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Autor Tema: Menor valor de C =? (triangulo rectangulo)  (Leído 889 veces)
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« : 25/07/2016, 09:53:15 am »

Consideremos un triángulo rectángulo de catetos a, b y hipotenusa c

en el se cumple que

[texx]ab+bc+ac=100[/texx]

¿Cuál es el menor valor de c (sin fuerza bruta )?
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Fernando C.
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« Respuesta #1 : 25/07/2016, 05:59:50 pm »

Hola

¿Sabes utilizar el Método de los multiplicadores de Lagrange? Es un método para optimizar una función sometida a una o varias restricciones de igualdad. En este caso, la función a optimizar es:

[texx]Min f(a,b,c)=c[/texx]

sujeto a [texx]a^2+b^2=c^2[/texx]  y  [texx]ab+bc+ac=100[/texx]

Saludos.

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« Respuesta #2 : 25/07/2016, 07:04:50 pm »

Me temo que no lo ubico
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« Respuesta #3 : 25/07/2016, 08:36:43 pm »

Hola.

 Dejo una idea que lamentablemente no da una respuesta, tal vez se pueda refinar un poco el argumento, pero ahora no veo cómo. Partiendo de [texx](a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\geq0[/texx] podemos deducir que [texx]2c^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac=100[/texx], luego [texx]c\geq5\sqrt 2[/texx].

 Lamentablemente (si no me equivoco) el sistema de ecuaciones formado por [texx]ab+(b+a)5\sqrt{2}=100[/texx] y [texx]a^{2}+b^{2}=50[/texx] no tiene soluciones, pues si introducimos los valores en [texx](a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)=300[/texx] obtenemos que [texx]a+b=10\sqrt{3}-5\sqrt{2}>10[/texx]. Entonces la recta definida por [texx]a+b=10\sqrt{3}-5\sqrt{2}[/texx] no intercepta a la circunferencia [texx]a^{2}+b^{2}=50[/texx] y por tanto no hay soluciones. Luego [texx]c>5\sqrt{2}[/texx].

Saludos,

Enrique.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 26/07/2016, 06:09:56 am »

Hola

Consideremos un triángulo rectángulo de catetos a, b y hipotenusa c

en el se cumple que

[texx]ab+bc+ac=100[/texx]

¿Cuál es el menor valor de c (sin fuerza bruta )?


Otra forma.

Si [texx]A[/texx] es uno de los ángulos agudo del triángulo tienes [texx]a=c\sin A,\,b=c\cos A[/texx]. Susituyendo en la ecuación dada y despejando se obtiene:

[texx]c^2=\dfrac{100}{\sin A \cos A+\sin A+\cos A}[/texx]

Y ahora es muy fácil ver que el máximo de la función:

[texx]f(x)=sin(x)cos(x)+sin(x)+cos(x)[/texx] con [texx]x\in [0,\pi/2][/texx]

se alcanza para [texx]x=\pi/4[/texx].

Saludos.



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« Respuesta #5 : 22/09/2016, 05:41:12 pm »

gracias por las sol, un despiste de mi parte

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