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Autor Tema: Aplicación de la función implícita  (Leído 1355 veces)
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juanc
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« : 23/06/2016, 11:46:27 pm »

Hola quiero terminar con la siguiente demostración:
   Sea    [texx]f:U\to \mathbb{ R} [/texx]continua en el abierto [texx]U\subseteq { \mathbb{R}}^{2}[/texx] tal que [texx]\left({x}^{2}+{y}^{4}\right)f\left(x,y\right)+f{\left(x,y\right)}^{3}=1[/texx] para cualquier [texx]\left(x,y\right)\in U[/texx].Pruebe que f[texx]\in {C}^{\infty }[/texx]
Definamos
      [texx] \phi :Ux\mathbb{R}\to \mathbb{R} [/texx]
      [texx]\phi \left(x,y,z\right)=\left({x}^{2}+{y}^{4}\right)z+{z}^{3}-1[/texx]
      [texx]\phi [/texx]  asi definida es de clase [texx]{C}^{k},k\ge 1[/texx]
      Sea [texx]\left({x}_{0},{y}_{0},z_0\right)\in Ux\mathbb{R}[/texx] tal que  [texx]f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}[/texx]
      por hipotesis tenemos: [texx]\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)f\left(x_0,y_0\right)+f{\left(x_0,y_0\right)}^{3}=1[/texx]...(1)
entonces se tiene
         [texx]\phi \left(x_0,y_0,z_0\right)=\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)z_0+{z_0}^{3}-1=\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)+{f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)}^{3}-1=0[/texx]
      [texx]\phi \left(x_0,y_0,z_0\right)=0[/texx]
      Además  [texx] f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}\ne 0[/texx] ya que si fuera [texx]f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}= 0 [/texx]  en (1) tendríamos que [texx] 0=1\longrightarrow\longleftarrow [/texx]esto nos garantiza
      [texx]\frac{\partial \phi \left({x}_{0},y_0,{z}_{0}\right)}{\partial z}={x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{4}+3{z}_{0}^{2}\ne 0[/texx]
       tenemos todas las condiciones para aplicar el teorema de la función implícita
       [texx]\Rightarrow[/texx] [texx]\exists B={B}_{\delta_1} \left({x}_{0},{y}_{0}\right)\subset U[/texx]  y  [texx]J=\left({z}_{0}-\epsilon ,{z}_{0}+\epsilon \right)\subset \mathbb{ R}[/texx] tal que [texx]{\phi }^{-1}\left(0\right)\cap BxJ[/texx] es el gráfico [texx]\xi :B\to J[/texx] de clase [texx]{C}^{k}[/texx]
       [texx]\forall \left(x,y\right)\in B[/texx]  existe un único  [texx]z=\xi \left(x,y\right)[/texx] tal que [texx] \phi \left(x,y,z\right)=\phi \left(x,y,\xi \left(x,y\right)\right)=0[/texx]
       Como  [texx]f[/texx]  es continua tenemos[texx] \Rightarrow \exists {\delta_2 }>0 [/texx] tal que  [texx]f({B}_{\delta_2}(x_0,y_0)\cap U)\subset {B}_{\epsilon}(f(x_0,y_0))=J [/texx]

de aquí como puedo concluir que  [texx]\xi=f[/texx]
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 24/06/2016, 12:21:35 pm »

Hola

Hola quiero terminar con la siguiente demostración:
   Sea    [texx]f:U\to \mathbb{ R} [/texx]continua en el abierto [texx]U\subseteq { \mathbb{R}}^{2}[/texx] tal que [texx]\left({x}^{2}+{y}^{4}\right)f\left(x,y\right)+f{\left(x,y\right)}^{3}=1[/texx] para cualquier [texx]\left(x,y\right)\in U[/texx].Pruebe que f[texx]\in {C}^{\infty }[/texx]
Definamos
      [texx] \phi :Ux\mathbb{R}\to \mathbb{R} [/texx]
      [texx]\phi \left(x,y,z\right)=\left({x}^{2}+{y}^{4}\right)z+{z}^{3}-1[/texx]
      [texx]\phi [/texx]  asi definida es de clase [texx]{C}^{k},k\ge 1[/texx]
      Sea [texx]\left({x}_{0},{y}_{0},z_0\right)\in Ux\mathbb{R}[/texx] tal que  [texx]f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}[/texx]
      por hipotesis tenemos: [texx]\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)f\left(x_0,y_0\right)+f{\left(x_0,y_0\right)}^{3}=1[/texx]...(1)
entonces se tiene
         [texx]\phi \left(x_0,y_0,z_0\right)=\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)z_0+{z_0}^{3}-1=\left({x_0}^{2}+{y_0}^{4}\right)f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)+{f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)}^{3}-1=0[/texx]
      [texx]\phi \left(x_0,y_0,z_0\right)=0[/texx]
      Además  [texx] f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}\ne 0[/texx] ya que si fuera [texx]f\left({x}_{0},{y}_{0}\right)={z}_{0}= 0 [/texx]  en (1) tendríamos que [texx] 0=1\longrightarrow\longleftarrow [/texx]esto nos garantiza
      [texx]\frac{\partial \phi \left({x}_{0},y_0,{z}_{0}\right)}{\partial z}={x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{4}+3{z}_{0}^{2}\ne 0[/texx]
       tenemos todas las condiciones para aplicar el teorema de la función implícita
       [texx]\Rightarrow[/texx] [texx]\exists B={B}_{\delta_1} \left({x}_{0},{y}_{0}\right)\subset U[/texx]  y  [texx]J=\left({z}_{0}-\epsilon ,{z}_{0}+\epsilon \right)\subset \mathbb{ R}[/texx] tal que [texx]{\phi }^{-1}\left(0\right)\cap BxJ[/texx] es el gráfico [texx]\xi :B\to J[/texx] de clase [texx]{C}^{k}[/texx]
       [texx]\forall \left(x,y\right)\in B[/texx]  existe un único  [texx]z=\xi \left(x,y\right)[/texx] tal que [texx] \phi \left(x,y,z\right)=\phi \left(x,y,\xi \left(x,y\right)\right)=0[/texx]
       Como  [texx]f[/texx]  es continua tenemos[texx] \Rightarrow \exists {\delta_2 }>0 [/texx] tal que  [texx]f({B}_{\delta_2}(x_0,y_0)\cap U)\subset {B}_{\epsilon}(f(x_0,y_0))=J [/texx]

de aquí como puedo concluir que  [texx]\xi=f[/texx]

Por la unicidad que indico en rojo. Nota que por hipótesis [texx]\phi(x,y,f(x,z))=0[/texx].

Saludos.

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« Respuesta #2 : 24/06/2016, 10:04:46 pm »

Hola gracia por tu ayuda pero para ello tendría que garantizar que [texx]f(B)\subset{J}[/texx] o no es necesario?.
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« Respuesta #3 : 27/06/2016, 04:58:23 am »

Hola

Hola gracia por tu ayuda pero para ello tendría que garantizar que [texx]f(B)\subset{J}[/texx] o no es necesario?.

No es necesario.

Saludos.
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