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Autor Tema: Problema de Triángulo Isósceles Esférico  (Leído 6334 veces)
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« : 24/06/2016, 03:25:49 am »

Pido vuestra ayuda para resolver un problema que me trae de cabeza desde hace algún tiempo.

En un plano hay un segmento de longitud L y sobre él dibujamos un triángulo isósceles de altura h. El vértice superior tiene un ángulo â.
Conociendo â y L calcular h.
Según la trigonometría del plano se verifica que [texx]tan(\alpha ) = \frac{L}{2h}[/texx].
De donde deduzco, si no me he equivocado, que [texx]2h*tan(\alpha) = L \\ \Rightarrow 2h = \frac{L}{tan(\alpha)} \\ \Rightarrow h = \frac{L}{2*tan(\alpha)}[/texx]
Hasta ahí llego yo.
El problema es cuando trabajamos en una superficie esférica, por ejemplo, la Tierra. En tal caso habrá que conocer el radio de la Tierra, pero como sería una solución particular prefiero un planteamiento más generalista:

En la superficie de una esfera de radio R hay un segmento de arco de longitud L y sobre él dibujamos un triángulo isósceles de altura h. El vértice superior tiene un ángulo â.
Conociendo R, L y â, calcular h.
Lo que sí he podido deducir es que en este problema habrá dos soluciones (en realidad infinitas) pero sólo me interesa la primera. La segunda sería PI·R-h y las siguientes PI·R+h, 2·PI·R-h y, continuando con N·PI·R±h, siendo N la sucesión de números naturales (1,2,3,4,...) pero ya digo, sólo me interesa la primera solución.
¿Podéis echarme una mano?

PD: He intentado subir las imágenes, tal como recomendáis, pero después de subirlas no consigo visualizarlas para ver la URL. Cada vez que pulso en las imágenes me las descarga. Así que las he publicado en mi dominio.

* MasLibertadTriangulo.png (4.65 KB - descargado 292 veces.)
* MasLibertadTrianguloEsferico.png (12.18 KB - descargado 420 veces.)
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« Respuesta #1 : 11/07/2016, 04:41:40 am »

Hola a todos.
Ya hace algo más de dos semanas que os pedí ayuda en el problema anterior pero hasta ahora no ha habido ninguna respuesta.
¿Es porque el problema está mal planteado?
¿Falta alguna información adicional?

He intentado resolverlo por mi cuenta leyendo varios artículos que he encontrado sobre Trigonometría Esférica, y he encontrado fórmulas bastante complejas que permiten calcular la superficie de triángulos esféricos. Mi problema es, creo yo, más simple, pero no he encontrado ninguna fórmula que esté a mi alcance y que permita desarrollarla para calcular la altura del triángulo, conociendo la longitud de la base, el ángulo opuesto a la base y el radio de la esfera.

He pensado que tal vez sería más fácil trabajando con ángulos, por ejemplo:
Entre dos ciudades situadas en el ecuador hay una diferencia de 20º de Longitud.
Justo a la mitad trazamos un Meridiano que va desde el Ecuador hasta el Polo.
Desde el paralelo 30 de ese meridiano trazamos las dos ortodromas (circunferencias máximas) que pasen por ese punto y las dos ciudades.
¿Qué ángulo formarán las ortodromas en el cruce?
En este caso, si no me equivoco, no haría falta conocer el Radio de la Tierra, por lo cual se podría aplicar a cualquier superficie esférica de un tamaño arbitrario.

Haciendo el problema más genérico:
En una esfera marcamos dos puntos arbitrarios. (Para visualizar bien el ejemplo coged una naranja y pintad dos puntos relativamente cercanos)
Trazamos la ortodroma que pase por los dos puntos y la llamamos Ecuador.
A mitad de la distancia trazamos el Meridiano, perpendicular al ecuador.
Si estamos en el meridiano, justo en el ecuador, los dos puntos se encuentran a 180º el uno del otro.
Conforme subimos por el meridiano, el ángulo se va reduciendo, hasta llegar justo al polo. A partir de ahí el ángulo volverá a aumentar hasta llegar de nuevo al Ecuador, en las antípodas del punto de partida, y allí volverá a ser de 180º.
Pues bien: Si conozco la distancia angular entre los dos puntos iniciales y conozco el ángulo con el que se cruzan las dos ortodromas, ¿cómo puedo calcular el paralelo en el que estoy?

Cómo aquí no estamos tratando con distancias lineales, sino angulares, no hace falta conocer el radio de la esfera. La misma solución valdría para una naranja y para la Tierra.

¿Es más fácil este planteamiento?
A mí me parece más difícil, pero quizás sea porque no sé lo suficiente.

Si aún así no podéis ayudarme, por favor, a ver si podéis recomendarme un libro sencillito de Trigonometría Esférica para Torpes.

Gracias por todo, y sigo esperando vuestra ayuda
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« Respuesta #2 : 27/10/2016, 03:51:27 pm »

Hola de nuevo

Para intentar resolver este problema parece que no me queda otra que empaparme de Trigonometría Esférica, y para ello estoy leyendo, e intentando entender, varios artículos de Wikipedia y libros bastante sesudos.

Hasta ahora he conseguido algunas nociones básicas, lo bastante para hacer una pequeña calculadora de Distancias Geográficas: http://www.maslibertad.com/Calcular-Distancias-Geograficas_p1156.html
Los resultados conseguidos difieren ligeramente de lo que dice GoogleMaps, pero supongo que es debido a la precisión de los decimales. Si os apetece probarlo y comprobar si las operaciones son correctas, agradeceré cualquier corrección, pero de momento me parece que está bien.

En uno de estos libros, bastante bueno para lo poquito que sé, me he encontrado una fórmula bastante interesante.
El libro en cuestión es Fundamentos de Trigonometría Esférica de la Uni Politec Madrid.
En la página 33 dice
En todo Triángulo Isósceles se verifican las relaciones: [texx]sen(\displaystyle\frac{a}{2}) = sen(b) · sen(\displaystyle\frac{A}{2})[/texx]
El libro es de Trigonometría Esférica, pero la frase dice En todo Triangulo Isósceles, no dice En todo Triangulo Isósceles Esférico, por lo que me entra la duda existencial:

¿Esta fórmula se aplica a triángulos isósceles planos o a triángulos isósceles esféricos?

Por favor, a ver si podéis aclarármelo.
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« Respuesta #3 : 28/10/2016, 04:43:33 am »

Hola

El libro es de Trigonometría Esférica, pero la frase dice En todo Triangulo Isósceles, no dice En todo Triangulo Isósceles Esférico, por lo que me entra la duda existencial:

¿Esta fórmula se aplica a triángulos isósceles planos o a triángulos isósceles esféricos

Esféricos.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 28/10/2016, 03:18:42 pm »

Hola

El libro es de Trigonometría Esférica, pero la frase dice En todo Triangulo Isósceles, no dice En todo Triangulo Isósceles Esférico, por lo que me entra la duda existencial:

¿Esta fórmula se aplica a triángulos isósceles planos o a triángulos isósceles esféricos

Esféricos.

Saludos.

Gracias, el_manco.
Ahora sólo me queda una sola cosa: Despejar A.
Espero que no me resulte demasiado difícil.

Saludos.
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« Respuesta #5 : 31/10/2016, 08:32:29 am »

Hola

Ahora sólo me queda una sola cosa: Despejar A.
Espero que no me resulte demasiado difícil.

No, no debería de resultarte difícil.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 01/11/2016, 09:51:37 am »

De momento me está costando

Primero de todo, desde el último mensaje, donde indicaba que sólo me quedaba despejar A, en ese momento estaba programando una calculadora JavaScript para resolver la parte plana de este problema.

Ya está programada y publicada en http://www.maslibertad.com/Calculadora-de-Paralaje-Galactico_p1163.html.
Si la visitáis comprobaréis que funciona correctamente, aunque la fórmula para calcular la Distancia es distinta que la que puse en el primer mensaje de este hilo, pero supongo que ambas fórmulas deben ser equivalentes.
Cambiando [texx]\alpha[/texx] por A, h por D y L por T:
[texx]\\ 2D = \frac{T}{tan(A)} \\D=\frac{T/2}{\tan\frac{A}{2}}[/texx]
No me preguntéis, supongo que ambas fórmulas son equivalentes pero cada una de ellas la he sacado desarrollando dos fórmulas distintas.
Por lo demás, a partir de la fórmula que el_manco me ha confirmado que es de trig.esf. he dado los siguientes pasos.
[texx]\sin \left ( \frac{a}{2} \right ) = \sin (b) * \sin \left (\frac{A}{2} \right )
\\ \Rightarrow \sin \left (\frac{A}{2} \right ) = \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)}
[/texx]
Ahora tendría que sacar [texx]\frac{A}{2}[/texx] de la función Seno(), pero ¿cómo se saca?

Acudiendo a la Wikipedia, la función inversa de Seno es el Arcoseno, de donde deduzco que
[texx]\frac{A}{2} = \arcsin \left ( \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)} \right )
\\ A = 2 * \arcsin \left ( \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)} \right )[/texx]

Espero no haberme equivocado.
Ahora tengo que traducir la fórmula a JavaScript e insertarla en la calculadora que estoy haciendo.
Deseadme suerte.
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« Respuesta #7 : 01/11/2016, 10:11:04 am »

Hola

De momento me está costando

Primero de todo, desde el último mensaje, donde indicaba que sólo me quedaba despejar A, en ese momento estaba programando una calculadora JavaScript para resolver la parte plana de este problema.

Ya está programada y publicada en http://www.maslibertad.com/Calculadora-de-Paralaje-Galactico_p1163.html.
Si la visitáis comprobaréis que funciona correctamente, aunque la fórmula para calcular la Distancia es distinta que la que puse en el primer mensaje de este hilo, pero supongo que ambas fórmulas deben ser equivalentes.
Cambiando [texx]\alpha[/texx] por A, h por D y L por T:
[texx]\\ 2D = \frac{T}{tan(A)} \\D=\frac{T/2}{\tan\frac{A}{2}}[/texx]

No. Esas dos fórmulas NO son equivalentes. La que está bien es la segunda, entendiendo que [texx]A[/texx] es el ángulo distinto del triángulo isósceles.

Cita
No me preguntéis, supongo que ambas fórmulas son equivalentes pero cada una de ellas la he sacado desarrollando dos fórmulas distintas.
Por lo demás, a partir de la fórmula que el_manco me ha confirmado que es de trig.esf. he dado los siguientes pasos.
[texx]\sin \left ( \frac{a}{2} \right ) = \sin (b) * \sin \left (\frac{A}{2} \right )
\\ \Rightarrow \sin \left (\frac{A}{2} \right ) = \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)}
[/texx]
Ahora tendría que sacar [texx]\frac{A}{2}[/texx] de la función Seno(), pero ¿cómo se saca?

Acudiendo a la Wikipedia, la función inversa de Seno es el Arcoseno, de donde deduzco que
[texx]\frac{A}{2} = \arcsin \left ( \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)} \right )
\\ A = 2 * \arcsin \left ( \frac{\sin \left ( \frac{a}{2} \right )}{\sin (b)} \right )[/texx]

Espero no haberme equivocado.

Bien.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 01/11/2016, 01:59:39 pm »

¡Por fin!
Terminado, programado y publicado.
En principio parece que está funcionando correctamente, lo he probado con un par de cantidades de las que sabía el resultado (los calculé hace un par de meses por lógica y geometría, sin usar trigonometría).

Si queréis probarlo está en Calculadora de Paralaje Esferico

Y si pudierais confirmarme que funciona correctamente, ya sería la leche, porque sinceramente yo sólo puedo comprobarlo observando cómo evoluciona el ángulo desde corta distancia hasta el ecuador. La diferencia entre el Ángulo Plano y el Ángulo Esférico es cada vez mayor. Pero al pasar del Ecuador, el ángulo plano sigue disminuyendo pero el ángulo esférico empieza a aumentar. Y al llegar a la distancia de PI·R el ángulo esférico es 180º.

Así es como yo esperaba que funcionara, así que confío que el resultado también será correcto para distancias distintas a PI·R y a PI·R/2.

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« Respuesta #9 : 04/11/2016, 10:17:24 am »

Como última aportación a este problema ya resuelto, acabo de publicar en mi página una nueva
Calculadora de Observaciones Galácticas
que a partir del Corrimiento al Rojo y del Tamaño Angular de una Galaxia permite calcular la Distancia a la que se encuentra y su tamaño real.

Mejor dicho, sus posibles tamaños reales, dependiendo de si el Universo es Curvo o es Plano, haciendo a su vez una comparación de sus tamaños y luminosidad en ambos casos.

Gracias, el_manco, y un saludo.
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