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Autor Tema: Ejercicios: Dirichlet inversas.  (Leído 975 veces)
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hjohn
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« : 06/06/2016, 08:43:24 pm »

Hola amigos,

No he podido con este punto, esto que sigue acontinuación ya lo probe,

Para [texx]f,\, h\in \mathbb{M}[/texx](Funciones multiplicativas). Si [texx]\displaystyle g(n)=\sum_{d|n} f(d)h(d)[/texx], entonces [texx]g\in\mathbb{M}[/texx]. En particular, si [texx]\displaystyle g(n)=\sum_{d|n}f(d)\mu (d)[/texx] se tiene que para [texx]n>1[/texx], [texx]\displaystyle n=\prod_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}[/texx], con [texx]p_i \in \mathbb{P}[/texx] se cumple que
\[
g(n)=\prod_{i=1}^m \left( 1-f(p_i )\right)
\]

El ejercicio me pide ahora que use este resultado para probar que
\[
\varphi^{-1}(n)=\prod_{p|n \ p\in\mathbb{P}}(1-p)
\]
[texx]\varphi[/texx] es la función indicatriz de Euler. (El numero de naturales menores que el evaluando, que son primos relativos con el, i.e, el numero de elementos del n grupo multiplicativo de Euler, donde n es el evaluando)

Pues lo obvio seria probar que [texx]\varphi^{-1}(n)=\sum_{d|n}I_\mathbb{N}(d)\mu (d)[/texx]. No he dado con los intentos que he hecho. Una idea! alguna guía! por favor! urgente gracias!
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Esta es mi humilde opinión, revisa porque quizás me equivoque.
Gustavo
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« Respuesta #1 : 07/06/2016, 01:53:46 am »

Hola,

Pues lo obvio seria probar que [texx]\varphi^{-1}(n)=\sum_{d|n}I_\mathbb{N}(d)\mu (d)[/texx].

Pruébalo para potencias de primos. Llama [texx]\gamma(n)=\sum_{d|n}d\mu (d)[/texx] y nota que [texx]\gamma(p^m)=1-p[/texx] para [texx]m>1[/texx]. Entonces

[texx]\displaystyle (\varphi \ast \gamma)(p^m)=\sum_{d\mid p^m} \varphi(d)\gamma(p^m/d)=\cdots =0[/texx] para [texx]m>1[/texx], y evaluado en 1 es 1.

Eso prueba que [texx]\varphi^{-1}=\gamma[/texx].
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