/texx] es estándar y tiene norma igual a 4, o bien normal igual a un primo impar [texx]p[/texx].
    Además, si [texx]\omega_j[/texx] es uno de los factores anteriores,
    entonces el conjugado [texx]\bar\omega _j[/texx] no aparece en la misma factorización.
  • Sea [texx]\omega=v+w\sqrt{-3} \in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] tal que [texx]p =N(\omega)[/texx] es un primo impar.
    Si hubiera otro elemento [texx]\varrho=r+s\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}][/texx] tal que [texx]p =N(\varrho)[/texx],
    entonces [texx]r=\pm v, s=\pm w[/texx].
    Spoiler: Demostración (abrir desplegable) (click para mostrar u ocultar)
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« Respuesta #5 : 20/01/2009, 01:22:59 am »

Ahora analizamos el caso n = 3, demostrado por Euler.

Euler dio dos pruebas de UTF(3). Una de ellas contenía un error, pero las ideas involucradas tuvieron relevancia en desarrollos posteriores en relación a nuestro tema.
La segunda prueba fue la correcta, y usa el método del descenso infinito.
La he copiado y traducido del Blog de Larry Freeman:

Fermat's Last Theorem: proof for n = 3 (Larry Freeman)

A pesar de estar en inglés, se entiende perfectamente.

Se utilizan algunos Lemas, que aquí expongo.

Lema 1. Para [texx]a,b,c\in\mathbb{Z}^+[/texx], si es cierta la igualdad [texx]a^3+b^3=c^3[/texx], entonces existen [texx]p,q\in \mathbb{Z}^+[/texx] tales que
  • [texx]mcd(p,q)=1,[/texx]
  • [texx] p,q [/texx] tienen distinta paridad,
  • [texx] 2p(p^2 + 3q^2)[/texx] es el cubo de un entero positivo.
Spoiler: Demostración. (click para mostrar u ocultar)

Lema 2: Si [texx]p,q\in\mathbb{Z}^+[/texx], son coprimos y de distinta paridad, entonces [texx]\mcd(2p,p^2 + 3q^2)= 1[/texx] ó [texx]3[/texx].
Spoiler: Demostracion. (click para mostrar u ocultar)

Lema 3. Si [texx]P,Q[/texx] son enteros (positivos) coprimos, con distinta paridad, tales que [texx]P^2 + 3Q^2 [/texx] es cubo (de un entero), entonces existen enteros [texx]x,y[/texx], coprimos tales que: [texx]P = x^3 - 9xy^2[/texx], [texx]Q = 3x^2y - 3y^3[/texx].
Spoiler: Demostración. (click para mostrar u ocultar)

Teorema. No existen enteros positivos [texx]a,b,c[/texx] tales que [texx]a^3+b^3=c^3[/texx].
Demostración.
  • Asumamos que existe una terna [texx](a,b,c)[/texx] solución de [texx]a^3+b^3=c^3[/texx].
  • Como ya sabemos, se puede suponer que [texx]a,b,c[/texx], no tienen factores comunes.
  • Por Lema 1, deben existir [texx]p,q\in\mathbb{Z}^+[/texx], sin factores comunes, de distinta paridad,
    y tales que [texx]2p(p^2 + 3q^2)[/texx] es el cubo de un entero positivo.
  • Por Lema 2, [texx]mcd(2p,p^2+3q^2)[/texx] es 1 ó 3.
  • Si [texx] mcd(2p,p^2+3q^2)=1[/texx] entonces debiera haber una terna solución [texx](A,B,C)[/texx] más pequeña a la igualdad [texx]A^3+B^3=C^3[/texx], en el siguiente sentido: [texx]A^3B^3C^3<a^3b^3c^3[/texx].
  • Si [texx] mcd(2p,p^2+3q^2)=3[/texx] entonces debiera haber una solución a la igualdad,
    que es más pequeña, en el sentido de que: [texx]A^3B^3C^3<a^3b^3c^3[/texx].

  • En cualquier caso, se encuentran soluciones enteras positivas [texx](A,B,C)[/texx] más pequeñas (en el sentido ya expuesto).
    Luego, por el criterio del descenso infinito culmina la prueba.
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« Respuesta #6 : 21/01/2009, 01:46:33 pm »

Muy buenas,
Qué buena idea argentinator! Me parece la mejor manera de entender la demostración final del UTF, hacer un recorrido por todos los avances que se hicieron hasta el entonces.
A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.
Un saludo.
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« Respuesta #7 : 21/01/2009, 02:56:53 pm »

A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.

Mostrar interés ya es un aporte, sirve de incentivo.
Saludos
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« Respuesta #8 : 21/01/2009, 07:14:30 pm »

(...)


Estas cosas pueden hallarse en el capitulo del Ultimo Teorema de Fermat, del libro de Teoría de Números de Ivorra del Castillo.
Enlace: Ivorra-Numeros

(...)


En la sección de resultados básicos previos he recopilado propiedades de divisibilidad, max. comun divisor, numeros primos, congruencias.
Cualquier sugerencia de agregar algo allí, me avisan.



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Javi_Tron
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« Respuesta #9 : 03/08/2009, 05:13:00 am »

Buenas !!  dos matematicos  dieron en el 2005 una prueva del Teorema de Fermat como corolario de la conjetura de Serre , mucho mas sencilla y no necesita usar la conjetura de Taniyama-Shimura -Weil , que es lo que demostro Adrew Wiles .


Aki te paso el link :

http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=22&Itemid=58


http://www.matematicalia.net/archivos/LDieulefait.pdf


Esta demostración es para p mayor que 13  ya que para exponentes menores la cosa es "trivial " y no necesita toda artilleria moderna.

Una cuestion muy guapa es como Ken Ribet demostró que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el teorema de Fermat


 
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topo23
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« Respuesta #10 : 22/09/2009, 01:55:13 pm »

Lo que intenta probar es que si a,b son primos relativos entonces existen p,q que cumplen una serie de propiedades una de las cuales es que p y q son primos relativos.

En particular si q=1 entonces son automaticamente primos relativos, que es lo que queria probar.
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« Respuesta #11 : 04/10/2009, 06:35:00 pm »

Hola gente.

Tengo el agrado de informales que al fin he logrado culminar la prueba del UTF para el caso [texx]n = 3[/texx].
Llevó mucho trabajo, sobre todo porque antes era necesario entender las propiedades de factorización del anillo [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx].

En el mensaje #4 se halla toda la teoría completa y necesaria del anillo [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx], para poder aplicarse en la prueba del Teorema de Fermat.
En el mensaje #5 se halla la prueba completa del UTF para el exponente [texx]n = 3[/texx].

La dificultad mayor estaba en el Lema 3 del mensaje #5, el cual estaba sin la prueba hasta hoy.
Ahora bien, tras completar toda la teoría de factorización del anillo [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx], la prueba del Lema 3 pu¡ede llevarse a cabo sin inconveniente, y todo queda ahora bien completado.

Así que el mensaje número #4 lo he ampliado enormemente.
He escrito allí una enorme cantidad de material referido a la factorización en [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx].
De todo ese material, la última sección titulada "Factorización en [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx]" es lo que se usa en el esquivo Lema 3 del mensaje #5.

Si bien sólo se usa esa última parte, para llegar allí son necesarias todas las observaciones hechas previamente.

A aquellos que estén interesados en aprender bien toda el álgebra requerida en el Teorema de Fermat,
les recomiendo que se tomen el tiempo de estudiar toda la teoría expuesta en el mensaje #4 acerca del anillo [texx]Z[\sqrt{-3}][/texx].

Tengan en cuenta que es justamente el estudio de este tipo de anillos lo que abrió las puertas a grandes avances en la historia del Teorema de Fermat.
O sea, estudiar ese anillo es tiempo bien invertido, además de ser el primer peldaño de una tortuosa escala.

A pesar de todo, los cálculos están hechos de forma intermedia entre lo puramente algebraico, y lo puramente elemental.
Esto creo que ayudará a que todos (incluyéndome) logremos de a poco ir adentrándonos en aguas más profundas.

Me he basado en el texto de Ivorra para el estudio del anillo, así como del Lema 3,
pero he reformulado completamente el orden y manera en que se exponen las cuentas,
porque me pareció que era mejor poner de manifiesto todo el tiempo que las cantidades cuadráticas involucradas eran normas de elementos del anillo, y por otra parte, me pareció que una exposición más detallada y ordenada podría ser más útil.
Como siempre, los detalles aburridos o complicados aparecen en los Spoilers, y pueden omitirse o abrirse según el gusto de cada quien.


Finalmente, si detectan cualquier error en los cálculos, o en la exposición, o si desean hacer cualquier otro tipo de comentario, ya saben que pueden hacerlo.
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skan
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« Respuesta #12 : 25/04/2010, 09:03:45 pm »


Sean [texx]a, b, c,[/texx] enteros no nulos.
Si n es par, entonces [texx]a^n+b^n-c^n=\left |{a}\right |^n+\left |{b}\right| ^n-\left |{c}\right | ^n \neq 0[/texx], pues [texx]\left |{a}\right| ,\left |{b}\right| ,\left |{c}\right| [/texx], son positivos.
Podemos suponer, pues, que n es impar.


Yo ya me he perdido ahí :sonrisa:
Dices que podemos suponer que n es impar, supongo que porque n no puede ser par.
Pero no veo porque no puede ser par.
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« Respuesta #13 : 25/04/2010, 10:16:14 pm »

Lo que pasa es que estoy diciendo algo simple de forma muy complicada.

Lo que afirmo es lo siguiente: si se demuestra que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros positivos, entonces esto alcanza para demostrar que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros cualesquiera, siempre y cuando no sean triviales (y "trivial" quiere decir que a, b, c no son 0).

Ahora bien. Separemos esta implicación en dos casos: cuando el exponente n es par, y cuando n es impar.
Si el exponente n es par, la demostración es muy fácil, como ahí bien se ve, porque al elevar números a un exponente par, se obtienen números positivos. Pero para números positivos ya habíamos supuesto que la igualdad fermatiana nunca se cumple!!! Y ya está...

Así que se pasa luego a considerar el caso en que n es un número impar.

Si analizo el caso n impar solamente es porque para n par la cuestión era muy fácil.

Sin embargo me he dado cuenta de que esto de restringirse sólo a los enteros positivos no es tan saludable como yo me imaginaba, y quizá convenga desestimar ese hecho.

Cualquier duda, volvé a preguntar.
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« Respuesta #14 : 25/04/2010, 11:12:31 pm »

Ah, ya lo he entendido
Si n es par tenemos exactamente la ecuación de Fermat, que supones que es cierta, lo cual no sé si es correcto.

De todos modos lo que me liaba es que pensaba que ese recuadro iba a demostrar que:

Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

y sin embargo demuestra que

basta pensar en enteros positivos a,b,c  ya que con los negativos se ve facilmente que no hace falta continuar.
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« Respuesta #15 : 25/04/2010, 11:47:54 pm »

Cita
Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

Bueno, es que esto mismo es lo que se prueba.
Lo que pasa es que he elegido denotar UTF(n) a "el enunciado completo de Fermat para exponente n", o sea, al caso en que a, b, c, son enteros cualesquiera, y no necesariamente positivos.

Tal vez mi notación no es la más feliz.

¿Por qué me he enredado tanto? ¿Adónde está el nudo de la cuestión?
Bueno, resulta que Fermat no intenta probar una "igualdad" sino justamente una "no-igualdad" para todo a, b, c, n.
No hay una forma "cómoda" de expresar una "no-igualdad" en forma general, porque siempre anda dando vueltas una "negación" en todo lo que hacemos.

Me he hecho lío con eso, pero lo he preferido así porque ciertamente es mucho más breve, conciso e inambiguo, decir algo como UTF(a, b, c, n), que andar enunciando todo el tiempo la consabida desigualdad que deseamos demostrar.

Y como bien dijiste al principio, el caso "supuesto" para enteros positivos aún no sabemos si es cierto o no.
Eso es lo que se debe probar más adelante, caso por caso, arduamente.

Saludos
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ajotatxe
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« Respuesta #16 : 12/06/2013, 04:27:28 pm »


La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas


Soy el autor del blog. He ingresado para rectificar el link, ya que he cambiado el nombre del blog y del dominio.
Aquí podéis consultar la información referida. Enhorabuena por el foro y gracias por el link.
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« Respuesta #17 : 12/06/2013, 07:45:30 pm »

Ok, gracias Antonio.

Ojalá que podamos tenerte como integrante activo de la comunidad de rinconmatematico.

Saludos
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