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Autor Tema: UTF 4 sin descenso (IV)  (Leído 227 veces)
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Fernando Moreno
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« : 30/05/2018, 08:07:24 am »

Hola,

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2,  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Estrategia: Debido a la fuerte coherencia aritmética de la ecuación de partida, me he visto obligado a buscar el absurdo en un paralogismo. Trivial desde el punto de vista aritmético pero no desde el punto de vista lógico. Al menos yo lo veo así y con esta intención concreta lo he buscado.

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Como  [texx]x^2[/texx]  es un cuadrado,  [texx]p\,\wedge\,q[/texx]  son coprimos y  [texx]q[/texx] ,  por ejemplo, es par; entonces  [texx]p[/texx]  será de la forma:  [texx]p_1^2[/texx]  y  [texx]q[/texx]  será de la forma:  [texx]2q_1^2[/texx] .  Luego:  [texx]p-q=p_1^2-2q_1^2\,>\,1[/texx] .

Lógicamente:  [texx]p^2-q^2\neq p+q[/texx] ,  puesto que  [texx]p-q\,\neq\,1[/texx] .  Imaginemos que:  [texx]p^2-q^2=3(p+q)[/texx] ;  entonces:  [texx]p=3p'[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=3q'[/texx]  [texx]\wedge[/texx]   [texx]9p'^2-9q'^2[/texx]  y siempre existirá un  [texx]p'^2-q'^2[/texx]  menor tal que:  [texx]p'^2-q'^2\neq p'+q'[/texx] .  Por otra parte como si:  [texx]p-q=1[/texx] ,  entonces:  [texx]p+q=2p-1[/texx]  [texx](p\,>\,q)[/texx] ;  tendremos que  [texx]p^2-q^2\neq 2p-1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2\neq 2p-1[/texx] .  " [texx]p[/texx] "  es cualquier entero par o impar: Luego concluimos que no podemos construir  [texx]\pmb{y^2}[/texx]  a partir de  [texx]p[/texx] .

Un saludo,   (editado)
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« Respuesta #1 : 30/05/2018, 08:32:19 am »

Hola

Supongo que  [texx]z^4=x^4+y^4[/texx]  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2,  [texx]x\,\vee\,y[/texx]  par.

Estrategia: Debido a la fuerte coherencia aritmética de la ecuación de partida, me he visto obligado a buscar el absurdo en un paralogismo. Trivial desde el punto de vista aritmético pero no desde el punto de vista lógico. Al menos yo lo veo así y con esta intención concreta lo he buscado.

Como:  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx] ;  serán soluciones en forma de ternas pitagóricas:

[texx]x^2=2pq[/texx]  ,  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]  ,  [texx]z^2=p^2+q^2[/texx] ;  para  [texx]p,q[/texx]  coprimos, uno de ellos par.

Como  [texx]x^2[/texx]  es un cuadrado,  [texx]p\,\wedge\,q[/texx]  son coprimos y  [texx]q[/texx] ,  por ejemplo, es par; entonces  [texx]p[/texx]  será de la forma:  [texx]p_1^2[/texx]  y  [texx]q[/texx]  será de la forma:  [texx]2q_1^2[/texx] .  Luego:  [texx]p-q=p_1^2-2q_1^2\,>\,1[/texx] .

Hasta aquí bien. Pero en lo que sigue... ¡no entiendo nada!.

Cita
Lógicamente:  [texx]p^2-q^2\neq p+q[/texx] ,  puesto que  [texx]p-q\,\neq\,1[/texx] .  Imaginemos que:  [texx]p^2-q^2=3(p+q)[/texx] ; 


En realidad sabemos que [texx]p^2-q^2=(p-q)(p+q)[/texx]. Ese "imaginemos" equivale a [texx] p-q=3[/texx]. Cualquier cosa que saques de ahí se referiría a ese caso particular. Pero ni siquiera entiendo que concluyes.

Cita
Por otra parte como si:  [texx]p-q=1[/texx] ,  entonces:  [texx]p+q=2p-1[/texx]  [texx](p\,>\,q)[/texx] ;  tendremos que  [texx]p^2-q^2\neq 2p-1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2\neq 2p-1[/texx] .  " [texx]p[/texx] "  es cualquier entero par o impar: Luego concluimos que no podemos construir  [texx]\pmb{y^2}[/texx]  a partir de  [texx]p[/texx] .

Esa hipótesis [texx]p-q=1[/texx] también es muy restrictiva.

En realidad me ha costado hasta poner críticas concretas, porque realmente en el último párrafo no entiendo en absoluto que pretendes.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 30/05/2018, 09:05:28 am »

Hola,

Ese "imaginemos" equivale a [texx] p-q=3[/texx]. Cualquier cosa que saques de ahí se referiría a ese caso particular. Pero ni siquiera entiendo que concluyes.

Naturalmente que me refiero a que  [texx]p-q=3[/texx] ;  pero por extensión-inducción a todo  [texx]p-q\,>\,1[/texx] .  He creído que se deducía inmediatamente.

En realidad me ha costado hasta poner críticas concretas, porque realmente en el último párrafo no entiendo en absoluto que pretendes.

Desde el primer párrafo hasta el último lo que pretendo está claramente expresado -a mi entender- cuando digo al principio en qué consiste mi estrategia. Siento no haberme explicado bien.

Trato de poner ejemplos, aunque el tema va de lógica más que de números concretos:

Supongamos que  [texx]p=13[/texx] .  Entonces:  [texx]y^2=2\cdot 13-1=25[/texx] .  Pero como  [texx]p-q\neq 1[/texx] ,  " [texx]q[/texx] "  no puede ser 12 y no puede "construirse":  [texx]y^2=p+q=13+12[/texx] . Esto representa una contradicción "lógica", un paralogismo. Como ya he mencionado en la primera entrada, una cosa es que sea trivial aritméticamente y otra que sea "fácil"; aunque ya me doy cuenta por la rapidez con que has contestado que para ti ha sido muy sencillo.

Un saludo,
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« Respuesta #3 : 30/05/2018, 05:17:11 pm »

Hola, repasando otra vez esta propuesta, me doy cuenta de que no puedo garantizar que  [texx]p[/texx]  pueda ser par. Vaya, que no lo es, debido a que todo impar  [texx](2a-1)[/texx]  al cuadrado, será de la forma:  [texx]4a^2-4a+1[/texx] ;  por lo que:  [texx]4a^2-4a+1\pmb{+1}[/texx]  nunca será divisible entre 4. No obstante esto no invalida la propuesta, ya que no afecta por lo tanto a la generalidad de  [texx]\pmb{y^2}[/texx] ,  que como impar tiene que ser en origen de la forma (general):  [texx]2a-1[/texx] .  Pongo un ejemplo: No existe un impar al cuadrado (ejp. [texx]23^2=529[/texx])  que  [texx]+1=530[/texx]  sea divisible entre 4; por lo que no puede derivar de un  [texx]y^2=2p-1[/texx]  para  [texx]p[/texx]  par. Lo corrijo. Saludos,
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« Respuesta #4 : 30/05/2018, 06:30:25 pm »

Hola

Desde el primer párrafo hasta el último lo que pretendo está claramente expresado -a mi entender- cuando digo al principio en qué consiste mi estrategia. Siento no haberme explicado bien.

Pues debo de estar muy espeso. Porque sigo sin entender nada de nada.

Cita
Trato de poner ejemplos, aunque el tema va de lógica más que de números concretos:

Supongamos que  [texx]p=13[/texx] .  Entonces:  [texx]y^2=2\cdot 13-1=25[/texx] .  Pero como  [texx]p-q\neq 1[/texx] ,  " [texx]q[/texx] "  no puede ser 12 y no puede "construirse":  [texx]y^2=p+q=13+12[/texx] . Esto representa una contradicción "lógica", un paralogismo.


Pero ahí das unos valores concretísimos, que descartas. ¿¡Y...!?

Cita
Como ya he mencionado en la primera entrada, una cosa es que sea trivial aritméticamente y otra que sea "fácil"; aunque ya me doy cuenta por la rapidez con que has contestado que para ti ha sido muy sencillo.

Tampoco entiendo porque dices que para mi ha sido muy sencillo...¡si precisamente hago hincapié en que muy al contrario  no comprendo nada de lo que haces!.  :guiño:

Saludos.
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« Respuesta #5 : 31/05/2018, 08:02:16 am »

Hola Luis, gracias por contestar. Trato de explicarme mejor

En primer lugar me olvido de la palabra "paralogismo". La he empleado para describir una estrategia, que siempre exige hacer una pequeña abstracción sobre lo que uno hace. Pensé que eso sería aclaratorio y veo que no. Realmente no digo nada más profundo de lo que simplemente relato en la primera entrada y lo voy a demostrar. Otra cosa es que sea suficiente o no para determinar una contradicción. Yo he creído que sí y por eso escribí este hilo.

Es incontestable que para el caso n=4:  [texx]p-q\neq{1}[/texx] .  Esto se puede demostrar de muchas maneras. A partir de este hecho, ¿podemos llegar a establecer una contradicción? En un primer momento la respuesta es: No. Simplemete sabemos que  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ,  que debe ser 27, 83 ó 223366779. Trato de demostrar en lo que sigue que sí es posible establecer una contradicción; eso es todo, no hay más.

1)  Si  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ,  entonces:  [texx]p^2-q^2\neq{p+q}[/texx] ;  porque:  [texx]p^2-q^2=(p+q)(p-q)[/texx]  ¿de acuerdo?

2)  Si  [texx]p-q=1[/texx]  entonces siempre:  [texx]p+q=2p-1[/texx]  ([texx]47+46=2\cdot{47}-1[/texx]) .  Luego sabremos que como  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ,  tampoco:  [texx]p^2-q^2\neq{2p-1}[/texx]  ¿ok?

3)  Como  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ,  entonces:  [texx]y^2\neq{2p-1}[/texx] .  Pero esto es una contradicción siendo  [texx]p[/texx]  cualquier número entero impar. Yo no he restringido en mi razonamiento lógico la condición de  [texx]p[/texx]  en ningún sentido salvo en que debe ser impar (y puede serlo) y en que  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ;  pero esto no afecta a la condición "propia" de  [texx]p[/texx] . Luego no pierdo la generalidad y es incontestable que  [texx]y^2[/texx]  como número impar debe ser de la forma  [texx]2p-1[/texx]  para  [texx]p[/texx]  cualquier número impar.

¿Dónde está el error en la lógica de este razonamiento? Tampoco digo que no lo haya, sólo que yo no lo veo.

Si nos vamos a los números, pues un ejemplo como el que puse en mi respuesta anterior creo que sirve. Si  [texx]y^2=2\cdot{25}-1=49=7^2[/texx] ;  [texx]p=25[/texx] .  Luego no puede existir en el n = 4 un  [texx]q=24[/texx]  porque no puede darse que  [texx]p-q=1[/texx] .  Luego no puede darse que:  [texx]y^2=25^2-24^2=49[/texx] y esto es una contradicción puesto que:  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] .


Tampoco entiendo porque dices que para mi ha sido muy sencillo...¡si precisamente hago hincapié en que muy al contrario  no comprendo nada de lo que haces!.  :guiño:

Disculpas, perdí los nervios.
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« Respuesta #6 : 31/05/2018, 10:56:07 am »

Hola

1)  Si  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ,  entonces:  [texx]p^2-q^2\neq{p+q}[/texx] ;  porque:  [texx]p^2-q^2=(p+q)(p-q)[/texx]  ¿de acuerdo?

2)  Si  [texx]p-q=1[/texx]  entonces siempre:  [texx]p+q=2p-1[/texx]  ([texx]47+46=2\cdot{47}-1[/texx]) .  Luego sabremos que como  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ,  tampoco:  [texx]p^2-q^2\neq{2p-1}[/texx]  ¿ok?

3)  Como  [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] ,  entonces:  [texx]y^2\neq{2p-1}[/texx] .  Pero esto es una contradicción siendo  [texx]p[/texx]  cualquier número entero impar. Yo no he restringido en mi razonamiento lógico la condición de  [texx]p[/texx]  en ningún sentido salvo en que debe ser impar (y puede serlo) y en que  [texx]p-q\neq{1}[/texx] ;  pero esto no afecta a la condición "propia" de  [texx]p[/texx] . Luego no pierdo la generalidad y es incontestable que  [texx]y^2[/texx]  como número impar debe ser de la forma  [texx]2p-1[/texx]  para  [texx]p[/texx]  cualquier número impar.

¿Dónde está el error en la lógica de este razonamiento? Tampoco digo que no lo haya, sólo que yo no lo veo.

 Una reflexión general; en todo esto, al menos aparentemente, sólo usas que [texx]y^2=p^2-q^2[/texx]. Si estuviese bien, ¿acaso estarías probando la imposibilidad de esa igualdad?...Pero esa igualdad es perfectamtente posible..¡hay infinidad de ternas pitagóricas [texx](p,y,q)[/texx]!.

 El error está en como interpretas la cuestión en el punto 3. Lo que pruebas es que es imposible que al mismo tiempo se den [texx]y^2=p^2-q^2 [/texx] e [texx]y=2p-1[/texx], pero nada impide que se de [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] e [texx]y=2p'-1[/texx] con otro [texx]p'\neq p[/texx].

 El error tiene un aire parecido a este otro de aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103800.msg410895#msg410895

Saludos.
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« Respuesta #7 : 31/05/2018, 02:15:07 pm »

Hola,

El error está en como interpretas la cuestión en el punto 3. Lo que pruebas es que es imposible que al mismo tiempo se den [texx]y^2=p^2-q^2 [/texx] e [texx]y=2p-1[/texx], pero nada impide que se de [texx]y^2=p^2-q^2[/texx] e [texx]y=2p'-1[/texx] con otro [texx]p'\neq p[/texx].

 El error tiene un aire parecido a este otro de aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=103800.msg410895#msg410895

Ok, gracias. He vuelto a forzar demasiado el asunto y tiene poca elasticidad. Un cordial saludo,
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