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Autor Tema: Derivada función inversa.  (Leído 2875 veces)
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Samir M.
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« : 23/05/2016, 21:52:38 »

Supongamos que [texx]y=f(x)[/texx]. La derivada de su inversa se puede enunciar formalmente  como:

Sea [texx]f : I \to \mathbb{R}[/texx] inyectiva y continua, con [texx]I[/texx] un intervalo abierto. Si [texx]f[/texx] es derivable en [texx]a \in I[/texx] y [texx]f'(a) \neq 0[/texx], entonces [texx]f^{-1}: \operatorname{Im}(f) \to I[/texx] es derivable en [texx]b = f(a)[/texx] y [texx](f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)}[/texx] o, en notación de Leibniz: [texx]\dfrac{dx}{dy} \Bigg|_{y = b} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \Bigg|_{x = a} \right)}.[/texx]

Como la notación de Leibniz lía un poco vamos a verlo de otra manera:

Dada [texx]y=f(x)[/texx] bajo las condiciones anteriores tenemos que se cumple que [texx]\color{blue}\mbox{1)}\color{black} ~ x = f^{-1}(y)[/texx], [texx]\color{blue}\mbox{2)} \color{black}~ y=f(f^{-1}(y))[/texx] y también que

[texx]1 = \dfrac{d}{dy}(y) \stackrel{\color{blue}2)}{=} \dfrac{d}{dy}(f(f^{-1}(y))) = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} (f'(f^{-1}(y))) \stackrel{\color{blue}1)}{=} \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} f'(x)[/texx] luego [texx]\dfrac{1}{f'(x)} = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} [/texx].

Fíjate que, de nuevo, si usamos la notación de Leibniz obtenemos lo mismo que al principio: [texx]\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}[/texx]
En línea

Lo escrito en azul significa que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.
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