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Autor Tema: Una condición de primalidad, y de primalidad gemela  (Leído 1411 veces)
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jbyepez
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« : 31/05/2016, 06:16:02 pm »

Hola gente de este buen foro, ya llevaba un tiempo sin aparecer por acá, me había desentendido de la matemática.

Me he topado con una condición sobre primos que no sé si ya ha sido planteada, probablemente sí ya que no fue muy difícil hallarla, es la siguiente:

Sea [texx]p[/texx] un primo cualquiera mayor que [texx]5[/texx] y [texx]p\#[/texx] su primorial, si existe [texx]q[/texx] coprimo con [texx]p\#[/texx] ([texx]q[/texx] puede ser igual a [texx]1[/texx]) tal que [texx]p<\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^xq<p^2[/texx] con [texx]x[/texx] un entero cualquiera mayor que cero, entonces [texx]\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^xq[/texx] es un número primo. Además, cualquier primo mayor que [texx]7[/texx] debe cumplir esta condición para algún [texx]p[/texx].

Si además existe [texx]r[/texx] coprimo con [texx]p\#[/texx] tal que [texx]\left |{2^{x-1}q-r}\right |=1[/texx] entonces [texx]\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^xq[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{p\#}{2}-2r[/texx] son primos gemelos.

En general se basa en el hecho de que [texx]\displaystyle\frac{p\#}{2}[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] y por tanto al sumarle [texx]2n[/texx] seguirá sin serlo, y que si [texx]m[/texx] es coprimo de [texx]n[/texx], entonces [texx]m+n[/texx] también lo es. Además, en una lista de números coprimos con todos los primos menores o iguales que [texx]p[/texx], aquellos entre [texx]p[/texx] y [texx]p^2[/texx] serán de hecho primos.
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Gaussito
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« Respuesta #1 : 31/05/2016, 07:03:02 pm »

Interesante planteamiento, creo que se podría generalizar así:

[texx]p_n<\displaystyle\frac{p_n\#}{p_i}-{p_i}^xq<{p_n}^2[/texx], con [texx]i\leq{n}[/texx]

Donde [texx]\displaystyle\frac{p\#}{n}-n^xq[/texx] siempre es primo.

Puesto que en general, cualquier número entre [texx]p[/texx] y [texx]p^2[/texx] de la forma [texx]p\#-q[/texx], con q coprimo de p, será necesariamente un número primo.

El segundo planteamiento con los primos gemelos, lo estoy pensando, para ver si lo generalizamos y demostramos que los primos gemelos son infinitos, jejejejejeje.

Saludos.
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jbyepez
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« Respuesta #2 : 31/05/2016, 08:37:42 pm »

[texx]p_n<\displaystyle\frac{p_n\#}{p_i}-{p_i}^xq<{p_n}^2[/texx], con [texx]i\leq{n}[/texx]

Donde [texx]\displaystyle\frac{p\#}{n}-n^xq[/texx] siempre es primo.

Sí, es cierto  :sonrisa:

Aunque para un [texx]n[/texx] distinto de [texx]2[/texx] la expresión no genera todos los coprimos de [texx]p\#[/texx] porque se salta algunos, por lo que no se cumpliría que todo primo mayor a siete cumpla la condición para algún [texx]p[/texx].

En fin, dejo este planteamiento como complemento:
Si [texx]q[/texx] es coprimo de [texx]p\#[/texx], entonces [texx]c*p\#\pm{q}[/texx] y [texx]c*p\#+\displaystyle\frac{p\#}{n}\pm{n^xq}[/texx] también lo serán (con [texx]c[/texx] un entero cualquiera).

En cuanto a la parte de los gemelos, sale de la siguiente simplificación:

[texx]\left |{(\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^xq)-(\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^yr)}\right |=2[/texx]

[texx]\left |{2^yr-2^xq}\right |=2[/texx]

[texx]\left |{2^{y-1}r-2^{x-1}q}\right |=1[/texx]

[texx]\left |{r-2^{x-1}q}\right |=1[/texx]    Para que el resultado sea [texx]1[/texx], necesariamente uno de los dos términos es par y el otro impar, asumo [texx]r[/texx] como el impar.
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jbyepez
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« Respuesta #3 : 31/05/2016, 11:32:01 pm »

Bueno, esto está interesante.

Tenemos:

[texx]p<\displaystyle\frac{p\#}{2}-2^xq<p^2[/texx]

[texx]p+2^xq<\displaystyle\frac{p\#}{2}<p^2+2^xq[/texx]
Independientemente del [texx]p[/texx], si se elige convenientemente a [texx]x[/texx] y a [texx]q[/texx], es posible forzar la condición.

Si se puede demostrar que es posible elegir un [texx]x[/texx] y un [texx]q[/texx] tal que [texx]2^{x-1}q\pm{1}[/texx] es coprimo con [texx]p\#[/texx], entonces la infinitud de los primos gemelos está demostrada  :sonrisa_amplia:
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #4 : 01/06/2016, 05:58:53 am »

Hola

 Pero, aunque está bien tus observaciones, no veo que sea nada demasiado distinto al problema directo.

 En general un número entre [texx]p[/texx] y [texx]p^2[/texx] si NO es primo necesiariamente tiene un divisor menor o igual que [texx]p[/texx].

 Equivalentemente un número entre [texx]p[/texx] y [texx]p^2[/texx] es primo si y sólo si es coprimo con el primoral [texx]p\#[/texx] (y esa coprimalidad en realidad es una típica comprobación de primalidad).

 Entonces no veo que se adelante mucho estudiando esto:

Si se puede demostrar que es posible elegir un [texx]x[/texx] y un [texx]q[/texx] tal que [texx]2^{x-1}q\pm{1}[/texx] es coprimo con [texx]p\#[/texx], entonces la infinitud de los primos gemelos está demostrada  :sonrisa_amplia:

 en lugar de estudiando directamente la existencia dos coprimos con [texx]p\#[/texx] a distancia dos unidades.

Saludos.
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Gaussito
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« Respuesta #5 : 01/06/2016, 09:17:53 am »

Como siempre, El_manco acabando con las pequeñas ilusiones del resto de los mortales, jejejejejejeje.

Una pregunta con respecto a los primos gemelos. He leído que ya está demostrado que:

Existen infinitos coprimos de la forma [texx]u^2+1[/texx]

Porqué no se usa la misma metodología hecha en dicha demostración para probar que:

Existirían infinitos coprimos de la forma [texx]u^2-1[/texx], porque de ser así, quedaría probado que existen infinitos gemelos, puesto que si un coprimo es de la forma [texx]u^2-1[/texx], necesariamente los primos tienen que ser gemelos.

Saludos.
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jbyepez
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« Respuesta #6 : 01/06/2016, 02:20:19 pm »

Bueno, a mí si me parece un avance jeje, porque en vez de buscar coprimos cuya distancia sea 2, se pueden buscar coprimos [texx]q[/texx] y [texx]r[/texx] tales que [texx]q=2^xr\pm{1}[/texx]. De hecho, la existencia de los primeros implica los segundos y viceversa, creo que puede ser de utilidad.

Existen infinitos coprimos de la forma [texx]u^2+1[/texx]

Bueno Gaussito, actualmente de hecho se sabe que, siendo [texx]p_i[/texx] el primo número [texx]i[/texx], entre [texx]p_n[/texx] y [texx]p_n\#[/texx] existen exactamente [texx]\displaystyle\prod_{i=2}^{i=n}{(p_i-2)}[/texx] coprimos [texx]c[/texx] con [texx]p_n\#[/texx] tales que [texx]c+2[/texx] también lo es. Pero que sean coprimos con [texx]p_n\#[/texx] no implica que sean primos, por lo que la infinitud de los gemelos sigue sin demostrarse (a pesar de que parezca obvia).

Hace poco descubrí que de hecho, entre [texx]p_n[/texx] y [texx]\displaystyle\frac{p_n\#}{2}[/texx] hay exactamente [texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\prod_{i=2}^{i=n}{(p_i-2)}-1}{2}[/texx] coprimos [texx]c[/texx] tales que [texx]c+2[/texx] también lo es. Ésto debido a que los coprimos con [texx]p_n\#[/texx] se distribuyen simétricamente a izquierda y derecha respecto a [texx]\displaystyle\frac{p_n\#}{2}[/texx].
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