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Autor Tema: Continuidad de funciones "m-Lipschitz"  (Leído 2402 veces)
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wild_iyou
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« : 20/05/2016, 09:16:27 pm »

Buen día. Estoy tratando de ver que una función [texx]\mathbf{F}:I\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n[/texx] que cumple que:
[texx]||\mathbf{F}(t,\mathbf{x})-\mathbf{F}(t,\mathbf{y})||\leq C\mu( ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||),[/texx] es continua.
Donde [texx]\mu:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+[/texx] es una función continua y  creciente.

Esto fue lo que hice, pero me dicen que solo prueba la continuidad en la variable [texx]\mathbf{x}[/texx].

Al ser [texx]\mu[/texx] continua, dado [texx]\epsilon_1>0[/texx], existe [texx]\delta>0[/texx] tal que si [texx]||\mathbf{x}-\mathbf{y}||<\delta[/texx], entonces [texx]\mu(||\mathbf{x}-\mathbf{y}||)<\frac{\epsilon_1}{C}[/texx]. Así, dado [texx]\epsilon>0[/texx], si [texx]||\mathbf{x}-\mathbf{y}||<\delta[/texx], entonces

[texx]||\mathbf{F}(t,\mathbf{x})-\mathbf{F}(t,\mathbf{y})||\leq C\mu(||\mathbf{x}-\mathbf{y}||)<C\frac{\epsilon}{C}=\epsilon[/texx], luego [texx]\mathbf{F}[/texx] es continua.


MUCHAS GRACIAS.
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Samir M.
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« Respuesta #1 : 21/05/2016, 12:02:31 am »

Hola.

Si [texx]\mathbf{F}:I\times\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n[/texx] cumple que [texx]||\mathbf{F}(t,\mathbf{x})-\mathbf{F}(t,\mathbf{y})||\leq C\mu( ||\mathbf{x}-\mathbf{y}||),[/texx] entonces lo único que puedes concluir es que [texx]\bf{F}[/texx] es continua respecto a la segunda variable. No puedes decir nada de la continuidad respecto de la primera variable. Además, a no ser que [texx]\mu[/texx] sea lineal, en general tu [texx]\bf{F}[/texx] ni siquiera será lipschitziana.
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wild_iyou
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« Respuesta #2 : 21/05/2016, 05:53:01 pm »

Gracias por responder.
Efectivamente solo es Lipschitz si [texx]\mu[/texx] es lineal.
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wild_iyou
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« Respuesta #3 : 21/05/2016, 05:59:14 pm »

¿Cambia en algo que [texx]\mathbf{F}[/texx] sea locamente integrable en el sentido Riemann?
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« Respuesta #4 : 21/05/2016, 06:25:04 pm »

Hola

¿Cambia en algo que [texx]\mathbf{F}[/texx] sea locamente integrable en el sentido Riemann?

No.

Saludos.
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Samir M.
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« Respuesta #5 : 21/05/2016, 06:42:18 pm »

No. Considera por ejemplo [texx]\mathbf{F} = (\lfloor{t}\rfloor , \mathbf{G}(\mathbf{x}))[/texx].

Saludos.
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