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Autor Tema: Cálculo de la integral indefinida  (Leído 3368 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
euguiba
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« : 18/06/2016, 07:41:40 pm »

Hola, en un ejercicio tengo que calcular
[texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\int_{a}^{x}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} dt[/texx]
y no he podido lograrlo.

De tantas formas que he intentado, creo que no tiene expresión elemental, se me ocurre ahora comparar [texx]\displaystyle\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}[/texx] con alguna más grande tal que su integral converja.

Cualquier sugerencia será bienvenida!
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casiorincon
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« Respuesta #1 : 19/06/2016, 12:40:40 am »

¿ya probaste cambio de variable e integración por partes?
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 19/06/2016, 07:35:42 pm »

Como dices no es expresable con métodos elementales.


Toma [texx] \dfrac{1}{2} \cdot u^2 = t [/texx] e intenta seguir.

Verás que es convergente para todo [texx] a \geq 0 [/texx].


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euguiba
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« Respuesta #3 : 20/06/2016, 09:15:49 pm »

Gracias por sus respuestas, voy a intentar con éste cambio y les cuento, ahora no estoy en mi casa, cuando esté lo hago.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #4 : 21/06/2016, 01:51:09 am »

Se puede dar una solución cerrada en términos de la función error complementaria: [texx]\text{erfc}(x) :=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{+\infty} e^{-t^2}\; dt.[/texx] Tenemos:

          [texx]\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\int_{a}^{x}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\; dt=\displaystyle\int_{a}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\; dt\underbrace{=}_{t=x^2}2\displaystyle\int_{\sqrt{a}}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\;\text{erfc}\left(\sqrt{a}\right). [/texx]
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euguiba
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« Respuesta #5 : 24/06/2016, 07:24:06 pm »

Con la función error no hemos trabajado, seguramente más adelante lo haremos.
Probé con el cambio sugerido, llegando a la integral de
[texx]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}}\displaystyle\int_{\sqrt{2a}}^{\sqrt{2x}}[/texx]   [texx]\frac{1}{e}^\frac{u^2}{2}du[/texx]

luego como se tiene que [texx](\frac{1}{e})^\frac{u^2}{2}<(\frac{1}{e})^u[/texx]
 para todo u >0
 y la integral [texx]\displaystyle\int_{\sqrt{2a}}^{\sqrt{2x}}(1/e)^u du[/texx]
es convergente  entonces la que yo quería es convergente.

Así que si hice más o menos las cosas prolijas, quedó terminado. Muchas gracias!
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