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Autor Tema: Programación Cuadrática  (Leído 2497 veces)
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IntentoDeMatematico
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« : 19 Mayo, 2016, 14:21 »

Hola amigos,
alguien sabría decirme, si para demostrar la existencia y unicidad de un problema de programación cuadrática basta con que la matriz H sea simétrica definida positiva. En caso afirmativo el ¿por qué?
gracias
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Fallen Angel
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« Respuesta #1 : 22 Mayo, 2016, 17:54 »

Hola,

Deberías ser más explícito en tus cuestiones, aunque sólo sea para despejar cualquier asomo de duda.

Entiendo que por programaciónt cuadrática y [texx]H[/texx] te refieres a minimizar la función [texx]f(x)=\dfrac{1}{2}x^{T}Hx+p^{T}x[/texx] con restricciones lineales.

Si este es el caso, la respuesta es sí, basta para demostrarlo.

Por un lado, [texx]H[/texx] simétrica implica que [texx]x^{T}Hx\geq \lambda_{m}||x||_{2}^{2}[/texx] siendo [texx]\lambda_{m}[/texx] el menor autovalor de [texx]H[/texx], que es positivo por ser [texx]H[/texx] definida poitiva. Utilizando entonces la desigualdad de Cauchy-Schwartz en el término lineal obtienes fácilmente la coercividad de [texx]f[/texx].

Para la unicidad simplemente ten en cuenta que la suma de funciones estrictamente convexas es estrictamente convexa.

Saludos
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La Geometría es el arte de pensar bien, y dibujar mal.- H.Poincaré
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