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Autor Tema: Aplicación del teorema de Stone - Weierstrass  (Leído 2407 veces)
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llanten
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« : 27 Junio, 2016, 14:17 »

Hola amigos quisiera por favor pedirles me den una idea sobre como realizar el siguiente ejercicio utilizando el teorema de Stone - Weierstrass. Gracias.

Demostrar que [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f^2(x)dx=0[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28 Junio, 2016, 05:13 »

Hola

Hola amigos quisiera por favor pedirles me den una idea sobre como realizar el siguiente ejercicio utilizando el teorema de Stone - Weierstrass. Gracias.

Demostrar que [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f^2(x)dx=0[/texx]

¿A qué estás llamando [texx]f^2(x)[/texx]?.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 28 Junio, 2016, 08:07 »

En realidad el ejercicio es el siguiente:

Si[texx] f[/texx] es continua en [texx][0,1][/texx] y si [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0 [/texx], [texx]n=0,1,2,...[/texx], entonces [texx]f(x)=0[/texx], en [texx][0,1][/texx].

La sugerencia que dan, es que la integral del producto de [texx]f[/texx], por cualquier polinomio es cero y finalmente se debe utilizar el teorema de Stone - Weierstrass para demostrar lo que habia escrito inicialmente en el foro.
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« Respuesta #3 : 28 Junio, 2016, 08:29 »

Hola

En realidad el ejercicio es el siguiente:

Si[texx] f[/texx] es continua en [texx][0,1][/texx] y si [texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0 [/texx], [texx]n=0,1,2,...[/texx], entonces [texx]f(x)=0[/texx], en [texx][0,1][/texx].

¡Hombre habías omitido información esencial!  :cara_de_queso:

Cita
La sugerencia que dan, es que la integral del producto de [texx]f[/texx], por cualquier polinomio es cero y finalmente se debe utilizar el teorema de Stone - Weierstrass para demostrar lo que habia escrito inicialmente en el foro.

Por el teorema de Stone-Weiestrass para cualquier [texx]n[/texx] natural existe un polinomio [texx]p_n(x)[/texx] tal que:

[texx]\|p_n(x)-f(x)\|_\infty\leq \dfrac{1}{n}[/texx] en [texx][0,1][/texx]

Entonces:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)f(x)dx=\color{blue}\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)p_n(x)dx\color{black}+\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)(f(x)-p_n(x))dx[/texx]

Por hipótesis la primera integral es cero. Acotamos la segunda:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)(f(x)-p_n(x))dx\leq \displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)||f(x)-p_n(x)|dx\leq \dfrac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)|dx[/texx]

Es decir para cualquier [texx]n [/texx]natural has probado que:

[texx]0\leq \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx\leq \dfrac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)|dx[/texx]

Concluye...

Saludos.
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« Respuesta #4 : 28 Junio, 2016, 09:02 »

Gracias amigo el_manco.
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« Respuesta #5 : 28 Junio, 2016, 09:52 »

La conclusión se obtendría entonces  al utilizar el teorema del emparedado en esta última desigualdades que planteas?
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« Respuesta #6 : 29 Junio, 2016, 04:34 »

Hola

La conclusión se obtendría entonces  al utilizar el teorema del emparedado en esta última desigualdades que planteas?

Si; dado que la desigualdad es cierta para todo [texx]n[/texx] aplicando límites:

[texx]0\leq \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^{1}|f(x)|dx=0[/texx]

Por tanto:

[texx]\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)^2dx=0[/texx]

Te queda el pequeño paso de, de ahí, deducir que [texx]f[/texx] es constantemente igual a cero (usando que es continua).

Saludos.
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« Respuesta #7 : 29 Junio, 2016, 14:10 »

Gracias amigo el_manco.
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