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Autor Tema: Números consecutivos sin primos  (Leído 2439 veces)
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Gaussito
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« : 21/05/2016, 09:08:37 pm »

Buenos días, he estado pensando el tema de la factorización de un número compuesto y me he encontrado con algunas conjeturas, que imagino ya existirán y deben estar demostradas, espero que me den referencias de dónde puedo conseguir material para ver si son ciertas o no, una de las conjeturas es la siguiente:

* Para cualquier [texx]n\in{N}[/texx] existe un intervalo [texx][a,b][/texx] con [texx]a, b\in{N}[/texx] tal que [texx]b - a = n[/texx] y dentro del intervalo no hay primos, en otras palabras, siempre es posible hallar una serie de n números consecutivos tal que ninguno sea primo (esto creo que se demostraría fácilmente con el principio de palomar).

Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 22/05/2016, 06:16:35 am »

Hola

Buenos días, he estado pensando el tema de la factorización de un número compuesto y me he encontrado con algunas conjeturas, que imagino ya existirán y deben estar demostradas, espero que me den referencias de dónde puedo conseguir material para ver si son ciertas o no, una de las conjeturas es la siguiente:

* Para cualquier [texx]n\in{N}[/texx] existe un intervalo [texx][a,b][/texx] con [texx]a, b\in{N}[/texx] tal que [texx]b - a = n[/texx] y dentro del intervalo no hay primos, en otras palabras, siempre es posible hallar una serie de n números consecutivos tal que ninguno sea primo (esto creo que se demostraría fácilmente con el principio de palomar).

Esto es un clásico y está respondido aquí:

Dado un natural [texx]m[/texx], en el intervalo [texx][(m+1)!+2,(m+1)!+m+1][/texx] no existe ningún primo.

Saludos.
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Gaussito
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« Respuesta #2 : 22/05/2016, 09:31:31 am »


Dado un natural [texx]m[/texx], en el intervalo [texx][(m+1)!+2,(m+1)!+m+1][/texx] no existe ningún primo.


Gracias, siempre es gratificante descubrir algo que para uno es nuevo, aunque ya esté demostrado.

Saludos.
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Gaussito
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« Respuesta #3 : 31/05/2016, 02:03:12 am »

Realicé este planteamiento con el objetivo de encontrar un método de factorización eficiente, y como ustedes saben, la mayoría de los métodos dependen de la iteración, por tanto saber que existen estas lagunas de números consecutivos donde no hay ningún primo, me permitiría ahorrar la comprobación en estas lagunas.

Sin embargo veo que el argumento del número factorial, no me sirve de mucho, puesto que debemos factorizar números relativamente pequeños (200 cifras) y las lagunas descritas acá, se encuentran muy alejadas de las zonas de factorización. Me explico mejor, si quiero encontrar 1000 números consecutivos sin primos, un intervalo sería [texx][(1001)!+2 , (1001)!+1001][/texx], lo cual creo que esta mas allá de los números de 200 cifras que voy a factorizar.

Es por ello que planteo la siguiente interrogante, ¿Habrá 1000 números consecutivos sin primos, en un intervalo menor al descrito anteriormente? En caso de ser afirmativo, ¿Cómo saber donde está? Y de ser negativo, ¿Cómo demostrarlo? Recordando siempre que mi intención es ahorrar pasos en la iteración de números cuando estoy factorizando.

Agrego más, como sabemos ya está demostrado que podemos encontrar sucesiones de números primos en progresiones aritméticas tan largas como queramos, ahora bien, ¿Existirán también estas lagunas en progresiones aritméticas? Es decir, supongamos que en el intervalo (1000 , 1050) no hay primos, luego en el (2000 , 2050), tampoco, y así sucesivamente hasta (1000.n , 1000.n+50). (estoy consiente que esto no sería una progresión aritmética, pero no sé de que otra manera describir mi idea). En general quedaría así (a , a+50) sin primos, luego (2a , 2a+50), sin primos, y continuamos hasta (na , na+50) sin primos.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 31/05/2016, 04:41:35 am »

Realicé este planteamiento con el objetivo de encontrar un método de factorización eficiente, y como ustedes saben, la mayoría de los métodos dependen de la iteración, por tanto saber que existen estas lagunas de números consecutivos donde no hay ningún primo, me permitiría ahorrar la comprobación en estas lagunas.

Sin embargo veo que el argumento del número factorial, no me sirve de mucho, puesto que debemos factorizar números relativamente pequeños (200 cifras) y las lagunas descritas acá, se encuentran muy alejadas de las zonas de factorización. Me explico mejor, si quiero encontrar 1000 números consecutivos sin primos, un intervalo sería [texx][(1001)!+2 , (1001)!+1001][/texx], lo cual creo que esta mas allá de los números de 200 cifras que voy a factorizar.

Es por ello que planteo la siguiente interrogante, ¿Habrá 1000 números consecutivos sin primos, en un intervalo menor al descrito anteriormente? En caso de ser afirmativo, ¿Cómo saber donde está? Y de ser negativo, ¿Cómo demostrarlo? Recordando siempre que mi intención es ahorrar pasos en la iteración de números cuando estoy factorizando.

Agrego más, como sabemos ya está demostrado que podemos encontrar sucesiones de números primos en progresiones aritméticas tan largas como queramos, ahora bien, ¿Existirán también estas lagunas en progresiones aritméticas? Es decir, supongamos que en el intervalo (1000 , 1050) no hay primos, luego en el (2000 , 2050), tampoco, y así sucesivamente hasta (1000.n , 1000.n+50). (estoy consiente que esto no sería una progresión aritmética, pero no sé de que otra manera describir mi idea). En general quedaría así (a , a+50) sin primos, luego (2a , 2a+50), sin primos, y continuamos hasta (na , na+50) sin primos.

Saludos.

Hola, Gaussito. Sobre esta cuestión empecé a hacer un análisis sobre la marcha, hablando con Víctor de cosas de éstas; no profundicé más ello, pero se ve que existe una lógica en cuanto a cómo se van sucediendo las islas de números sin primos y se que estás van aumentando poco a poco y además se repiten, te pongo el enlace a la respuesta, por si te diera alguna idea

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=86938.msg352751#msg352751

Saludos.
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sqrmatrix
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« Respuesta #5 : 31/05/2016, 05:58:00 am »

Agrego más, como sabemos ya está demostrado que podemos encontrar sucesiones de números primos en progresiones aritméticas tan largas como queramos, ahora bien, ¿Existirán también estas lagunas en progresiones aritméticas? Es decir, supongamos que en el intervalo (1000 , 1050) no hay primos, luego en el (2000 , 2050), tampoco, y así sucesivamente hasta (1000.n , 1000.n+50). (estoy consiente que esto no sería una progresión aritmética, pero no sé de que otra manera describir mi idea). En general quedaría así (a , a+50) sin primos, luego (2a , 2a+50), sin primos, y continuamos hasta (na , na+50) sin primos.

Saludos.

Esto que planteas se cumple para los intervalos obtenidos con factoriales. El hecho de que [texx]\displaystyle n!+2[/texx], [texx]\displaystyle n!+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle n!+n[/texx] sean compuestos se debe a que [texx]\displaystyle 2\mid n![/texx], [texx]\displaystyle 3\mid n![/texx], ..., [texx]\displaystyle n\mid n![/texx]. Puesto que si [texx]\displaystyle a\mid b[/texx], se cumple también que [texx]\displaystyle a\mid k\cdot b[/texx] para todo entero [texx]\displaystyle k\geq 1[/texx], tenemos que [texx]\displaystyle 2\mid k\cdot n![/texx], [texx]\displaystyle 3\mid k\cdot n![/texx], ..., [texx]\displaystyle n\mid k\cdot n![/texx]. Es decir, que para todo entero [texx]\displaystyle n>1[/texx] y todo entero [texx]\displaystyle k\geq 1[/texx], los enteros [texx]\displaystyle k\cdot n!+2[/texx], [texx]\displaystyle k\cdot n!+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle k\cdot n!+n[/texx] son compuestos. El problema es comprobar si se puede cumplir esto con otros intervalos no obtenidos con factoriales.
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Gaussito
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« Respuesta #6 : 31/05/2016, 10:05:50 am »

Feriva, excelente explicación la que diste en el otro hilo, presiento que puede ser de ayuda para aminorar las iteraciones, pero hay que buscar la manera de que cuando probemos con números de la forma [texx]6n\pm{1}[/texx], de vez en cuando demos saltos grandes al encontrarnos estas islas de números compuestos.

Sin embargo, sigo con la desconfianza en los números factoriales, puesto que los mismos crecen muy rápido, y como dije anteriormente para calcular por ejemplo una isla de 10 números sin primos, tendríamos 10!+2 = 3 628 800 + 2 = 3 628 802, es decir, que bajo este análisis podemos estar seguros que los números 3 628 802, 3 628 803, ..... , 3 628 811, son compuestos, sin embargo, entre 113 y 127, hay una isla de 13 compuestos consecutivos.

Por esto reitero mi planteamiento, ¿Existe otra forma de determinar dichas islas sin usar el factorial? Tratando siempre de calcular las islas lo mas cercanas posibles, con la mayor cantidad de compuestos en ellas. En cuanto al comentario de sqrmatrix:


Esto que planteas se cumple para los intervalos obtenidos con factoriales. El hecho de que [texx]\displaystyle n!+2[/texx], [texx]\displaystyle n!+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle n!+n[/texx] sean compuestos se debe a que [texx]\displaystyle 2\mid n![/texx], [texx]\displaystyle 3\mid n![/texx], ..., [texx]\displaystyle n\mid n![/texx]. Puesto que si [texx]\displaystyle a\mid b[/texx], se cumple también que [texx]\displaystyle a\mid k\cdot b[/texx] para todo entero [texx]\displaystyle k\geq 1[/texx], tenemos que [texx]\displaystyle 2\mid k\cdot n![/texx], [texx]\displaystyle 3\mid k\cdot n![/texx], ..., [texx]\displaystyle n\mid k\cdot n![/texx]. Es decir, que para todo entero [texx]\displaystyle n>1[/texx] y todo entero [texx]\displaystyle k\geq 1[/texx], los enteros [texx]\displaystyle k\cdot n!+2[/texx], [texx]\displaystyle k\cdot n!+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle k\cdot n!+n[/texx] son compuestos. El problema es comprobar si se puede cumplir esto con otros intervalos no obtenidos con factoriales.


Veo que responde muy bien mi planteamiento, aunque por las mismas razones explicadas a Feriva, creo que no me sirven esas islas consecutivas, debido a que se dan muy lejos para ser tan pequeñas, recuerden que lo que busco es hacer saltos en las iteraciones de factorización, y decirme que tengo 12 compuestos seguidos en el número 12!+2 = 479 001 600 + 2, es inútil para mis propósitos, además estoy seguro, de que puedo encontrar muchísimas islas mayores a 12, antes de llegar al 12!, por tanto igual que lo hago con Feriva, reformulo mi pregunta, ¿Existirá esa progresión aritmética de islas anteriores a n!?

Saludos.
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sqrmatrix
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« Respuesta #7 : 31/05/2016, 11:29:39 am »

Una cosa que no me había dado cuenta es la siguiente. Si [texx]\displaystyle 1<a<n[/texx] y [texx]\displaystyle \gcd(a,n)>1[/texx], entonces [texx]\displaystyle n[/texx] es compuesto. Entonces podemos utilizar, en lugar del factorial, el primorial. El primorial es como el factorial, pero multiplicando primos en lugar de todos los enteros. Se denota como [texx]\displaystyle n\#[/texx], y se calcula como el producto de todos los primos menores o iguales a [texx]\displaystyle n[/texx], es decir, [texx]\displaystyle n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot ...\cdot p[/texx], [texx]\displaystyle p[/texx] el mayor primo tal que [texx]\displaystyle p\leq n[/texx].

Así, sea [texx]\displaystyle p_i[/texx] el i-ésimo primo. El primorial de [texx]\displaystyle p_i[/texx] será [texx]\displaystyle n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot ...\cdot p_i[/texx]. Sabemos que todos los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle 2[/texx] y [texx]\displaystyle p_{i+1}-1[/texx] estarán formados por el producto de primos menores que [texx]\displaystyle p_{i+1}[/texx], es decir, que se cumplirá [texx]\displaystyle \gcd(a,p_i\#)>1[/texx], [texx]\displaystyle 1<a<p_{i+1}[/texx]. Por tanto, tenemos que, para un primo [texx]\displaystyle p_i[/texx], los enteros [texx]\displaystyle p_i\#+2[/texx], [texx]\displaystyle p_i\#+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle p_i\#+p_{i+1}-1[/texx] serán compuestos. Es decir, se obtienen [texx]\displaystyle p_{i+1}-2[/texx] enteros compuestos consecutivos.

Por otro lado, sabemos que se cumple que [texx]\displaystyle \gcd(a,k\cdot m)\geq\gcd(a,m)[/texx]. Así que si [texx]\displaystyle gcd(a,m)>1[/texx], también se cumplirá [texx]\displaystyle gcd(a,k\cdot m)>1[/texx]. Esto quiere decir que para un primo [texx]\displaystyle p_i[/texx], los enteros [texx]\displaystyle k\cdot p_i\#+2[/texx], [texx]\displaystyle k\cdot p_i\#+3[/texx], ..., [texx]\displaystyle k\cdot p_i\#+p_{i+1}-1[/texx] serán compuestos para todo primo [texx]\displaystyle p_i[/texx] y todo entero [texx]\displaystyle k\geq 1[/texx] (es lo mismo que ocurría con los factoriales).

Podemos observar que [texx]\displaystyle p_i\#<p_i![/texx], ya que [texx]\displaystyle p_i\#[/texx] sólo multiplica los primos comprendidos entre [texx]\displaystyle 2[/texx] y [texx]\displaystyle p_i[/texx], mientras que [texx]\displaystyle p_i![/texx] multiplica todos los enteros, primos y compuestos, comprendidos entre [texx]\displaystyle 2[/texx] y [texx]\displaystyle p_i[/texx]. Aunque el primorial genere valores menores que el factorial, sigue generando valores excesivamente grandes para lo que buscas, pero es un paso para reducir el tamaño de los enteros que forman islas.

En el ejemplo que pones, de una isla de 12 compuestos consecutivos, podemos obtener una isla de 11 compuestos consecutivos con [texx]11\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310[/texx]. En este caso, tenemos que [texx]2310+2, 2310+3, 2310+4, 2310+5, 2310+6, 2310+7, 2310+8, 2310+9, 2310+10, 2310+11, 2310+12[/texx] son compuestos consecutivos. Como puede observarse, los valores utilizados son mucho menores que con el factorial. Aún así, el primorial crece también muy rápidamente.
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Gaussito
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« Respuesta #8 : 31/05/2016, 03:46:25 pm »


En el ejemplo que pones, de una isla de 12 compuestos consecutivos, podemos obtener una isla de 11 compuestos consecutivos con [texx]11\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310[/texx]. En este caso, tenemos que [texx]2310+2, 2310+3, 2310+4, 2310+5, 2310+6, 2310+7, 2310+8, 2310+9, 2310+10, 2310+11, 2310+12[/texx] son compuestos consecutivos. Como puede observarse, los valores utilizados son mucho menores que con el factorial. Aún así, el primorial crece también muy rápidamente.


Sqrmatrix, creo que tu razonamiento se puede llevar un poquitico más lejos, es decir, los números compuestos consecutivos, basados en los primordiales, serán tan largos como 2 unidades menos que el primo más próximo. Me explico con un ejemplo:

Tu dirías que [texx]7\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210[/texx] genera 7 compuestos consecutivos, que son: 210+2 , 210+3 , 210+4 , 210+5 , 210+6 , 210+7 , 210+8, pero es fácil ver que 210+9 ,  210 + 10, también serán compuestos (debemos detenernos en el 10, puesto que no estamos seguros si 210 + 11, será compuesto, ya que 11 no es divisor de 210), es decir que los compuestos generados por el primordial de 7 son 9 y no 7, en general podríamos decir que los números compuestos consecutivos que se generan a través del primordial [texx]p_i[/texx] vienen dados por: [texx]p_{i+1}-2[/texx].

Por ejemplo, el número [texx]23\#[/texx], genera 27 números compuestos consecutivos, ya que el próximo primo después de 23 es 29, luego 29 - 2, es el número de compuestos consecutivos.

Además, haciendo los mismos razonamientos anteriores, podemos decir que los intervalos [texx][k\cdot p_i\#+2[/texx]  ,  [texx]k\cdot p_i\#+p_{i+1}-1][/texx], están libres de primos. Aunque como bien dice Sqrmatrix:


...Como puede observarse, los valores utilizados son mucho menores que con el factorial. Aún así, el primorial crece también muy rápidamente.


Por lo cual tampoco es muy útil usar el primordial, para encontrar las islas de compuestos, que nos permitan ahorrar pasos en una iteración para encontrar los divisores de un número compuesto. Por tanto debemos buscar otra forma de encontrar estas islas, que sean tan largas como podamos, pero conformadas por números pequeños.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 16/07/2016, 05:17:09 am »

Saludos, Gaussito.

Lo que voy a poner aquí creo que responde a tus preguntas. Es una respuesta que llega un poco tarde, pero ya sabes lo que dice el refrán: nunca es tarde si la dicha es buena. No sé cómo crear tablas en MathJax más o menos como las que muestro y que no ralenticen la carga de la página, por lo que inserto imágenes. Y como son unas cuantas, tendré que dividir el mensaje.

Voy a explicar, primero, un método para obtener un conjunto de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos, sin necesidad de acudir al factorial ni al primorial (aunque sí que se va a hacer algo parecido).

Método para obtener un conjunto de enteros consecutivos compuestos

Con este método obtendremos un conjunto de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos. Mediante un ejemplo iré mostrando los pasos a seguir. La idea básica es construir un conjunto de enteros consecutivos, cada uno de ellos divisible por al menos un primo. Los primos por los que serán divisibles los iremos eligiendo.

Empezaremos construyendo una tabla de [texx]\displaystyle k[/texx] columnas. Cada columna representa uno de los compuestos, siendo el primero [texx]\displaystyle x[/texx], el segundo [texx]\displaystyle x+1[/texx], el tercero [texx]\displaystyle x+2[/texx], etc. Aquí, [texx]\displaystyle x[/texx] es la incógnita que queremos determinar. Supongamos que queremos construir un conjunto de al menos [texx]\displaystyle k=12[/texx] enteros consecutivos compuestos. Empezaríamos construyendo esta tabla:



Ahora elegimos un primo cualquiera. No importa cuál. En este ejemplo cogeremos los primos más pequeños, empezando por el [texx]\displaystyle 2[/texx]. Pero podríamos haber cogido perfectamente el [texx]\displaystyle 101[/texx], o cualquier otro. Creamos una nueva fila en la tabla, y colocamos este primo en cualquiera de las casillas de esta nueva fila, quedando, por ejemplo:



En este caso, hemos colocado el primo [texx]\displaystyle 2[/texx] en la columna [texx]\displaystyle x+6[/texx]. Cuando colocamos un primo en una de las columnas, lo que estamos haciendo es indicar que el entero que está en esa columna es múltiplo de ese primo. En este caso, estamos diciendo que [texx]\displaystyle x+6[/texx] es múltiplo de [texx]\displaystyle 2[/texx] (podíamos haber elegido cualquier otra columna). Ahora, puesto que [texx]\displaystyle x+6[/texx] es múltiplo de [texx]\displaystyle 2[/texx], también lo serán [texx]\displaystyle x+8, \ x+10[/texx], etc, y también [texx]\displaystyle x+4, \ x+2[/texx], etc. Es decir, que partiendo de la casilla donde hemos colocado el primo, debemos rellenar las casillas que están a una distancia múltiplo de ese primo con ese mismo primo. En el ejemplo con el que estamos, nos queda:



Ahora, ya tenemos marcados los enteros que serán múltiplos de [texx]\displaystyle 2[/texx]. Si hubiéramos elegido un primo mayor que el número de columnas, como por ejemplo el [texx]\displaystyle 101[/texx], tan sólo se hubiera rellenado la columna que elegimos antes, ya que el resto que se deberían rellenar estarían a distancia de [texx]\displaystyle 101[/texx], y sólo tenemos 12 columnas.

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« Respuesta #10 : 16/07/2016, 05:18:41 am »

Observamos que todavía quedan columnas sin un entero primo. El objetivo es colocar un primo en cada columna. Por tanto, lo que haremos será repetir el procedimiento de antes. Elegimos un nuevo primo que no esté en la tabla. Como antes, puede ser cualquiera. En este ejemplo, elegiremos el [texx]\displaystyle 3[/texx]. Añadimos una nueva fila a la tabla. Para facilitar las operaciones, marcaremos las columnas que ya tienen un primo. Nos quedaría la tabla con la nueva fila:



Ahora, seleccionamos una columna no ocupada por ningún primo para colocar el nuevo primo que hemos seleccionado. En este caso, seleccionamos la columna [texx]\displaystyle x+7[/texx], quedando:



Nota: Podríamos haber elegido una columna ya ocupada. En realidad, podemos añadir cualquier primo en cualquier columna que queramos, siempre que el primo no se repita. Puede ocurrir que, cuando rellenemos el resto de columnas que sean múltiplos del primo que acabamos de colocar, se rellenen columnas que no estaban ocupadas, aunque el primo original lo hayamos colocado en una columna ya ocupada. En todo caso, hay absoluta libertad para colocar los primos en las columnas que se quieran, aunque ya estén ocupadas. Simplemente, los nuevos primos que se añadan no deben estar ya colocados en la tabla (no deben repetirse primos en diferentes filas). Al final de la explicación se comprenderá por qué esto es así.

Como antes, el entero donde se ha colocado este primo será múltiplo de este primo. En este caso, [texx]\displaystyle x+7[/texx] será múltiplo de [texx]\displaystyle 3[/texx]. Y, como antes, habrá que colocar el primo en las demás columnas que sean múltiplos de ese primo. En este caso, serán las columnas [texx]\displaystyle x+1, \ x+4[/texx] y [texx]\displaystyle x+10[/texx]. Marcamos las columnas que estén ocupadas por primos, quedando:



Como todavía quedan columnas sin marcar, seguimos repitiendo el procedimiento. Elegimos, por seguir el orden de los primos, como siguiente primo el [texx]\displaystyle 5[/texx]. Lo colocamos en la columna [texx]\displaystyle x+3[/texx], y como múltiplo, tendremos la columna [texx]\displaystyle x+8[/texx]. Queda:



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« Respuesta #11 : 16/07/2016, 05:20:04 am »

Como seguimos teniendo columnas sin primos, seguimos repitiendo el procedimiento. Cogemos los primos [texx]\displaystyle 7, \ 11[/texx] y [texx]\displaystyle 13[/texx], y los colocamos en las columnas [texx]\displaystyle x+4, \ x+5[/texx] y [texx]\displaystyle x+9[/texx], y rellenamos las columnas múltiplos como antes. Nos queda:



Observamos que tuvimos que marcar con el primo [texx]\displaystyle 7[/texx] la columna [texx]\displaystyle x+11[/texx], pero con los primos [texx]\displaystyle 11[/texx] y [texx]\displaystyle 13[/texx] esto no fue necesario, porque las columnas múltiplo caían fuera de la tabla.

Hecho esto, ya podemos quitar las marcas, quedándonos la tabla más clara:



Ahora procederemos a calcular el valor de la incógnita [texx]\displaystyle x[/texx]. Recordemos que los valores [texx]\displaystyle x, \ x+1, \ x+2[/texx], ..., son múltiplos de los primos que tienen debajo. Y esto es lo que nos da la clave para obtener el valor de [texx]\displaystyle x[/texx].

Tomamos la primera fila (en este caso, la que tiene al primo [texx]\displaystyle 2[/texx]), y de todos los primos que tiene, escogemos el que está más a la izquierda (podríamos escoger cualquiera, pero así queda más mejor :sonrisa: ). Ahora miramos en qué columna está ese primo que hemos elegido. En este caso, observamos que esta columna es la marcada como [texx]\displaystyle x[/texx]. Como esta columna [texx]\displaystyle x[/texx] tiene debajo el primo [texx]\displaystyle 2[/texx], significa que [texx]\displaystyle x[/texx] es múltiplo de [texx]\displaystyle 2[/texx]. Esto lo podemos expresar con la congruencia [texx]\displaystyle x\equiv 0\pmod{2}[/texx].

Pasamos a la siguiente fila, y buscamos el primo que tiene más a la izquierda. En este caso el primo es el [texx]\displaystyle 3[/texx]. Miramos en qué columna está, que en este ejemplo es la [texx]\displaystyle x+1[/texx]. Por tanto, [texx]\displaystyle x+1[/texx] es múltiplo de [texx]\displaystyle 3[/texx], y lo podemos escribir como la congruencia [texx]\displaystyle x+1\equiv 0\pmod{3}[/texx], que reescribiremos como [texx]\displaystyle x\equiv -1\pmod{3}[/texx]

Pasamos a la siguiente fila, que tiene el primo [texx]\displaystyle 5[/texx] debajo de la columna [texx]\displaystyle x+3[/texx], por lo que podemos escribir la congruencia [texx]\displaystyle x+3\equiv 0\pmod{5}[/texx], que reescribiéndola queda [texx]\displaystyle x\equiv -3\pmod{5}[/texx]. Repitiendo esto con todas las filas, al final obtenemos un conjunto de congruencias. En este ejemplo, el conjunto de congruencias es:

[texx]\displaystyle
\left\{ \begin{array}{c}
x\equiv 0\pmod{2} \\
x\equiv -1\pmod{3} \\
x\equiv -3\pmod{5} \\
x\equiv -4\pmod{7} \\
x\equiv -5\pmod{11} \\
x\equiv -9\pmod{13}
\end{array}\right.[/texx]

Este conjunto de congruencias puede resolverse con el Teorema Chino de los Restos. Y tiene solución porque elegimos números primos diferentes, por lo que cada módulo de cada congruencia es primo relativo con los demás, lo que hace que el sistema siempre tenga solución. Si por casualidad hubiéramos añadido más primos, aunque ya estuviera rellena toda la tabla, simplemente habrían aparecido en sus correspondientes congruencias, y obtendríamos una solución diferente. Por ejemplo, si hubiéramos añadido el primo [texx]\displaystyle 101[/texx] en la columna [texx]\displaystyle x+5[/texx], se habría añadido la congruencia [texx]\displaystyle x\equiv -5\pmod{101}[/texx] al anterior conjunto de congruencias, y la solución del sistema hubiera sido diferente. Aquí es donde se entiende la anterior nota en la que indicaba que podrían añadirse primos en columnas ya ocupadas, siempre que el primo no estuviera ya presente.

En el ejemplo que nos ocupa, la solución del sistema de congruencias es [texx]\displaystyle x\equiv 15032\pmod{30030}[/texx] (el módulo de esta congruencia es el producto de todos los módulos del sistema de congruencias. En este caso, coincide con el primorial, pero si no hubiéramos elegido los primeros primos, no sería el primorial, sino un producto de primos).

Esta solución no es [texx]\displaystyle x=15032[/texx], sino que es [texx]\displaystyle x\equiv 15032\pmod{30030}[/texx], es decir, que [texx]\displaystyle x=15032+t\cdot 30030[/texx], con [texx]\displaystyle t[/texx] entero, [texx]\displaystyle t\geq0[/texx]. El sistema de congruencias, junto con la tabla, nos dice que [texx]\displaystyle x=15032+t\cdot 30030[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 2[/texx], [texx]\displaystyle x+1=15032+t\cdot 30030+1[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 3[/texx], [texx]\displaystyle x+2=15032+t\cdot 30030+2[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 2[/texx], [texx]\displaystyle x+3=15032+t\cdot 30030+3[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 5[/texx], [texx]\displaystyle x+4=15032+t\cdot 30030+4[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 2, \ 3[/texx] y [texx]\displaystyle 7[/texx], [texx]\displaystyle x+5=15032+t\cdot 30030+5[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 11[/texx], etc. Es decir, los primos que cada término tiene debajo en la tabla son los que dividen a esos enteros. Esto es una progresión aritmética que nos da enteros a partir de los cuales hay al menos [texx]\displaystyle 12[/texx] enteros consecutivos compuestos. Y esto ocurre para todos los valores de [texx]\displaystyle t[/texx].

Bueno... para todos los valores de [texx]\displaystyle t[/texx] quizá no. Cuando [texx]\displaystyle t=0[/texx], existe la posibilidad de que algún [texx]\displaystyle x+i[/texx] no sea compuesto, sino primo. En este ejemplo no ocurre. Pero imaginemos el caso de una tabla de una única columna. Elegimos [texx]\displaystyle x=7[/texx], y obtenemos como progresión aritmética [texx]\displaystyle 7+t\cdot 7[/texx]. Está claro que cuando [texx]\displaystyle t=0[/texx], tenemos como valor el [texx]\displaystyle 7[/texx], que no es compuesto, sino primo. Esto podría ocurrir con tablas de más de una columna, aunque es difícil. Por ejemplo, si cogemos una tabla de dos columnas, ponemos el primo [texx]\displaystyle 2[/texx] debajo de [texx]\displaystyle x[/texx], y el primo [texx]\displaystyle 3[/texx] debajo de [texx]\displaystyle x+1[/texx], obtenemos como solución [texx]\displaystyle 2+t\cdot 6[/texx]. Cuando [texx]\displaystyle t=0[/texx], tenemos el valor [texx]\displaystyle x=2[/texx], que es primo, y el valor [texx]\displaystyle x+1=2+1=3[/texx] que también es primo.

Cuando [texx]\displaystyle t>0[/texx], tenemos la seguridad de que los valores son compuestos, ya que el módulo de la solución es el producto de todos los primos que hemos elegido, y este valor es mayor que cualquiera de los primos que elegimos. Y es un valor que estamos sumando, por lo que los valores obtenidos serán mayores que cada primo que los divide, por lo que siendo valores divisibles por primos, pero mayores que los primos que los dividen, necesariamente serán compuestos.

En este punto, tenemos un procedimiento para obtener una progresión aritmética, de la forma [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m[/texx], donde [texx]\displaystyle a_0[/texx] es la solución del sistema de congruencias obtenido, [texx]\displaystyle m[/texx] es el producto de los primos elegidos a la hora de construir la tabla, y [texx]\displaystyle t\geq0[/texx] un entero. Cuando [texx]\displaystyle t>0[/texx], tenemos la seguridad de que [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m, \ a_0+t\cdot m+1, \ a_0+t\cdot m+2, \ ..., \ a_0+t\cdot m+k-1[/texx] son todos enteros consecutivos compuestos.

Veamos en qué condiciones los enteros consecutivos no son todos ellos compuestos, sino que alguno de ellos es primo, cuando [texx]\displaystyle t=0[/texx]. En este caso, los enteros consecutivos son de la forma [texx]\displaystyle a_0, \ a_0+1, \ a_0+2, \ ..., a_0+k-1[/texx].

Sea [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] primo, con [texx]\displaystyle 0\leq i<k[/texx]. Si [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] es primo, ha de ser uno de los primos que elegimos al construir la tabla, porque la solución obtenida nos garantiza que todos esos enteros serán divisibles por alguno de los primos (la tabla nos dice qué primos dividen a qué enteros). Supongamos que los primos elegidos para la tabla son, en orden de menor a mayor, [texx]\displaystyle p_1, \ p_2, \ ..., \ p_t[/texx], y sea el primo que estamos considerando [texx]\displaystyle a_0+i=p_j[/texx], con [texx]\displaystyle 1\leq j\leq t[/texx]. Ahora bien, estamos ante una secuencia de enteros de la forma [texx]\displaystyle a_0, \ a_0+1, \ a_0+2, \ ..., \ a_0+i, \ ..., \ a_0+k-1[/texx]. Si resulta que entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+i-1[/texx] hay primos, éstos deberían aparecer en la tabla, porque serán los únicos enteros que los dividirán. Si en las posiciones donde aparecerían estos primos aparecen otros enteros diferentes, entonces [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] no podría ser primo, ya que donde se supone que deberían aparecer los primos, en su lugar aparecen otros enteros diferentes. Por tanto, si [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] es primo, necesariamente los primos comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+i-1[/texx] también deben aparecer en la tabla en sus correspondientes lugares. El mismo razonamiento se sigue para los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0+i+1[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+k-1[/texx].

Pero además, el resto de primos de la tabla que no aparecen entre los valores primos comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+k-1[/texx] deben aparecer como divisores de los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+k-1[/texx], en sus correspondientes lugares. Si no fuera así, entonces ninguno de los [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] podría ser primo, ya que al menos un valor [texx]\displaystyle a_0+j[/texx] no sería el valor correcto, ya que tendría un divisor diferente del que tendría en caso de ser [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] primo. O lo que es lo mismo, si [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] es primo, entonces los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+k-1[/texx] han de ser los enteros que están antes y después de [texx]\displaystyle a_0+i[/texx]. No pueden ser otros enteros. Es decir, no se pueden colocar, en la tabla, primos de forma arbitraria. Deben aparecer en el lugar que les corresponda cuando cogemos los enteros antes y después del primo [texx]\displaystyle a_0+i[/texx]. Cualquier alteración de este orden supondría que ninguno de los enteros comprendidos entre [texx]\displaystyle a_0[/texx] y [texx]\displaystyle a_0+k-1[/texx] sería primo. Por tanto, la única manera de que en la construcción de la tabla haya algún [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] que sea primo, es que la tabla contenga todos los primos en los lugares correspondientes. Es decir, como si en lugar de haber tomado, en la primera fila, las incógnitas [texx]\displaystyle x, \ x+1, \ x+2, \ ..., \ x+k-1[/texx], hubiéramos cogido directamente los enteros [texx]\displaystyle a_0, \ a_0+1, \ a_0+2, \ ..., \ a_0+i, \ ..., \ a_0+k-1[/texx].

Así, elegidos los primos que irán en la tabla, de todas las posibles colocaciones que pueden tener, sólo una, como mucho, puede contener algún [texx]\displaystyle a_0+i[/texx] primo. Y esto sólo ocurre cuando los primos seleccionados aparecen directamente, o como divisores, en la secuencia de enteros [texx]\displaystyle a_0, \ a_0+1, \ a_0+2, \ ..., \ a_0+i, \ ..., \ a_0+k-1[/texx].

Podemos ir un poco más allá en la generación de la tabla anterior, una vez finalizado todo lo anterior. Si recordamos, rellenábamos las columnas que fueran múltiplos de los primos, pero si esas columnas estaban fuera de los límites de la tabla, las ignorábamos. No obstante, si resulta que uno de los primos tiene un múltiplo justo en la siguiente fila, o en la anterior, resulta que en la solución obtenida ese entero también formará parte de los enteros consecutivos compuestos. En el ejemplo, observamos que la columna [texx]\displaystyle x+12[/texx], que no habíamos añadido, es múltiplo de [texx]\displaystyle 2[/texx]. Podemos añadirla. Pero si lo hacemos, observamos ahora que la columna [texx]\displaystyle x+13[/texx] es múltiplo de [texx]\displaystyle 3[/texx] y de [texx]\displaystyle 5[/texx], por lo que la añadimos. Nuevamente, observamos que la columna [texx]\displaystyle x+14[/texx] es múltiplo de nuevo de [texx]\displaystyle 2[/texx], por lo que añadimos la nueva columna. Ya no observamos múltiplos de ningún primo (de los de la tabla) en la columna [texx]\displaystyle x+16[/texx]. Tampoco observamos múltiplos de primos en la columna [texx]\displaystyle x-1[/texx]. Por tanto, la tabla quedaría:



Nota: Si hubiéramos obtenido múltiplos en las columnas [texx]\displaystyle x-1[/texx], [texx]\displaystyle x-2[/texx], ..., [texx]\displaystyle x-i[/texx], entonces deberíamos tomar como valor [texx]\displaystyle a_0[/texx], no el obtenido en el procedimiento explicado, sino el valor [texx]\displaystyle a_0-i[/texx]. Esto es por comodidad, ya que podríamos seguir con el valor [texx]\displaystyle a_0[/texx] original, teniendo en cuenta que [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m-1[/texx], [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m-2[/texx], ..., [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m-i[/texx] son también compuestos. Tomando [texx]\displaystyle a_0-i[/texx], tenemos siempre el primer valor de la sucesión de enteros compuestos en la progresión aritmética [texx]\displaystyle (a_0-i)+t\cdot m[/texx].

Los cálculos realizados antes siguen siendo los mismos, pues no hemos añadido nuevos primos. Pero ahora sabemos que [texx]\displaystyle k=15[/texx], en lugar de [texx]\displaystyle k=12[/texx]. Es decir, que ahora sabemos que la expresión que hemos obtenido nos da al menos 15 enteros compuestos consecutivos, en lugar de los 12 de los que habíamos partido.

¿Qué hubiera ocurrido si hubiéramos cambiado las columnas en las que colocamos los primos en la tabla?. Pues, siempre que ocupemos todas las columnas de la tabla, obtendremos una solución diferente, módulo el producto de los primos que hemos utilizado. Es decir, que un grupo de primos nos puede dar más de una solución, dependiendo de cómo los coloquemos. El número de soluciones que nos puede dar depende del número de formas en que se pueden colocar. Si el primo es menor que el número de columnas de la tabla, colocar el primo [texx]\displaystyle p[/texx] en una columna [texx]\displaystyle i[/texx] es equivalente a colocarlo en la posición [texx]\displaystyle i \mod p[/texx], ya que al final hay que rellenar las columnas que sean múltiplos de dicho primo. Por tanto, para estos primos, el número de posiciones que pueden ocupar será de [texx]\displaystyle p[/texx]. Para los primos de valor mayor o igual que el número de columnas de la tabla, las posiciones diferentes que podrán ocupar serán las del número de columnas de la tabla. Por tanto, el número de posibles colocaciones de primos será, para los primos menores que el número de columnas de la tabla, [texx]\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot ...[/texx]. Y para los primos mayores o iguales al número de columnas, será de [texx]\displaystyle k\cdot k\cdot ...[/texx]. No todas las colocaciones serán válidas. Sólo aquellas que ocupen todas las columnas de la tabla.

En el caso de primos de valor mayor que el número de columnas de la tabla, es fácil calcular el número de colocaciones válidas, ya que cada primo debe ocupar una columna diferente. Por tanto, tendríamos para una tabla de [texx]\displaystyle k[/texx] columnas un total de [texx]\displaystyle k![/texx] formas de colocar los primos, cada una de ellas dando una solución diferente.

En resumen, hemos obtenido un procedimiento para obtener conjuntos de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos, conjuntos cuyas posiciones de comienzo en los enteros están en progresión aritmética. Esta progresión aritmética la denotaremos, de forma genérica, como [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m[/texx], donde [texx]\displaystyle a_0[/texx] es la solución del sistema de congruencias obtenido con el procedimiento explicado, [texx]\displaystyle m[/texx] es el producto de los primos elegidos a la hora de construir la tabla, y [texx]\displaystyle t\geq0[/texx] un entero.

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« Respuesta #12 : 16/07/2016, 05:21:24 am »

Obtención de la progresión aritmética asociada a un conjunto de enteros consecutivos compuestos

El anterior procedimiento lo podemos hacer a la inversa. Es decir, dado un conjunto de enteros consecutivos compuestos, obtener una progresión aritmética que los genere, y que genere otros conjuntos de enteros consecutivos compuestos de al menos el mismo tamaño. Como antes, se explicarán los pasos con un ejemplo. Partiremos del valor [texx]\displaystyle 12!+2=479001602[/texx], que define el comienzo de 12 enteros consecutivos compuestos.

El primer paso es como antes, construir una tabla con tantas columnas como enteros consecutivos tengamos. Pero aquí, cada columna tendrá uno de los enteros. Nos queda:



Ahora, factorizaremos cada uno de los enteros de la tabla. Tenemos:

[texx]\displaystyle
479001602=2\cdot 6793\cdot 35257 \\
479001603=3\cdot 103\cdot 1550167 \\
479001604=2^2\cdot 3299\cdot 36299 \\
479001605=5\cdot 17^2\cdot 331489 \\
479001606=2\cdot 3\cdot 41\cdot 977\cdot 1993 \\
479001607=7^2\cdot 9775543 \\
479001608=2^3\cdot 59875201 \\
479001609=3^2\cdot 19\cdot 2801179 \\
479001610=2\cdot 5\cdot 47900161 \\
479001611=11^3\cdot 23\cdot 15647 \\
479001612=2^2\cdot 3\cdot 39916801 \\
479001613=29\cdot 2503\cdot 6599
[/texx]

Como en el anterior método, añadimos una nueva fila a la tabla. A continuación, elegimos uno de los primos de los enteros que hemos factorizado. En este caso cogeremos el [texx]\displaystyle 2[/texx], pero podríamos haber cogido cualquier otro. Lo colocamos, en la tabla, debajo de los enteros que lo contienen (también, podríamos hacer como en el anterior método, es decir, colocarlo debajo de uno solo de los enteros, y rellenar las columnas que sean múltiplos de ese primo). Marcamos las columnas que contengan al primo. Nos queda:



Como todavía quedan columnas por rellenar, añadimos una nueva fila y elegimos otro primo de los enteros que hemos factorizado. Éste debe ser un primo que no hayamos elegido antes. Además, debe ser un primo presente en uno de los enteros que todavía no ha sido marcado. En este caso, elegimos el primo [texx]\displaystyle 3[/texx], que todavía no se ha elegido, y que además está presente en el entero [texx]\displaystyle 479001603[/texx], que todavía no se ha marcado. Añadimos este primo en todas las columnas de los enteros que lo contienen, y marcamos dichas columnas. Nos queda:



Repetimos el procedimiento, es decir, añadimos una nueva fila a la tabla; de los primos que quedan por elegir, elegiremos uno que no se haya elegido antes y que esté presente en uno de los enteros que todavía no se ha marcado, y los añadimos en las columnas de los enteros que lo contengan. Así hasta que todas las columnas queden marcadas. Al final nos queda:



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« Respuesta #13 : 16/07/2016, 05:22:18 am »

Ahora tenemos unos enteros consecutivos compuestos, cada uno con un primo que lo divide. Queremos obtener una progresión aritmética que lo genere. Lo que tenemos es casi lo mismo que en el anterior procedimiento, solo que en el anterior procedimiento, en la fila superior teníamos las incógnitas [texx]\displaystyle x[/texx], [texx]\displaystyle x+1[/texx], [texx]\displaystyle x+2[/texx], .... Si las tuviéramos aquí también, podríamos aplicar el mismo procedimiento para obtener la progresión aritmética. Pero resulta que podemos hacerlo muy fácilmente. Basta sustituir los números de la fila superior por las incógnitas [texx]\displaystyle x[/texx], [texx]\displaystyle x+1[/texx], [texx]\displaystyle x+2[/texx], ..., quedando:



Y ahora es simplemente seguir los mismos pasos que en el procedimiento anterior para obtener la progresión aritmética, con la particularidad de que esta progresión aritmética generará el valor [texx]\displaystyle x=479001602[/texx] que habíamos elegido.

Con esta tabla se genera el sistema de congruencias:

[texx]\displaystyle
\left\{ \begin{array}{c}
x\equiv 0\pmod{2} \\
x\equiv -1\pmod{3} \\
x\equiv -3\pmod{5} \\
x\equiv -5\pmod{7} \\
x\equiv -9\pmod{11} \\
x\equiv -11\pmod{29}
\end{array}\right.[/texx]

Su solución es [texx]x\equiv 23102\pmod{66990}[/texx]. Es decir, que [texx]x=23102+t\cdot 66990[/texx]. Ahora podemos calcular el valor de [texx]t[/texx] que genera el valor [texx]\displaystyle x=12!+2=479001602[/texx]. Basta resolver [texx]\displaystyle 479001602=23102+t\cdot 66990 \implies{t=\dfrac{479001602-23102}{66990}\implies{t=7150}}[/texx]

Cambiar los enteros que teníamos en la fila superior por las incógnitas [texx]\displaystyle x[/texx], [texx]\displaystyle x+1[/texx], [texx]\displaystyle x+2[/texx], etc, puede parecer que hace perder el entero de partida, y que la progresión aritmética podría no generar a dicho entero. Pero no es así. Este sistema de congruencias nos da como solución todos los enteros [texx]\displaystyle x[/texx] tales que [texx]\displaystyle x[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 2[/texx], [texx]\displaystyle x+1[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 3[/texx], [texx]\displaystyle x+3[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 5[/texx], [texx]\displaystyle x+5[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 7[/texx], [texx]\displaystyle x+9[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 11[/texx] y [texx]\displaystyle x+11[/texx] es divisible por [texx]\displaystyle 29[/texx]. Y uno de estos enteros es [texx]\displaystyle 12!+2[/texx], que será generado por la progresión aritmética, como se vio antes.

En este procedimiento, podríamos haber utilizado otros primos de los disponibles, siempre que hubiéramos marcado todas las columnas. Incluso, como en el anterior procedimiento, podríamos haber utilizado primos que estuvieran presentes únicamente en columnas ya marcadas. En todos estos casos habríamos obtenido diferentes progresiones aritméticas, pero todas ellas habrían generado al entero [texx]\displaystyle x=12!+2=479001602[/texx].

Respuestas a las preguntas planteadas

Sin embargo veo que el argumento del número factorial, no me sirve de mucho, puesto que debemos factorizar números relativamente pequeños (200 cifras) y las lagunas descritas acá, se encuentran muy alejadas de las zonas de factorización. Me explico mejor, si quiero encontrar 1000 números consecutivos sin primos, un intervalo sería [texx][(1001)!+2 , (1001)!+1001][/texx], lo cual creo que esta mas allá de los números de 200 cifras que voy a factorizar.

Es por ello que planteo la siguiente interrogante, ¿Habrá 1000 números consecutivos sin primos, en un intervalo menor al descrito anteriormente? En caso de ser afirmativo, ¿Cómo saber donde está? Y de ser negativo, ¿Cómo demostrarlo? Recordando siempre que mi intención es ahorrar pasos en la iteración de números cuando estoy factorizando.

Estas preguntas se responden con el primer procedimiento, y además, dan el procedimiento para obtener dichas sucesiones y progresiones aritméticas.

Veo que responde muy bien mi planteamiento, aunque por las mismas razones explicadas a Feriva, creo que no me sirven esas islas consecutivas, debido a que se dan muy lejos para ser tan pequeñas, recuerden que lo que busco es hacer saltos en las iteraciones de factorización, y decirme que tengo 12 compuestos seguidos en el número 12!+2 = 479 001 600 + 2, es inútil para mis propósitos, además estoy seguro, de que puedo encontrar muchísimas islas mayores a 12, antes de llegar al 12!, por tanto igual que lo hago con Feriva, reformulo mi pregunta, ¿Existirá esa progresión aritmética de islas anteriores a n!?

El segundo procedimiento responde a esta pregunta (y el primero también, aunque podrías obtener una progresión aritmética que no contenga el entero que te interesa).

Observaciones y conclusiones

Los procedimientos explicados antes nos proporcionan cierta información de los grupos de compuestos consecutivos de un tamaño de al menos [texx]\displaystyle k[/texx].

Lo primero, con el primer procedimiento obtenemos una progresión aritmética de la forma [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m[/texx], que nos da el primer entero de un grupo de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos. Esto se cumple para todo valor entero de [texx]\displaystyle t\geq1[/texx] (y en la mayoría de las ocasiones, también se cumplirá cuando [texx]\displaystyle t=0[/texx]). Es decir, existen infinitas secuencias de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos. Como podemos elegir el valor de [texx]\displaystyle k[/texx] en el procedimiento, esto también nos dice que existen secuencias de enteros consecutivos compuestos de cualquier longitud, y además, infinitas secuencias de cualquiera de las longitudes que elijamos.

Por otro lado, puesto que podemos escoger los primos que colocaremos en la tabla, para una misma tabla podemos obtener diferentes progresiones aritméticas, que generarán al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos. Y como los primos son infinitos, esto significa que, dado un valor de [texx]\displaystyle k[/texx], existen infinitas progresiones aritméticas que generarán enteros consecutivos compuestos de esa longitud. Es decir, que no sólo tenemos infinitas secuencias de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos, sino que además tenemos infinitas progresiones aritméticas que generarán secuencias de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos.

Por otro lado, si recordamos, dada una tabla cualquiera del procedimiento para obtener una secuencia de al menos [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos, puede ocurrir que haya una o más columnas a derecha o izquierda de la tabla que sean múltiplos de algún primo (sin dejar huecos sin rellenar con las columnas de la tabla original). Tenemos que [texx]\displaystyle 2[/texx] es un primo, que aparece cada dos columnas de una tabla. Esto significa que todas las secuencias que obtengamos tendrán un tamaño de [texx]\displaystyle k[/texx] impar, aunque no incluyamos el [texx]\displaystyle 2[/texx] en los primos de la tabla. Esto es porque, si lo incluyéramos, y el número de columnas de la tabla es impar, en las columnas izquierda y derecha, bien aparece el [texx]\displaystyle 2[/texx], bien no aparece. En el primer caso, no podemos añadir más columnas con el [texx]\displaystyle 2[/texx]. En el segundo caso, podemos añadir una columna a la izquierda y otra a la derecha, con el [texx]\displaystyle 2[/texx], por lo que el total de columnas seguiría siendo impar. Si resulta que el número de columnas es par, la columna izquierda o deracha tendría al [texx]\displaystyle 2[/texx], y la otra no. Se podría añadir una nueva columna con el [texx]\displaystyle 2[/texx] al lado de la columna que no tuviera al [texx]\displaystyle 2[/texx], con lo que al final tendríamos un número de columnas impar. Esto se cumple incluso si no añadimos el [texx]\displaystyle 2[/texx] a la tabla, ya que será divisor de los enteros pares de la secuencia obtenida. Y como siempre tendremos el [texx]\displaystyle 2[/texx] a ambos extremos de la tabla, esto significa que el primer término y el último de la secuencia serán pares (si no hemos tenido en cuenta esto en la construcción de la progresión aritmética, habría que mirar lo que hemos obtenido y ver si hay pares antes o después de los valores que obtenemos con la progresión aritmética).

Con el segundo procedimiento, podíamos elegir qué primos utilizar en la tabla para obtener la progresión aritmética que lo contuviera. Elegir diferentes primos supone obtener diferentes progresiones aritméticas. Esto significa que una misma secuencia de [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos puede ser generada por diferentes progresiones aritméticas. Esto no significa que todas las progresiones aritméticas que generan una misma secuencia sean generadas por una progresión aritmética que las englobe a todas. Esto lo veremos más adelante.

Una de las cuestiones que no resuelven estos procedimientos es la de obtener la secuencia de [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos con menor valor. Si elegimos un conjunto de primos, las diferentes colocaciones en la tabla generarán diferentes progresiones aritméticas de la forma [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m[/texx], con el mismo valor de [texx]\displaystyle m[/texx], pero diferente valor de [texx]\displaystyle a_0[/texx]. Estos procedimientos no nos indican la forma de colocar los primos para obtener el valor más pequeño de [texx]\displaystyle a_0[/texx], de todos los posibles. Es más, si utilizamos diferentes conjuntos de primos, obtendremos progresiones aritméticas con diferentes valores de [texx]\displaystyle m[/texx], y con mucha probabilidad diferentes valores de [texx]\displaystyle a_0[/texx]. Tampoco sabemos qué grupo de primos coger para obtener el mínimo valor de [texx]\displaystyle a_0[/texx].

Dijimos antes que existían infinitas progresiones aritméticas que generaban secuencias de enteros consecutivos compuestos. Podríamos pensar que todas, o la mayoría, son generadas por unas pocas progresiones, con lo cual, esta cantidad infinita de progresiones aritméticas no sería tan interesante. Veremos que no es así.

Sean las progresiones aritméticas [texx]\displaystyle S_a=a_0+t\cdot m[/texx] y [texx]\displaystyle S_b=b_0+u\cdot n[/texx]. Diremos que la progresión aritmética [texx]\displaystyle S_a[/texx] está generada por la progresión aritmética [texx]\displaystyle S_b[/texx] si, para todo valor entero de [texx]\displaystyle t[/texx], existe un valor entero de [texx]\displaystyle u[/texx] tal que [texx]\displaystyle a_0+t\cdot m=b_0+u\cdot n[/texx]. Veamos qué condiciones tienen que cumplirse para que esto ocurra.

Obtengamos el valor de [texx]\displaystyle u[/texx], que viene dado por [texx]\displaystyle u=\dfrac{a_0-b_0+t\cdot m}{n}[/texx]. Como [texx]\displaystyle u[/texx] es entero, debe cumplirse [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0+t\cdot m[/texx]. Además, esto debe cumplirse para todo valor entero de [texx]\displaystyle t[/texx]. Démosle a [texx]\displaystyle t[/texx] el valor [texx]\displaystyle 0[/texx]. En este caso, tenemos que [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0+0\cdot m[/texx], es decir, que [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0[/texx]. Ésta es una condición. Sabiendo esto, volvamos al caso de cualquier valor de [texx]\displaystyle t[/texx]. Sigue teniéndose que cumplir que [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0+t\cdot m[/texx]. Como [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0[/texx], necesariamente debe cumplirse que [texx]\displaystyle n\mid t\cdot m[/texx]. Y esto debe cumplirse para todo valor de [texx]\displaystyle t[/texx]. Podemos darle a [texx]\displaystyle t[/texx] un valor primo relativo con [texx]\displaystyle u[/texx], es decir, [texx]\displaystyle \gcd{(t,u)}=1[/texx]. En este caso, si [texx]\displaystyle n\mid t\cdot m[/texx], como [texx]\displaystyle n\nmid t[/texx], necesariamente debe cumplirse [texx]\displaystyle n\mid m[/texx]. Por tanto, las condiciones para que la progresión aritmética [texx]\displaystyle S_a=a_0+t\cdot m[/texx] esté generada por la progresión aritmética [texx]\displaystyle S_b=b_0+t\cdot n[/texx] son que [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0[/texx] y [texx]\displaystyle n\mid m[/texx].

Si tenemos una progresión aritmética que genera [texx]\displaystyle k[/texx] enteros consecutivos compuestos, obtenida con una tabla y un conjunto de primos, podemos obtener otra progresión aritmética no generada por la otra, simplemente haciendo que una de las condiciones que hemos determinado no se cumpla. Podemos cambiar el orden de los primos. Esto sólo puede hacer que no se cumpla la condición [texx]\displaystyle n\mid a_0-b_0[/texx], ya que el módulo de la solución será el mismo para ambas progresiones. Pero no tenemos un procedimiento directo que nos asegure que no se cumpla esta condición (al menos no lo veo). Tenemos otra solución más simple. Basta quitar uno de los primos que habíamos utilizado en la primera progresión, y añadir otro primo diferente no presente. Así, no se cumplirá la condición [texx]\displaystyle n\mid m[/texx] ni [texx]\displaystyle m\mid n[/texx], por lo que ninguna progresión aritmética generará a la otra. Y como tenemos infinitos primos para elegir, podemos hacer esto infinitas veces, obteniendo infinitas progresiones aritméticas que no generan a una determinada progresión aritmética, y que a su vez no son generadas por ésta.

Espero que esto haya respondido a tus preguntas. También espero que sea entendible (y también espero no haberme equivocado en nada :sonrisa: ).

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