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Autor Tema: Observaciones sobre la conjetura de Goldbach  (Leído 2238 veces)
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sqrmatrix
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« : 03/07/2016, 07:57:38 am »

A raíz de unas conversaciones entre Victor Luis y Feriva, sobre la conjetura de Goldbach, se me ocurrió esta forma de verla, que me parece interesante. Imagino que todo esto ya es conocido de sobra por los matemáticos. Pero si hubiera algo nuevo, pues mira que bien :sonrisa: . Quería haber hecho las tablas en MathJax, pero no me salían bien, así que al final opté por utilizar imágenes. Las reduje de tamaño para que cupieran en pantallas normales. También tuve que dividir el mensaje en varias partes, porque sólo se permiten 4 imágenes por mensaje, y tenía un total de 10 imágenes que añadir. Y dicho esto, comienzo la explicación.

Para entender el procedimiento, lo primero que vamos a ver es una forma rudimentaria de suma. Si queremos sumar dos valores [texx]\displaystyle a[/texx] y [texx]\displaystyle b[/texx], construiremos una tabla. En la primera fila de esta tabla escribiremos todos los enteros, partiendo del [texx]\displaystyle 0[/texx], de esta forma:



Para hacer la suma [texx]\displaystyle a+b[/texx], lo siguiente que tenemos que hacer es añadir una nueva fila de enteros partiendo del valor [texx]\displaystyle 0[/texx], pero este valor [texx]\displaystyle 0[/texx] debajo del valor [texx]\displaystyle a[/texx] de la primera fila. Por ejemplo, supongamos que queremos realizar la suma [texx]\displaystyle 5+7[/texx]. La segunda fila que vamos a escribir tendrá su valor [texx]\displaystyle 0[/texx] debajo del valor [texx]\displaystyle 5[/texx] de la primera fila, así:



Para hallar el resultado de la suma [texx]\displaystyle 5+7[/texx], sólo tenemos que buscar el valor [texx]\displaystyle 7[/texx] en la fila de abajo, y el resultado estará en la casilla de la primera fila que tiene encima:



El resultado, como cabía esperar, es [texx]\displaystyle 5+7=12[/texx].

Este método de suma puede aplicarse a la conjetura de Goldbach, ya que lo que vamos a obtener son sumas de primos. Lo único que tenemos que hacer es obtener sumas de la forma [texx]\displaystyle p+q[/texx], con [texx]\displaystyle p[/texx] y [texx]\displaystyle q[/texx] primos. No consideraremos el caso [texx]\displaystyle 4=2+2[/texx], que claramente cumple la conjetura de Goldbach. Sólo trataremos con primos impares.

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« Respuesta #1 : 03/07/2016, 07:59:14 am »

Empecemos con el primer caso, que será en el que [texx]\displaystyle p=3[/texx]. Es decir, consideraremos el caso [texx]\displaystyle 3+q[/texx], con [texx]\displaystyle q[/texx] primo impar. Siguiendo el método anterior, escribimos en la primera fila de una tabla todos los enteros partiendo del [texx]\displaystyle 0[/texx]. Debajo de esta fila, escribiremos de nuevo todos los enteros, pero situando el [texx]\displaystyle 0[/texx] debajo del valor [texx]\displaystyle 3[/texx] de la fila superior, así:



Hemos marcado las filas con un valor a su izquierda, con fondo amarillo, para facilitar su identificación. Este valor será el desplazamiento, respecto de la fila de arriba, del valor [texx]\displaystyle 0[/texx], o lo que es lo mismo, el valor de la casilla de la primera fila que el [texx]\displaystyle 0[/texx] de la correspondiente fila tiene encima.

Ahora, observemos que la distribución de los primos en cada fila es exactamente la misma. Es decir, el valor [texx]\displaystyle 3[/texx] es primo tanto en la fila [texx]\displaystyle 0[/texx] como en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], el valor [texx]\displaystyle 5[/texx] es primo tanto en la fila [texx]\displaystyle 0[/texx] como en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], etc. Y como lo que pretendemos es obtener los enteros que son de la forma [texx]\displaystyle 3+q[/texx], con [texx]\displaystyle q[/texx] primo, lo que haremos será marcar los primos en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], quedando:



Ahora, teniendo marcados los primos en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], basta ir a la casilla de encima de cada uno de estos primos para obtener los enteros que son de la forma [texx]\displaystyle 3+q[/texx], con [texx]\displaystyle q[/texx] primo impar. Nos quedaría:



Los enteros de la fila [texx]\displaystyle 0[/texx] marcados son los expresables como la suma [texx]\displaystyle 3+q[/texx], con [texx]\displaystyle q[/texx] primo impar. Todos ellos son pares, ya que son la suma de dos impares. Todos estos enteros marcados cumplen la conjetura de Goldbach. Pero vemos que aún quedan valores pares no marcados, es decir, que no son expresables como la suma [texx]\displaystyle 3+q[/texx].

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« Respuesta #2 : 03/07/2016, 08:01:26 am »

Podemos repetir el anterior procedimiento, esta vez con [texx]\displaystyle p=5[/texx], es decir, obtendremos los pares expresables como la suma [texx]\displaystyle 5+q[/texx], con [texx]\displaystyle q[/texx] primo impar. Añadiremos una nueva fila a la anterior tabla, esta vez el [texx]\displaystyle 0[/texx] de esta nueva fila comenzará debajo de la casilla [texx]\displaystyle 5[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 0[/texx], quedando:



Marcamos los primos de esta nueva fila:



Y como antes, en la fila [texx]\displaystyle 0[/texx] marcaremos los enteros que estén en la misma columna que estos primos. Los que ya estuvieran marcados permanecen marcados. Nos queda:



Observamos dos cosas. La primera es que enteros pares que no estaban marcados antes, ahora sí lo están. Y la segunda, que enteros pares que ya estaban marcados vuelven a ser marcados, es decir, que los enteros pares pueden tener más de una forma de expresarse como suma de dos primos impares. Ejemplo del primer caso es el valor [texx]\displaystyle 12[/texx], que no puede expresarse como [texx]\displaystyle 3+q[/texx], pues en este caso, [texx]\displaystyle q[/texx] valdría [texx]\displaystyle q=12-3=9=3^2[/texx], que no es primo. Pero sí que puede expresarse como [texx]\displaystyle 5+q[/texx], donde [texx]\displaystyle q=12-5=7[/texx], que es primo. Ejemplo del segundo caso es el valor [texx]\displaystyle 16[/texx], en el que [texx]\displaystyle q=16-3=13[/texx] y [texx]\displaystyle q=16-5=11[/texx], ambos valores primos.

A pesar de todo, sigue habiendo enteros pares que no han sido marcados, es decir, que no son expresables como la suma [texx]\displaystyle 3+q[/texx] ni [texx]\displaystyle 5+q[/texx], [texx]\displaystyle q[/texx] primo impar. Lo único que tenemos que hacer es repetir el procedimiento para [texx]\displaystyle p=7, \ 11, \ 13, \ 17, \ ...[/texx]. Al final nos queda la tabla:



Como vemos, ahora todos los compuestos pares de la tabla se expresan como suma de dos primos impares (excepto el 4, caso que no tratamos). Esto, claro está, se cumple en los enteros con los que estamos trabajando. Esto no demuestra que se cumpla la conjetura de Goldbach, sólo la demuestra para los enteros de la tabla.

En lo que sigue, a la fila [texx]\displaystyle 0[/texx] se la llamará "fila principal", o "primera fila", o "fila primera", para disminuir un poco la confusión que voy a generar con mis explicaciones :sonrisa: . El resto de filas las llamaré con el número que representan, que es el de más a la izquierda en color amarillo.

Este procedimiento nos da una interesante visión de la conjetura de Goldbach, y nos permite ver algunas características interesantes relacionadas con esta conjetura.

Lo primero que observamos, y que es la base de este procedimiento, es que todos los compuestos pares expresables como suma de dos primos impares, en la fila principal, tienen debajo de ellos al menos un primo. En la tabla que hemos construido vemos que todos tienen más de un primo, pero bastaría con que tuvieran un único primo para que sean expresables como suma de dos primos impares. Los primos impares que se suman son, por un lado, el identificador de la fila donde se ha encontrado el primo (pues directamente indica el primo [texx]\displaystyle p[/texx] de la fila principal, debajo del cual está el [texx]\displaystyle 0[/texx] de esa fila), y por otro lado, el primo en cuestión encontrado. Por ejemplo, el valor [texx]\displaystyle 38[/texx]. Tiene debajo de él el primo [texx]\displaystyle 31[/texx]. Este primo se encuentra en la fila [texx]\displaystyle 7[/texx]. Por tanto, [texx]\displaystyle 38[/texx] es expresable como [texx]\displaystyle 38=7+31[/texx]. Y así con todos.

Si aplicando este procedimiento nos encontramos con algún entero par de la fila principal debajo del cual no hay ningún primo, entonces se demostraría que la conjetura de Goldbach es falsa (por supuesto, hay que añadir filas hasta cubrir todos los primos menores que el entero par que estamos considerando). Este procedimiento no es eficiente para demostrar la falsedad de la conjetura de Goldbach. Es mucho más eficiente tomar un entero par [texx]\displaystyle n[/texx], y buscar primos [texx]\displaystyle p[/texx] tales que [texx]\displaystyle n-p[/texx] sea también primo. Si no lo encontramos, se demuestra la falsedad de la conjetura de Goldbach. Parece ser que esto, o algo parecido, ya se ha realizado con una enorme cantidad de enteros (hasta el valor [texx]\displaystyle 4\cdot 10^{18}[/texx], según la Wikipedia inglesa), y no se ha encontrado ningún contraejemplo. Intentar comprobar todos esos enteros con este procedimiento sería inviable, por la cantidad de memoria necesaria.

Otra cosa que observamos es que parece que hay una relativamente abundante cantidad de primos debajo de los enteros pares. Pero esto lo estamos viendo en la tabla que hemos construido, que sólo muestra los primeros enteros, y esto podría cambiar según añadimos más enteros. En todo caso, a primera vista, parece que va a haber primos de sobra para cada entero par. En el ejemplo que estamos viendo, el entero par con menos primos debajo es el valor [texx]\displaystyle 38[/texx], que sólo tiene 3 primos debajo.

Por otro lado, vemos que existe una simetría entre los primos encontrados debajo de un entero par y la fila a la que pertenecen. Esta simetría consiste en que si debajo del entero [texx]\displaystyle n[/texx] encontramos el primo [texx]\displaystyle p[/texx], este primo estará en la fila [texx]\displaystyle q[/texx] que es otro valor primo, de forma que [texx]\displaystyle n=p+q[/texx]. Pero también se cumplirá que [texx]\displaystyle n=q+p[/texx], así que también encontraremos, debajo del entero par [texx]\displaystyle n[/texx], un primo [texx]\displaystyle q[/texx] que estará en una fila [texx]\displaystyle p[/texx], de forma que igualmente se cumplirá [texx]\displaystyle n=q+p[/texx]. En caso de que [texx]\displaystyle n=p+p[/texx], el primo y la fila a la que pertenece serán los mismos valores. En cualquier otro caso, los primos y las filas serán diferentes, y aparecerán en parejas, intercambiando el valor primo y el número de fila. Por ejemplo, en el caso del valor [texx]\displaystyle 38[/texx], encontramos el primo [texx]\displaystyle 31[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 7[/texx], y tenemos que [texx]\displaystyle 38=31+7[/texx]. Pero también encontramos el primo [texx]\displaystyle 7[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 31[/texx], de forma que igualmente [texx]\displaystyle 38=7+31[/texx]. Además, encontramos el primo [texx]\displaystyle 19[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 19[/texx], por lo que [texx]\displaystyle 38=19+19[/texx]. Otro caso en el que no ocurre que el entero par sea la suma del mismo primo es en el entero [texx]\displaystyle 28[/texx]. Aquí, encontramos el primo [texx]\displaystyle 23[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 5[/texx] y, como consecuencia, también encontramos el primo [texx]\displaystyle 5[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 23[/texx]. Igualmente encontramos el primo [texx]\displaystyle 17[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 11[/texx], y el primo [texx]\displaystyle 11[/texx] en la fila [texx]\displaystyle 23[/texx].

Una cosa que hay que tener en cuenta es que en cada fila, su primer elemento, el valor [texx]\displaystyle 0[/texx], está debajo del valor primo que representa esa fila. Es decir, la fila [texx]\displaystyle 19[/texx] tiene su primer elemento debajo del primo [texx]\displaystyle 19[/texx] de la fila principal, el primer elemento de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx] está debajo del primo [texx]\displaystyle 23[/texx] de la fila principal, etc.

Ahora observemos la tabla. Cojamos un entero par, y la columna de casillas que tiene debajo, con sus valores en orden creciente (es decir, cogemos los valores de la columna de abajo a arriba). Por ejemplo, cojamos el entero [texx]\displaystyle 20[/texx]. La columna de casillas que tiene debajo está formada por el conjunto de enteros [texx]\displaystyle \{1,3,7,9,13,15,17\}[/texx]. Podemos hacer esto con cualquier entero par (que son los que nos interesan en este caso).

Este conjunto de enteros lo podemos ver como una sucesión finita de enteros. Ahora, tenemos que ver cómo se genera. Esta sucesión generará al final el entero par de la fila principal. No obstante, nos centraremos en la sucesión en sí, y no en el entero par que genera.

Lo primero que observamos es que todos los términos de la sucesión deben ser impares, puesto que el entero par que es generado es la suma de un valor primo impar (que es el número de fila, el valor más a la izquierda, con fondo amarillo) más un valor de esta sucesión (no olvidemos lo que vimos al principio, sobre la forma rudimentaria de suma. No sólo los primos que hay debajo del entero par son los que se suman al número de fila. El resto de valores también, y generan el entero par. Simplemente los únicos valores que nos interesan que se sumen son los primos, ya que son los que cumplen la conjetura de Goldbach). En particular, el primer término de la sucesión es impar.

Pero no sólo eso. El número de valores que puede tomar el primer término de la sucesión está limitado. En la sucesión de antes, el primer término era el [texx]\displaystyle 1[/texx]. Si cogemos la sucesión asociada al siguiente entero par, el [texx]\displaystyle 22[/texx], su primer término es el [texx]\displaystyle 3[/texx]. Si cogemos la sucesión asociada al siguiente entero par, el [texx]\displaystyle 24[/texx], vemos que el primer término no es el [texx]\displaystyle 5[/texx], sino de nuevo el [texx]\displaystyle 1[/texx]. Esto es porque tiene una fila más, debajo del mismo.

Vamos a ver cómo determinar este primer término de la sucesión. Para ello, fijémonos en la tabla, en particular en los casos indicados antes, de los valores [texx]\displaystyle 20[/texx], [texx]\displaystyle 22[/texx] y [texx]\displaystyle 24[/texx], donde en este último el primer elemento vuelve a ser el [texx]\displaystyle 1[/texx]. Vemos que esto se produce porque en ese punto tenemos una fila debajo, la [texx]\displaystyle 23[/texx]. La anterior es la [texx]\displaystyle 19[/texx]. Fijémonos en el valor [texx]\displaystyle 0[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx]. Justo encima tiene el valor [texx]\displaystyle 4[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 19[/texx]. Si nos fijamos bien, estas dos filas en realidad están montadas exactamente igual que habíamos hecho con la suma rudimentaria explicada al principio, de forma que los valores de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx] tienen encima el resultado de sumar el valor que tienen encima de su primer elemento (que es la casilla con el valor [texx]\displaystyle 0[/texx]). Así, tenemos que los valores que hay encima de los elementos de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx] son el resultado de sumar [texx]\displaystyle 4[/texx] a dichos valores. Esto es debido a la forma de construir la tabla. Debajo de cada valor primo de la fila principal añadimos una nueva fila de enteros, que comienza con su valor [texx]\displaystyle 0[/texx] justo debajo de ese primo. Así, pues, en el caso que nos ocupa, en el que estamos en la fila [texx]\displaystyle 19[/texx], tenemos que su primer elemento, el que tiene el valor [texx]\displaystyle 0[/texx], está justo debajo del primo [texx]\displaystyle 19[/texx] de la fila principal. Si avanzamos una posición a la derecha, vemos que nos situamos debajo del valor [texx]\displaystyle 20[/texx] de la fila principal. Como [texx]\displaystyle 20[/texx] no es primo, no añadimos una nueva fila. Avanzamos otra vez, para situarnos debajo del valor [texx]\displaystyle 21[/texx] que, como no es primo, no necesitamos añadir una nueva fila. Avanzamos al siguiente, el [texx]\displaystyle 22[/texx], y ocurre lo mismo. Pero ahora, cuando avanzamos una posición más, resulta que nos situamos debajo del valor [texx]\displaystyle 23[/texx], que es primo. En este punto, y debajo de la fila en la que estamos, la [texx]\displaystyle 19[/texx], añadimos una nueva fila, la [texx]\displaystyle 23[/texx], y es a partir de este punto que ya no podemos tomar como primer elemento de la sucesión los valores de la fila [texx]\displaystyle 19[/texx], sino que ahora se tomarán los valores de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx]. Y esto se repite en todas las filas. Así que en lugar de coger como primer elemento de la sucesión asociada al entero [texx]\displaystyle 24[/texx] el valor [texx]\displaystyle 5[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 19[/texx], tendremos que coger el elemento [texx]\displaystyle 1[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx].

Ahora, observemos que desde el primer elemento de la fila [texx]\displaystyle 19[/texx] hasta el primer elemento de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx] hay una distancia de [texx]\displaystyle 4[/texx], por lo que los primeros términos que pueden tomar las sucesiones asociadas a los enteros de la fila principal que están encima de esta fila [texx]\displaystyle 19[/texx] sólo pueden ser [texx]\displaystyle 1[/texx] y [texx]\displaystyle 3[/texx] (recordemos que sólo tomamos valores impares), ya que el [texx]\displaystyle 5[/texx] supera el valor de [texx]\displaystyle 4[/texx] de la diferencia entre los primeros términos de ambas filas. Es decir, que ya tenemos la condición que debe cumplir el primer término de una de estas sucesiones, y es que su valor debe ser menor que la diferencia de elementos entre la fila a la que pertenece y la siguiente.

Pero puesto que el primer valor de cada fila (es decir, el valor [texx]\displaystyle 0[/texx]) está justo debajo del mismo primo al que representan (es decir, el valor [texx]\displaystyle 0[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 19[/texx] está justo debajo del primo [texx]\displaystyle 19[/texx] de la fila principal, el valor [texx]\displaystyle 0[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 23[/texx] está justo debajo del primo [texx]\displaystyle 23[/texx] de la fila principal, etc), nos encontramos con que el valor del primer término de una sucesión debe ser menor a la diferencia entre el siguiente primo de la fila y el primo de la fila, a la que pertenece la sucesión. En nuestro caso, el primer término de la sucesión debe ser menor que [texx]\displaystyle 23-19=4[/texx]. Y en general, si queremos obtener una sucesión asociada a una fila [texx]\displaystyle p_i[/texx], el primo i-ésimo, su primer término, que denotaremos por [texx]\displaystyle a_0[/texx], debe cumplir [texx]\displaystyle a_0<p_{i+1}-p_i[/texx].

Todo esto es aplicable para obtener los siguientes términos de la sucesión. Observemos que, si tenemos el término [texx]\displaystyle a_j[/texx], que estará en una fila [texx]\displaystyle p_i[/texx], el siguiente término, [texx]\displaystyle a_{j+1}[/texx] será el valor que tiene justo encima el término [texx]\displaystyle a_j[/texx], en la tabla. Pero este término es la suma rudimentaria de la que hablamos al principio, entre las filas [texx]\displaystyle p_i[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i-1}[/texx]. Por tanto, tendremos que [texx]\displaystyle a_{j+1}=a_j+(p_i-p_{i-1})[/texx].

Podemos ahora definir cómo será una de estas sucesiones, asociada a un primo [texx]\displaystyle p_i[/texx]:

[texx]\displaystyle
a_0<p_{i+1}-p_i \\
a_1=a_0+p_i-p_{i-1} \\
a_2=a_1+p_{i-1}-p_{i-2}=a_0+p_i-p_{i-1}+p_{i-1}-p_{i-2}=a_0+p_i-p_{i-2} \\
a_3=a_2+p_{i-2}-p_{i-3}=a_0+p_i-p_{i-2}+p_{i-2}-p_{i-3}=a_0+p_i-p_{i-3} \\
... \\
a_k=a_0+p_i-p_{i-k}
[/texx]

Los términos de estas sucesiones están formadas por la suma de un valor impar, y una diferencia de primos. El número de términos de esta sucesión será de [texx]\displaystyle i[/texx] (no tenemos en cuenta el primo [texx]\displaystyle 2[/texx], y consideramos que [texx]\displaystyle p_1=3[/texx]). Una característica de estas sucesiones es que la diferencia entre dos términos cualesquiera es una diferencia entre primos menores o iguales a [texx]\displaystyle p_i[/texx]. Se comprueba fácilmente:

[texx]\displaystyle
a_r-a_s= \\
(a_0+p_i-p_{i-r})-(a_0+p_i-p_{i-s})= \\
a_0+p_i-p_{i-r}-a_0-p_i+p_{i-s}= \\
-p_{i-r}+p_{i-s}= \\
p_{i-s}-p_{i-r}[/texx]

Para definir una de estas sucesiones, indicaremos el valor [texx]\displaystyle a_0[/texx] y el primo [texx]\displaystyle p_i[/texx], de forma que [texx]\displaystyle a_0[/texx] será impar, y además [texx]\displaystyle a_0<p_{i+1}-p_i[/texx]. Para determinar el entero par [texx]\displaystyle n[/texx] generado por esta sucesión en la tabla, basta ver que el mayor valor de la sucesión se diferencia de [texx]\displaystyle n[/texx] en [texx]\displaystyle 3[/texx], puesto que dicho término estará en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx]. Por ejemplo, en el caso de la sucesión [texx]\displaystyle a_0=5[/texx], [texx]\displaystyle p_8=23[/texx] (el primo [texx]\displaystyle 2[/texx] no lo consideramos, o simplemente lo consideramos como [texx]\displaystyle p_0=2[/texx]). Los términos de esta sucesión son [texx]\displaystyle \{5,9,11,15,17,21,23,25\}[/texx]. El entero par generado será [texx]\displaystyle 25+3=28[/texx]. Pero no hace falta calcular el último término de la sucesión. Basta hacer la suma [texx]\displaystyle a_0+p_i[/texx], ya que [texx]\displaystyle a_0[/texx] es un valor de la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx], por lo que su suma generará el entero par asociado. En este caso, tenemos que [texx]\displaystyle a_0+p_i=5+23=28[/texx]. En general, si tenemos un término [texx]\displaystyle a_k[/texx], y la fila a la que pertenece, [texx]\displaystyle p_{i-k}[/texx], el entero par asociado a la sucesión será la suma [texx]\displaystyle a_k+p_{i-k}[/texx].

Por la forma de obtener estas sucesiones, vemos que sus valores son exactamente los mismos que los de las columnas que hay debajo de los enteros pares a los que están asociadas. Y si recordamos lo visto antes, si un entero par es expresable como suma de dos primos impares, necesariamente debajo del mismo debe existir al menos un primo. Esto significa que si el entero asociado a una sucesión de las definidas es expresable como suma de dos primos impares, entonces la sucesión debe tener al menos un primo.

Esto nos lleva a la siguiente generalización: si la conjetura de Golsbach es cierta, todas las sucesiones obtenidas como se ha explicado contendrán al menos un primo. Y viceversa: si todas las sucesiones obtenidas como se ha explicado contienen al menos un primo, entonces la conjetura de Goldbach es cierta (traducido a la tabla, significa que si todas las columnas que hay debajo de cada entero par de la fila principal contienen al menos un primo, entonces la conjetura de Goldbach es cierta). Ahora, el problema es demostrar esto último, si es que se puede, para demostrar la conjetura de Goldbach.

Para esta demostración, hay que tener en cuenta que si [texx]\displaystyle a_0[/texx] es primo, entonces ya se cumple la conjetura para esa sucesión en particular, por lo que no hay que demostrar nada. Por ejemplo, si tomamos la sucesión en la que [texx]\displaystyle a_0=3[/texx] y [texx]\displaystyle p_8=23[/texx], por el hecho de ser [texx]\displaystyle a_0[/texx] primo, sabemos que se cumple la conjetura de Goldbach para ese ejemplo particular, que sería [texx]\displaystyle 3+23=26[/texx]. Así que tendremos que demostrar el caso en el que [texx]\displaystyle a_0[/texx] sea impar no primo. Digo "no primo", y no digo "compuesto", porque hay que tener en cuenta el caso en el que [texx]\displaystyle a_0=1[/texx], que no es ni primo ni compuesto.

De ser cierta la conjetura de Goldbach, tendríamos una curiosa consecuencia, y es que dado un impar [texx]\displaystyle a_0[/texx], y un primo [texx]\displaystyle p_i[/texx], con [texx]\displaystyle a_0<p_{i+1}-p_i[/texx], entonces existe un primo [texx]\displaystyle p_j\leq p_i[/texx] tal que [texx]\displaystyle a_0+p_i-p_j[/texx] es también primo. En caso de que [texx]\displaystyle a_0[/texx] sea compuesto o [texx]\displaystyle 1[/texx], entonces existe un primo [texx]\displaystyle p_j<p_i[/texx] tal que [texx]\displaystyle a_0+p_i-p_j[/texx] es también primo. En particular, tendríamos que para todo primo [texx]\displaystyle p_i[/texx], existe un primo [texx]\displaystyle p_j<p_i[/texx] tal que [texx]\displaystyle 1+p_i-p_j[/texx] es también primo. Pero todo esto sólo si la conjetura de Goldbach es cierta (por supuesto, en principio nada impide que esto se demuestre para casos particulares sin que se demuestre la conjetura de Goldbach, en cuyo caso se demostraría que para esos casos particulares se cumple la conjetura de Goldbach).

Volvamos de nuevo a la tabla que habíamos construido antes. Tomemos dos filas cualesquiera, [texx]\displaystyle p[/texx] y [texx]\displaystyle q[/texx], con [texx]\displaystyle q>p[/texx]. Estas filas, como sabemos, están formadas por todos los enteros. Simplemente cada una comienza en una columna diferente de la tabla. También, la distribución de los números primos es la misma en cada fila. En la tabla, los primos de la fila [texx]\displaystyle q[/texx] están desplazados una distancia [texx]\displaystyle q-p[/texx] respecto de los primos en la fila [texx]\displaystyle p[/texx].

Teniendo presente esto, sea un entero par [texx]\displaystyle n[/texx] de la fila principal. Si este entero está encima de un primo [texx]\displaystyle t[/texx] de la fila [texx]\displaystyle p[/texx], sabemos que será expresable como suma de dos primos impares. Pero además, el primo [texx]\displaystyle t[/texx] aparecerá en la fila [texx]\displaystyle q[/texx] a una distancia [texx]\displaystyle q-p[/texx]. Es decir, que si el entero [texx]\displaystyle n[/texx] es expresable como suma de dos primos impares, con un primo de la fila [texx]\displaystyle p[/texx], entonces el entero [texx]\displaystyle n+q-p[/texx] también será expresable como suma de dos primos impares, puesto que el primo [texx]\displaystyle t[/texx] aparecerá debajo de dicho entero, pero en la fila [texx]\displaystyle q[/texx]. Y viceversa, si [texx]\displaystyle n[/texx] es expresable como suma de dos primos impares, con un primo en la fila [texx]\displaystyle q[/texx], entonces igualmente [texx]\displaystyle n+p-q[/texx] será expresable como suma de dos primos impares, puesto que el mismo primo estará debajo de este entero, pero en la fila [texx]\displaystyle p[/texx].

Por ejemplo, consideremos, en la tabla construida antes, las filas [texx]\displaystyle 11[/texx] y [texx]\displaystyle 23[/texx]. La distancia que hay entre primos iguales de ambas filas será de [texx]\displaystyle 23-11=12[/texx]. Vemos que el entero [texx]\displaystyle 24[/texx] es expresable como suma de dos primos impares, uno de ellos es el [texx]\displaystyle 13[/texx], que está en la fila [texx]\displaystyle 11[/texx]. Por tanto, el entero [texx]\displaystyle 24+12=36[/texx] será expresable como suma de dos primos impares, uno de ellos el mismo [texx]\displaystyle 13[/texx], pero ahora en la fila [texx]\displaystyle 23[/texx]. Si observamos la tabla, vemos que esto se cumple.

Esto nos lleva a una cuestión interesante. Si identificamos a los enteros pares expresables como suma de dos primos impares, uno de ellos el número de una determinada fila, y el otro un primo de esa misma fila, podemos determinar otros enteros pares expresables como suma de dos primos, no presentes en la fila que estamos considerando, sino en otra, en la que uno de los primos es el primo que estamos considerando en la fila de partida. El entero sería el de partida más la diferencia entre los números de fila. Por ejemplo, trabajemos en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx]. Tenemos que [texx]\displaystyle 10[/texx] es expresable como [texx]\displaystyle 10=3+7[/texx], con [texx]\displaystyle 7[/texx] uno de los primos de la fila en la que estamos. Ahora consideremos la fila [texx]\displaystyle 17[/texx]. Por lo visto antes, sabemos que [texx]\displaystyle 10+17-3=24[/texx] será expresable como suma de dos primos impares. Si consultamos la tabla, vemos que [texx]\displaystyle 24[/texx] no es expresable con los primos de la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], pero sí de la fila [texx]\displaystyle 17[/texx], de la forma [texx]\displaystyle 24=7+17[/texx]. Vemos que el primo en común en ambas sumas es el [texx]\displaystyle 7[/texx].

Esto nos lleva a otras cuestiones interesantes. Por ejemplo, las filas [texx]\displaystyle 3[/texx] y [texx]\displaystyle 5[/texx] están a distancia [texx]\displaystyle 5-3=2[/texx]. Si un entero par [texx]\displaystyle n[/texx] es expresable como suma de dos primos impares, siendo uno de ellos [texx]\displaystyle 3[/texx], resulta que [texx]\displaystyle n+2[/texx] también es expresable como suma de dos primos impares. Esto ocurre con todos los primos gemelos. Pero no tenemos que limitarnos únicamente a los primos gemelos. Tenemos que la fila [texx]\displaystyle 7[/texx] está a distancia [texx]\displaystyle 7-3=4[/texx] de la fila [texx]\displaystyle 3[/texx], por lo que si [texx]\displaystyle n[/texx] es expresable como suma de dos primos impares, siendo uno de ellos [texx]\displaystyle 3[/texx], entonces [texx]\displaystyle n+4[/texx] también será expresable como suma de dos primos impares. Podríamos haber tomado las filas [texx]\displaystyle 5[/texx] y [texx]\displaystyle 7[/texx], que están a distancia [texx]\displaystyle 2[/texx], de forma que si [texx]\displaystyle n[/texx] es expresable como suma de [texx]\displaystyle 5[/texx] y otro primo, [texx]\displaystyle n+2[/texx] también será expresable como suma de dos primos impares. Vemos que esto es equivalente a usar las filas [texx]\displaystyle 3[/texx] y [texx]\displaystyle 7[/texx], pues siendo [texx]\displaystyle n[/texx] expresable como [texx]\displaystyle 5[/texx] más otro primo impar, también [texx]\displaystyle n-2[/texx] será expresable como suma de dos primos impares. Si seguimos añadiendo filas, vamos viendo que poco a poco vamos determinando nuevos enteros pares expresables como suma de dos primos impares, de forma que poco a poco vamos rellenando con otras filas todos los huecos de enteros pares que no fueron rellenados con la fila de partida (esto de rellenar, se entiende que es determinar enteros pares que son expresables como suma de dos primos impares).

Y, visto esto, se nos presenta una curiosidad. Sean los primos consecutivos [texx]\displaystyle p_i[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx]. Entre ambos habrá una distancia [texx]\displaystyle p_{i+1}-p_i[/texx], y habrá un total de enteros pares de [texx]\displaystyle \frac{p_{i+1}-p_i}{2}[/texx]. Si la conjetura de Goldbach es cierta, todos ellos serán expresables como suma de dos primos impares. Si seguimos el esquema de la tabla, vemos que colocaremos debajo del primo [texx]\displaystyle p_i[/texx] de la fila principal el [texx]\displaystyle 0[/texx] de la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx], que marca el comienzo de la misma (recordemos que el [texx]\displaystyle 0[/texx] de una fila [texx]\displaystyle q[/texx] se coloca debajo del primo [texx]\displaystyle q[/texx] de la fila principal). Esta fila contendrá los primos distribuidos de la misma forma que en los enteros. Esto significa que los enteros pares comprendidos entre [texx]\displaystyle p_i[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx] que son expresables como suma de dos primos impares, siendo uno de ellos [texx]\displaystyle p_i[/texx], también seguirán en su distribución la misma distribución de los números primos en la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx], ya que cada primo de la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx] que aparezca debajo de un entero par de la fila principal proporciona una expresión de dicho entero como suma de dos primos impares. Pero puesto que no todos los enteros en la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx] son primos, esto significa que no todos los enteros pares que hay entre [texx]\displaystyle p_i[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx] serán expresables como suma de dos primos impares, siendo uno de ellos el número de fila, y el otro un primo presente en la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx]. Si queremos añadir la siguiente fila, veremos se se añadirá debajo del primo de la fila principal [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx], por lo que no influirá en la expresión de los enteros pares entre ambos primos como suma de dos primos impares. Así, las únicas filas que pueden aportar primos a los enteros pares que no son expresables como suma de dos primos con la fila [texx]\displaystyle p_i[/texx] son las que se añadieron antes, en primos menores a [texx]\displaystyle p_i[/texx].

Así, si la conjetura de Goldbach es cierta, resulta que si construimos la tabla que se explicó al principio, colocando filas de enteros que comienzan en posiciones de valor primo (en la fila principal), y marcamos todos los enteros pares debajo de los cuales hay al menos un primo en alguna de las filas, resulta que se marcarán todos los enteros pares (salvo los enteros [texx]\displaystyle 2[/texx] y [texx]\displaystyle 4[/texx]). Esto ya lo habíamos indicado antes en la construcción. Lo interesante de esto es que podemos construir la tabla partiendo del hueco que hay entre dos primos consecutivos, y yendo hacia atrás. Esto nos dice que, de ser cierta la conjetura de Goldbach, la colocación de los primos, a distancias que son diferencias entre el primo [texx]\displaystyle p_i[/texx] y primos menores que él, nos garantiza que existirá siempre al menos un primo debajo de un entero par de la fila principal, en los enteros pares comprendidos entre [texx]\displaystyle p_i[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx]. O lo que es lo mismo, cualquier laguna de enteros pares comprendidos entre dos primos consecutivos, al construir la tabla explicada antes, quedarán marcados como expresables como suma de dos primos impares.

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« Respuesta #3 : 03/07/2016, 08:03:03 am »

Y después de todo esto, voy a explicar una idea que se me ocurrió para intentar demostrar la conjetura de Goldbach de forma asintótica, pero que no sirvió. La explico porque me parece interesante, y también por si acaso puede darle ideas a alguien.

Intenté aplicar el método del palomar. Tenemos que las sucesiones explicadas antes son finitas. En ellas aparecen enteros impares, los cuales pueden ser primos o compuestos, Si resulta que no hay suficientes compuestos para completar la sucesión, entonces esa sucesión debe tener al menos un impar primo, y si se demuestra esto, se demuestra la conjetura de Goldbach, como se indicó antes.

Podemos ver que esto se cumple para los enteros de la tabla. Los impares no primos comprendidos entre [texx]\displaystyle 1[/texx] y [texx]\displaystyle 47[/texx] (que son los que abarca la tabla que hemos construido) son [texx]\displaystyle \{1, \ 9, \ 15, \ 21, \ 25, \ 27, \ 33, \ 35, \ 39, \ 45\}[/texx]. En total 10 enteros. Si observamos la tabla, las sucesiones que superan los 10 enteros son para los pares mayores o iguales a [texx]\displaystyle 38[/texx], por lo que no hay suficientes enteros no primos para completar una sucesión para un entero par mayor o igual a [texx]\displaystyle 38[/texx]. Pero siendo [texx]\displaystyle 38-3=35[/texx] el máximo valor de la sucesión de este entero, tenemos que para esta sucesión hay disponibles 8 enteros no primos (los menores o iguales a [texx]\displaystyle 35[/texx]), por lo que sigue sin haber suficientes impares no primos para las sucesiones. Podemos ver que esto se sigue cumpliendo para las demás sucesiones menores a las indicadas. Es decir, para las sucesiones de la tabla que hemos construido, no hay suficientes enteros no primos para que las sucesiones estén formadas únicamente por enteros no primos, lo que significa que necesariamente tendrán algún primo. La idea de esta demostración es verificar que esto se cumple asintóticamente para todas las sucesiones. Veamos el desarrollo.

Recordemos que una sucesión de las explicadas antes se define con los valores [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle p_i[/texx], con [texx]\displaystyle a_0<p_{i+1}-p_i[/texx]. El número de términos de la misma es [texx]\displaystyle i[/texx], siendo [texx]\displaystyle p_1=3[/texx]. Sabemos que [texx]\displaystyle i=\pi(p_i)[/texx] (en este caso, en realidad sería [texx]\displaystyle i+1=\pi(p_i)[/texx], porque estamos descartando el [texx]\displaystyle 2[/texx]. Pero esto no importará, porque vamos a trabajar de forma asintótica).

Los valores que puede contener esta sucesión serán los impares comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y el máximo valor posible de la sucesión, ambos inclusive. Para determinar el máximo valor posible de la sucesión, recordemos que [texx]\displaystyle a_0+p_i[/texx] es el entero par [texx]\displaystyle n[/texx] que es expresable como suma de dos primos impares. El máximo valor de la sucesión será el que está justo debajo de este entero [texx]\displaystyle n[/texx] en la tabla, es decir, el que está en la fila [texx]\displaystyle 3[/texx] debajo de este entero, y este valor será, pues, [texx]\displaystyle n-3[/texx]. Como [texx]\displaystyle n=a_0+p_i[/texx], tenemos que el máximo valor de la sucesión será [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx].

El número de impares comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx], ambos inclusive, vendrá dado por [texx]\displaystyle \frac{(a_0+p_i-3)-a_0}{2}+1=\frac{p_i-3}{2}+1[/texx]. Estos impares pueden ser primos y compuestos. Si queremos que la sucesión no tenga primos, simplemente los eliminamos. Para ello, [texx]\displaystyle a_0[/texx] ha de ser impar compuesto o [texx]\displaystyle 1[/texx].

Calculemos cuántos impares quedan en la sucesión después de eliminar los primos. La cantidad de primos comprendidos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx] será de [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)[/texx]. Pero de aquí hay que eliminar los primos comprendidos entre [texx]\displaystyle 0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0[/texx], que será [texx]\displaystyle \pi(a_0)[/texx]. Por tanto, el número de primos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx] será de [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)[/texx]. Para valores grandes de [texx]\displaystyle p_i[/texx], podemos considerar la expresión [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] como un límite superior, de forma que [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)\leq\pi(p_i)[/texx]. Veamos el porqué.

Empecemos analizando la expresión [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)[/texx], a la que todavía no hemos restado [texx]\displaystyle \pi(a_0)[/texx]. La única manera de que pueda cumplirse [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)<\pi(p_i)[/texx] es que [texx]\displaystyle a_0<3[/texx]. Hemos dicho que [texx]\displaystyle a_0[/texx] debe ser [texx]\displaystyle 1[/texx] o un impar compuesto. El menor impar compuesto es [texx]\displaystyle 9[/texx], que es mayor que [texx]\displaystyle 3[/texx]. Por tanto, sólo puede cumplirse [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)<\pi(p_i)[/texx] cuando [texx]\displaystyle a_0=1[/texx]. Así, si [texx]\displaystyle a_0=1[/texx], tenemos que [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)\leq\pi(p_i)[/texx]. Y en caso de que [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)<\pi(p_i)[/texx], se cumplirá [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)=\pi(p_i)-1[/texx], ya que sustituyendo [texx]\displaystyle a_0[/texx] por su valor [texx]\displaystyle 1[/texx], tenemos que [texx]\displaystyle a_0+p_i-3=1+p_i-3=p_i-2[/texx]. Es decir, el número de primos es el mismo que antes, pero quitando al propio [texx]\displaystyle p_i[/texx], es decir, hay un primo menos. Para grandes valores de [texx]\displaystyle p_i[/texx], podemos decir que si [texx]\displaystyle a_0=1[/texx], entonces [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)\approx\pi(p_i)[/texx].

Veamos qué ocurre cuando [texx]\displaystyle a_0>1[/texx] es un entero compuesto. En este caso, el valor [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)[/texx] será el valor [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] más otro valor que puede calcularse como [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i)[/texx]. Es decir, [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)=\pi(p_i)+(\pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i))[/texx]. Recordemos que el número de primos comprendido entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx] venía dado por [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)[/texx]. Si sustituimos el primer término de esta resta por la fórmula de antes, tenemos que esta cantidad de primos viene dada por [texx]\displaystyle [\pi(p_i)+(\pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i))]-\pi(a_0)[/texx]. Nos interesa ver cómo se aproxima la expresión [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] al número de primos comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx]. Comparemos las expresiones [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i)[/texx] y [texx]\displaystyle \pi(a_0)[/texx], pues son las que queremos quitar para dejar únicamente la expresión [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx].

La expresión [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i)[/texx] nos dice cuántos primos hay en un intervalo de tamaño [texx]\displaystyle a_0-3[/texx] a partir de [texx]\displaystyle p_i+1[/texx]. Por otro lado, [texx]\displaystyle \pi(a_0)[/texx] nos dice casi lo mismo. Simplemente el intervalo es de tamaño [texx]\displaystyle a_0[/texx], y parte del valor [texx]\displaystyle 0[/texx]. En todo caso, sabemos que la proporción de primos disminuye a medida que aumenta el valor de los enteros. Por tanto, por regla general, se cumplirá [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i)<\pi(a_0)[/texx]. Así que tenemos que por regla general se cumplirá [texx]\displaystyle \pi(p_i)>[\pi(p_i)+(\pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i))]-\pi(a_0)[/texx]. Como [texx]\displaystyle \pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)=[\pi(p_i)+(\pi(a_0+p_i-3)-\pi(p_i))]-\pi(a_0)[/texx], se cumple finalmente, por regla general, [texx]\displaystyle \pi(p_i)>\pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)[/texx], que es lo que queríamos determinar. Uniendo a esta expresión la obtenida cuando [texx]\displaystyle a_0=1[/texx], nos queda que se cumplirá generalmente [texx]\displaystyle \pi(p_i)\geq\pi(a_0+p_i-3)-\pi(a_0)[/texx].

Tomaremos la expresión [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] como aproximación del número de primos en el intervalo comprendido entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+p_i-3[/texx], pero teniendo en cuenta que esta aproximación en realidad será generalmente mayor que el número real de primos en dicho intervalo. Como veremos, esto nos ayudará a ver que esta demostración no demuestra la conjetura de Goldbach.

Visto esto, podemos continuar con el problema inicial, que era determinar si el número de impares compuestos disponibles para la sucesión era menor que el número de términos de la sucesión, porque si fuera así, demostraríamos la conjetura de Goldbach. El número de términos impares compuestos vendrá dato por el total de impares menos el total de primos. El total de impares era [texx]\displaystyle \frac{p_i-3}{2}+1[/texx], y el total de primos hemos determinado que era aproximadamente de [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx]. Por tanto, el total de impares compuestos será de aproximadamente [texx]\displaystyle \frac{p_i-3}{2}+1-\pi(p_i)[/texx]. El hecho de que [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] indique un total de primos generalmente mayor que el real hace que el número de impares compuestos calculado sea generalmente menor que el real. Como lo que intentamos es ver si no hay suficientes compuestos impares, esto inclina la balanza a favor de esta demostración, añadiendo una cantidad que realmente no existe, lo que invalidaría la demostración si consiguiéramos completarla. Pero veremos que conseguiremos el efecto contrario. Es decir, a pesar de reducir la cantidad de compuestos en el intervalo, veremos que aún así son suficientes para que no se fuerce la presencia de primos en la sucesión.

El total de términos de la sucesión era de [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx]. Por tanto, para que haya menos impares compuestos que términos de la sucesión, debería cumplirse [texx]\displaystyle \frac{p_i-3}{2}+1-\pi(p_i)<\pi(p_i)[/texx]. Ahora podemos hacer un desarrollo asintótico sustituyendo la función [texx]\displaystyle \pi(p_i)[/texx] por [texx]\displaystyle \frac{p_i}{\log{(p_i)}}[/texx]:

[texx]\displaystyle
\frac{p_i-3}{2}+1-\pi(p_i)<\pi(p_i) \implies{} \\
\frac{p_i-3}{2}+1<2\cdot\pi(p_i) \implies{} \\
\frac{p_i-3}{2}+1<2\cdot\frac{p_i}{\log{(p_i)}} \implies{} \\
p_i-3+2<4\cdot\frac{p_i}{\log{(p_i)}} \implies{} \\
p_i-1<4\cdot\frac{p_i}{\log{(p_i)}} \implies{} \\
1-\frac{1}{p_i}<\frac{4}{\log{(p_i)}} \implies{} \\
\log{(p_i)}-\frac{\log{(p_i)}}{p_i}<4[/texx]

Puesto que [texx]\displaystyle \log{(p_i)}<p_i[/texx], tenemos que [texx]\displaystyle \frac{\log{(p_i)}}{p_i}<1[/texx]. Como [texx]\displaystyle \log{(p_i)}[/texx] puede crecer arbitrariamente, restarle un valor menor de [texx]\displaystyle 1[/texx] no va a hacer que se cumpla la última desigualdad cuando [texx]\displaystyle p_i[/texx] es suficientemente grande. Basta que [texx]\displaystyle \log{(p_i)}\geq 5[/texx] para que no se cumpla la anterior desigualdad. Es decir, [texx]\displaystyle p_i\geq e^5\approx 148.413 \implies p_i\geq 149[/texx]. Recordemos que partimos de una aproximación en la que el número de compuestos disponibles para rellenar los términos de la sucesión eran generalmente menores que la cantidad real. Hemos visto que, a pesar de ello, existen suficientes, al menos con primos mayores o iguales a [texx]\displaystyle 149[/texx]. Por tanto, esta demostración no nos dice gran cosa.

Para finalizar, sólo decir que quizá más de uno se haya dado cuenta de que la tabla se puede construir únicamente con los enteros pares de la fila principal, que además de ser los únicos valores que nos interesan, dejan también sólo las columnas que nos interesan en las filas que vamos añadiendo. No lo he hecho así porque me parece que dejando la tabla con todos los valores queda todo más claro. También, este esquema es parecido al que aparece en la Wikipedia inglesa sobre la conjetura de Goldbach. Aunque ya lo había visto antes, en el momento en que se me ocurrió esto no me acordaba de dicho esquema. Quizá mi subconsciente recordando este esquema, junto con las conversaciones entre feriva y Victor Luis, me llevaron a esta idea.

Y esto es todo. Espero no haberme equivocado en nada, y no haber aburrido mucho a la gente :sonrisa: .
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« Respuesta #4 : 03/07/2016, 10:01:30 am »



Y esto es todo. Espero no haberme equivocado en nada, y no haber aburrido mucho a la gente :sonrisa: .


Nada en absoluto, me ha parecido muy interesante así en una primera lectura muy rápida y a vista de pájaro; lo leeré más despacio y pensaré cosas. Muchas gracias.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 03/07/2016, 11:54:58 am »

No sé si esto ayudará a la conjetura,
pero me ha gustado el método de sumar con cintas infinitas. :rodando_los_ojos:

¡¡¡Te lo voy a robar!!!!  :malvado:

(En el fondo esconde una traslación en el plano).
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« Respuesta #6 : 03/07/2016, 03:06:29 pm »



Y esto es todo. Espero no haberme equivocado en nada, y no haber aburrido mucho a la gente :sonrisa: .


Nada en absoluto, me ha parecido muy interesante así en una primera lectura muy rápida y a vista de pájaro; lo leeré más despacio y pensaré cosas. Muchas gracias.

Muchas gracias a tí por leerlo y por tu comentario

¡¡¡Te lo voy a robar!!!!  :malvado:

La primera idea que me roban... me siento tan feliz...   :cara_de_queso:

Gracias a tí también, argentinator, por leerlo y por tu comentario
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« Respuesta #7 : 04/07/2016, 06:40:10 am »

Buenos Días Feriva y SqrMatrix...



• He leido tu exposición, hasta donde pude comprender, lo digo, porque al darse expresiones matemáticas que desconozco, solo leo el criterio del expositor, para tener un enfoque se lo que explica.

◘ Lo que entiendo, es que empleas una tabla con fila de naturales impares primos para tener una conformación de naturales pares con la suma de dos primos.

* Esto es evidente, porque nos lo dice las leyes de la suma, donde un natural par con dos sumandos, solo tiene dos posibles conformaciones:


1°  [texx]PAR + PAR[/texx]

2°  [texx]IMPAR + IMPAR[/texx]

 :sonrisa_amplia:  Me agrada que en tu tabla no esté incluído al Sprimo 2, lo cual ya es un avance que le das a nuestra matemática...

→ Continuando... como todos los primos son y serán naturales impares, ya tenemos asegurado en un 50% que la conjetura se cumple, algo que supongo Goldbach ya lo sabía, siendo la incógnita, la misma que tenemos ahora, me refiero a saber y comprender el cómo es que se da la "Distribución de Números Primos" que no es la que nos dan en las publicaciones y la función con [texx]\pi(x)[/texx] es tan solo un estimativo, no una verdad real, que si lo fuera ya sabríamos cuántos primos se dan hasta [texx]x=10^{48}[/texx] verdad?

◘ Entonces, el problema radica en saber cómo es que los primos se van dando en menor cantidad, a partir de qué punto en la recta numérica y principalmente por qué causa sucede esto, que a muchos de nuestros investigadores de antes, les pareció esto un proceso aleatorio ó de un orden perfecto dentro del caos, definiciones opuestas para hacernos el "cuento del tio"  :cara_de_queso:


* La metodología de Feriva, es la que considero en mi criterio personal, mas clara y adecuada para esta conjetura, donde si [texx]m[/texx] es un natural par, se lo considera como un rango, conformado por dos intervalos: [texx](0,n)[/texx] y [texx](n,m)[/texx] ó como él lo expresa como: [texx](0,n)[/texx] y [texx](n,2n)[/texx] por ejemplo:

(0) {1,2,3,4,5,6,7,8,9} (10) {11,12,13,14,15,16,17,18,19} (20)

Siendo [texx]m=20[/texx] con [texx]n=\displaystyle\frac{m}{2}=10[/texx]

→ Observamos que en ambos intervalos se dán la misma cantidad de términos, donde todo término del primer intervalo tiene un sumando complementario equidistante en sucesión inversa, que sumados conforman a [texx]m[/texx] algo que se cumple siempre y es por esto que Feriva enuncia sus "parasiempres" como lemas ó teoremas, lo cual es cierto, tanto para términos pares, impares, compuestos y primos.

* Como indicas, ya se habrían verificado un monton de naturales pares, intentando encontrar un contraejemplo para decir que la CFG es falsa (CFG=Conjetura Fuerte de Goldbach) que sabemos es cierta asi de inicio en un 50% por las leyes de la suma, donde el porcentaje estimativo podría ser mas; pero nos falta poner la cereza al pastel, a este problema de aparente sencillez, lo cual será con la demostración de la distribución de los números primos.
→ Asi mismo, como indicas en tu exposición y relacionado a la metodología de Feriva, si en [texx](n,2n)[/texx] se dan solo términos compuestos, diremos que CFG es falsa, pero sucede que hasta [texx]n=10^{40}[/texx] aproximadamente, hay muchos primos en el segundo intervalo, siendo a partir de este limite estimativo, que recién se van dando menos los primos, a lo que en los comentarios con Feriva denomino a esto como "Salto" algo que no es regular, ni constante, como supongo uno pensaría, debido a que al empezar a notarse ya la disminución de los primos, en un punto mas allá, esto se detiene, continuando ya un poco menos, en darse los primos en la medida que se ivan dando, que desde ya es irregular antes del limite que indicamos.


☼ En lo personal, te Felicito por tu exposición... es un tema que le apasiona a mi maestro Feriva y es que tiene un montononón de sabiduria, por su amplio enfoque que tiene, que como leiste en el otro hilo... es el primero en casi ya responder a la consulta que hice, sobre que si [texx]p[/texx] es primo, cómo valida e invalida la primalidad de [texx]q[/texx] un natural impar ?




Saludos Cordiales....
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« Respuesta #8 : 04/07/2016, 03:14:38 pm »

Saludos, Victor Luis.

Gracias por leer la exposición y por tu comentario.

• He leido tu exposición, hasta donde pude comprender, lo digo, porque al darse expresiones matemáticas que desconozco, solo leo el criterio del expositor, para tener un enfoque se lo que explica.

Cualquier cosa que no entiendas, pregunta sin problema. El problema será que yo me explique bien :sonrisa: . Bueno, y que puede que tarde un poco en contestarte, en función del tiempo que tenga.

→ Continuando... como todos los primos son y serán naturales impares, ya tenemos asegurado en un 50% que la conjetura se cumple, algo que supongo Goldbach ya lo sabía, siendo la incógnita, la misma que tenemos ahora, me refiero a saber y comprender el cómo es que se da la "Distribución de Números Primos" que no es la que nos dan en las publicaciones y la función con [texx]\pi(x)[/texx] es tan solo un estimativo, no una verdad real, que si lo fuera ya sabríamos cuántos primos se dan hasta [texx]x=10^{48}[/texx] verdad?

Es cierto que [texx]\displaystyle \pi(x)[/texx] no nos da un valor exacto de la cantidad de primos que hay menores o iguales a [texx]\displaystyle x[/texx]. Pero en matemáticas a veces vienen muy bien las aproximaciones de algunas funciones, bien porque no se conozcan los valores exactos y esas aproximaciones sean lo único que tenemos, o bien porque estas aproximaciones simplifican los desarrollos.

* La metodología de Feriva, es la que considero en mi criterio personal, mas clara y adecuada para esta conjetura, donde si [texx]m[/texx] es un natural par, se lo considera como un rango, conformado por dos intervalos: [texx](0,n)[/texx] y [texx](n,m)[/texx] ó como él lo expresa como: [texx](0,n)[/texx] y [texx](n,2n)[/texx] por ejemplo:

Estoy de acuerdo contigo en que la metodología de feriva es muy clara. Precisamente esta metodología es la que me dio la idea de lo que he escrito. Y fue gracias a vuestras conversaciones sobre el tema que me vino la idea.
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« Respuesta #9 : 04/07/2016, 03:46:46 pm »


Hola, Víctor Luis.

la función con [texx]\pi(x)[/texx] es tan solo un estimativo, no una verdad real, que si lo fuera ya sabríamos cuántos primos se dan hasta [texx]x=10^{48}[/texx] verdad?

Tienes que tener en cuenta que sqrmatrix  está suponiendo el caso en el que la cantidad de números tiene a infinito (para intentar una demostración general, que es la única que se admite como tal, no vale una parcial). Y en ese caso la función contadora de primos es todo lo exacta que puede ser una función, porque el infinito en sí mismo no es exacto, por tanto no puede existir, ni existirá nunca, una función exacta en dichas circunstancias.

Saludos cordiales.
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« Respuesta #10 : 05/07/2016, 03:41:30 am »

Buenos Días Feriva y SqrMatrix...



Cita de: SqrMatrix
Cualquier cosa que no entiendas, pregunta sin problema. El problema será que yo me explique bien  :cara_de_queso:

○ Es asi... tu exposición fue muy bien, partiste de lo simple para luego ir a lo complejo y es en esa parte donde pasé a lectura rápida, que con la comprensión de la parte inicial, se entiende lo que explicas.



Cita de: Feriva
Tienes que tener en cuenta que sqrmatrix  está suponiendo el caso en el que la cantidad de números tiene a infinito (para intentar una demostración general, que es la única que se admite como tal, no vale una parcial). Y en ese caso la función contadora de primos es todo lo exacta que puede ser una función, porque el infinito en sí mismo no es exacto, por tanto no puede existir, ni existirá nunca, una función exacta en dichas circunstancias.

○ Comprenderás y supongo por lo que me conoces, ya sabes que no estoy de acuerdo con esto y es un criterio personal, lo reitero a menudo, para no entrar en debates infructuosos, por lo que cada uno con su teorema, si es que vale la expresión.


◘ Respecto a la metodología de SqrMatrix, como ya le había comentado a Feriva, con el Conjunto FV podemos determinar los primos como sumandos potenciales para conformar los distintos tipos de naturales pares.

Veamos la generación de números base en cada Grupo PIG:

PIG[5]={5,17,29,41,53,65,77,89,101,113,125,...}
PIG[7]={7,19,31,43,55,67,79,91,103,115,127,...}
PIG[11]={11,23,35,47,59,71,83,95,107,119,131,...}
PIG[13]={13,25,37,49,61,73,85,97,109,121,133,...}

* Observamos en cada Grupo PIG que cada 5 generaciones, el ultimo digito se repite en orden secuencial, teniendo por lo tanto, las siguientes terminaciones:

PIG[5]={5,7,9,1,3}
PIG[7]={7,9,1,3,5}
PIG[11]={1,3,5,7,9}
PIG[13]={3,5,7,9,1}

→ Ahora, de acuerdo a la metodología de Feriva para un natural par [texx]m=40[/texx] con [texx]n=20[/texx] como centro delimitador, tenemos los intervalos:

(0) {5,7,11,13,17,19} (n) {21,23,27,29,33,35} (m)

* Dándose que en cada intervalo tendremos siempre la misma cantidad de terminos, donde en este caso, los terminos del primer intervalo, son números base generados en modo lineal o en fila india, todos los que se den menores a [texx]n[/texx]
→ El segundo intervalo está conformado por terminos que son la diferencia de [texx]m[/texx] menos los terminos del primer intervalo, dándose los sumandos que conforman al natural par:

(5+35)
(7+33)
(11+29)
(13+27)
(17+23)
(19+21)

* En esto surge algo curioso, que mas que curioso es proporcional, me refiero a los marcados con rojo, es decir, los terminos del primer intervalo que pertenecen al Grupo PIG[7] dándose que el sumando primo 7 tiene como sumando complementario a 33 el cual es compuesto, sabiendo esto, simplemente porque 33 no pertenece al Conjunto FV, ya que [texx]33\equiv{9}(mod \ 12)[/texx] donde [texx]9[/texx] no es un primo PIG de origen.
→ Esto mismo sucede con el sumando 19 que es primo y pertenece al Grupo PIG[7] teniendo como sumando complementario a 21 donde [texx]21\equiv{9} (mod \ 12)[/texx] nos dice que tampoco pertenece al Conjunto FV y como tal, núnca tendrá ni una pizca de primalidad.

* Con esto quiero decir, que para cada tipo de natural par, habrá una combinación específica de sumandos con potencialidad de ser primos de acuerdo a los Grupos PIG que se den en naturales pares terminados en: {0,2,4,6,8} y que cumplan alguna condición como en nuestro ejemplo [texx]40\equiv{4} (mod \ 12)[/texx] siendo que para [texx]m=100[/texx] encontramos el mismo resto modulo 12 que es la constante de generación, dándose que los terminos del primer intervalo que pertenecen al Grupo PIG[7] que aunque fueran primos, no tienen ni tendrán en su sumando complementario del segundo intervalo, a un natural primo.
→ De esta manera, podemos estractar, una colección reducida de Grupos PIG como sumandos específicos para cada tipo de natural par según su digito de unidad en que terminan y que cumpla una cierta condición, que no siempre será la que expongo, con lo cual, tendremos criterios mas específicos, para estimar el cumplimiento de la CFG de una forma un tanto mas generalizada, ya que el Conjunto FV es mas específico para tomar sumandos naturales impares con opción a ser primos, que tomar simples naturales impares y desde estos, deducir si siempre podremos tener a dos sumandos complementarios que sean primos y que conformen cada uno de los tipos de naturales pares.


◘ SqrMatrix ( matrixiado... :cara_de_queso: ) no se si esto puedes aplicarlo a tu metodología, que considero, podría darte mas especificidad en los analisis que hiciste en tu exposición, ya que no contamos con las herramientas adecuadas de primalidad como la función contadora de primos ni el fundamento cabal de la distribución de los números primos y es a esto a donde quería llegar con mis anteriores comentarios, que hay otros modos para poder estimar el cumplimiento o no de la CFG.




Saludos...
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« Respuesta #11 : 05/07/2016, 06:22:51 am »



Buenos días, Víctor Luis.

Cita
Comprenderás y supongo por lo que me conoces, ya sabes que no estoy de acuerdo con esto y es un criterio personal, lo reitero a menudo, para no entrar en debates infructuosos, por lo que cada uno con su teorema, si es que vale la expresión

Pero no es ése el fondo del problema; es decir, vamos a suponer que se pueda encontrar un método muy rápido, algún algoritmo. para hallar la cantidad de primos en un intervalo finito; puedo estar de acuerdo en eso, aunque no sepa si es así o no; no te llevo la contraria.

Pero ese método no serviría para demostrar lo que pasa en el “infinito”, a no ser que fuera una función que estimara, mediante una o varias variables, la cantidad de primos respecto de una cantidad indefinida de números muy grande; y, claro, si es indefinida (que es la cuestión principal de lo que apuntaba en el otro comentario) la cantidad de números (naturales, compuestos y primos) no sería lo que acabo de describir, sería una función como la que ya existe, no una función para contar primos en un intervalo finito.

Como las cosas hay que demostrarlas de manera que se asegure que van a pasar siempre, se tome la cantidad de números que se tome, pues el tipo de función ideal para demostrar eso es la que ya existe u otras parecidas, no métodos o algoritmos.

Ten en cuenta que aquí la perspectiva es diferente a la que se tiene, por ejemplo, respecto del tema de la factorización, donde se compite con números grandes pero finitos; ahí sí valen el tipo de métodos que tú dices.

Por cierto, ayer, trabajado con RSA-230, observé una cosa que pasa con los primos la cual no se observa tomando números pequeños; lo cual dará lugar pronto a que invente algo ya inventado, como de costumbre; algo que, por supuesto, si fuera así, compartiré.

Un cordial saludo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #12 : 05/07/2016, 11:38:04 pm »

Buenas Feriva...



• Comprendo lo que me dices, y como en muchas ocasiones... Tienes toda la razón, pero no me fui directamente contra la función contadora de primos [texx]\pi(x)[/texx] sino a la aparente limitación que se diera respecto a una función que no cumple como tal, es decir de no determinar algo preciso, como estimo debe ser una función, donde digo aparente limitación, porque pareciera que la guerra lo han ganado los "naturales primos" lo que no es así, tan solo algunas batallas, por el diferente enfoque de los comandantes y digo diferente, porque es asi, ya que en el Conjunto [texx]\mathbb{N}[/texx] los primos debelan poca información, surgiendo muchas conjeturas, como que la tierra es plana y está sostenida por cuatro elefantes blancos, mientras que en el otro enfoque, es todo lo contrario, todos los primos tienen igualdad en su estructura, diferenciándose tan solo en las funciones que estimo deben tener ó según la clasificación que tengan, algo que aún no se a explorado, tan solo algo como los primos de Mersenne, que son los mas estables, estructuralmente hablando y como podría decir el alcalde Percy Fernandez... primos, primos, primos.... aluciendo a cuando dijo a los reporteros... dengue, dengue, dengue... y es que hablamos de los mismos naturales primos con diferentes enfoques, por lo tanto, estimo un día, que desde el enfoque estructural, surginrá una función contadora de primos [texx]\pi(k)[/texx] que sea lo suficientemente precisa para completar demostraciones que validen e invaliden conjeturas como las de este hilo.


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Saludos...
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