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Autor Tema: Demostración sobre polinomio con coeficientes reales y variable compleja  (Leído 1527 veces)
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Venom
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« : 09/05/2016, 03:24:36 am »

Hola, tengo un ejercicio  en que que debo demostrar que:

Si [texx]a + bi[/texx] , con [texx]a,b \in{\mathbb{R}}[/texx] es una raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx]

Tengo que demostrado que si [texx]z[/texx] es raíz de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]\bar{z}[/texx] también lo es.

Quisiera saber si lo siguiente que hice está completo:

[texx]P(z)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] si es divisible por el polinomio: [texx] R(z) = ((z-(a+bi))^r[/texx]

Entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx](z-(a+bi))[/texx] ya que existe [texx]Q(z) =  ((z-(a+bi))^{r-1}[/texx] tal que [texx](z-(a+bi)) Q(z) = P(z)[/texx]

[texx]\Longrightarrow{}[/texx] [texx](a+bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx](a-bi)[/texx] también lo es

[texx]\Longrightarrow{}[/texx][texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx]S(z) = (z-a-bi))[/texx]
[texx]\Rightarrow{}[/texx][texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx](z-(a-bi))^r[/texx] ya que existe [texx]t(z) = (z-(a-bi))^{r-1}[/texx] tal que [texx]z-(a-bi) (t(z)) = P(z)[/texx]

Tengo dudas si todas las implicaciones que hice están bien justificadas.
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El pensamiento es como la perforación de un pozo, a lo primero el agua es turbia, mas luego se esclarece.
Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 09/05/2016, 05:39:27 am »

Hola

Hola, tengo un ejercicio  en que que debo demostrar que:

Si [texx]a + bi[/texx] , con [texx]a,b \in{\mathbb{R}}[/texx] es una raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx]

Creo que te ha faltado completar el enunciado. No dices lo que tienes que demostrar. Supongo que es que bajo la hipótesis que indicas, entonces [texx]a-bi[/texx] es una raíz de orden [texx]r[/texx] del mismo polinomio.

Cita
Tengo que demostrado que si [texx]z[/texx] es raíz de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]\bar{z}[/texx] también lo es.

Quisiera saber si lo siguiente que hice está completo:

[texx]P(z)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] si es divisible por el polinomio: [texx] R(z) = ((z-(a+bi))^r[/texx]

Entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx](z-(a+bi))[/texx] ya que existe [texx]Q(z) =  ((z-(a+bi))^{r-1}[/texx] tal que [texx](z-(a+bi)) Q(z) = P(z)[/texx]

[texx]\Longrightarrow{}[/texx] [texx](a+bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx](a-bi)[/texx] también lo es

[texx]\Longrightarrow{}[/texx][texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx]S(z) = (z-a-bi))[/texx]
[texx]\Rightarrow{}[/texx][texx]\color{red}P(z)\color{black}[/texx] es divisible por [texx]\color{red}(z-(a-bi))^r\color{black}[/texx] ya que existe [texx]\color{red}t(z) = (z-(a-bi))^{r-1}\color{black}[/texx] tal que [texx]\color{red}z-(a-bi) (t(z)) = P(z)\color{black}[/texx]

Tengo dudas si todas las implicaciones que hice están bien justificadas.

La última afirmación en rojo no la entiendo, no sé como se relaciona con lo anterior. Además tal como está escrito es falsa. Si [texx]t(z) = (z-(a-bi))^{r-1}[/texx] no es cierto en general que [texx]z-(a-bi) (t(z)) = P(z)[/texx]


Yo lo que haría es lo siguiente.

1) [texx]z_0[/texx] es raíz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] si y solo si [texx]z_0[/texx] es una raíz de [texx]P(z)/(z-z_0)^k[/texx] para [texx]k=0,1,\ldots,r-1[/texx] pero no de [texx]P(z)/(z-z_0)^r[/texx]

2) Comprueba que si [texx]z_0[/texx] es raíz de [texx]P(z)/(z-z_0)^k[/texx], entonces [texx]\bar z_0[/texx] es raíz de [texx]P(z)/(z-\bar z_0)^k[/texx]

3) Concluye.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 09/05/2016, 09:29:33 pm »

Mil disculpas, en la voragine por sacarme las dudas no revisé bien y redacté muy mal.

El enunciado era:
Si [texx]a + bi[/texx], con [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] es una raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]a - bi[/texx] también es raiz de orden [texx]r[/texx]

aclaro lo que hice:

Si [texx](a + bi)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por el polinomio:
[texx]R(z) = (z-(a+bi))^r [/texx]  y observo que [texx]R(z) = (z-(a+bi))(z-(a+bi))^{r-1}[/texx]

Luego, como [texx](a + bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx], también [texx](a - bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx]

Y yo acá como bien indicaste concluí mal, dije que si: [texx](a - bi)[/texx] es raiz entonces [texx](a - bi)^{r-1}[/texx] también. Lo cual está claramente sin fundamento.

Ahora, considerando lo sugerido:

Entiendo el procedimiento que usas, pero en un examen por ejemplo yo debería de probar el "si y solo si" que usas en (1), verdad?
Y ahí ya como que me voy a demostrar temas de divisibilidad, ya que lo que dices es lo que se usa por ejemplo al aplicar Ruffini.

Muchas gracias por responder.



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« Respuesta #3 : 10/05/2016, 06:20:36 am »

Hola

Mil disculpas, en la voragine por sacarme las dudas no revisé bien y redacté muy mal.

El enunciado era:
Si [texx]a + bi[/texx], con [texx]a,b\in{\mathbb{R}}[/texx] es una raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]a - bi[/texx] también es raiz de orden [texx]r[/texx]

aclaro lo que hice:

Si [texx](a + bi)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por el polinomio:
[texx]R(z) = (z-(a+bi))^r [/texx]  y observo que [texx]R(z) = (z-(a+bi))(z-(a+bi))^{r-1}[/texx]

Luego, como [texx](a + bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx], también [texx](a - bi)[/texx] es raiz de [texx]P(z)[/texx]

Y yo acá como bien indicaste concluí mal, dije que si: [texx](a - bi)[/texx] es raiz entonces [texx](a - bi)^{r-1}[/texx] también. Lo cual está claramente sin fundamento.

Ahora, considerando lo sugerido:

Entiendo el procedimiento que usas, pero en un examen por ejemplo yo debería de probar el "si y solo si" que usas en (1), verdad?
Y ahí ya como que me voy a demostrar temas de divisibilidad, ya que lo que dices es lo que se usa por ejemplo al aplicar Ruffini.

Para contestarte con precisión tendría que saber exactamente cómo te han definido raíz de orden [texx]n[/texx] de un polinomio.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 10/05/2016, 01:32:09 pm »


Si [texx](a + bi)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por el polinomio:
[texx]R(z) = (z-(a+bi))^r [/texx] 


Esa es la definición que tengo.
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« Respuesta #5 : 10/05/2016, 01:55:41 pm »

Hola


Si [texx](a + bi)[/texx] es raiz de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z)[/texx] entonces [texx]P(z)[/texx] es divisible por el polinomio:
[texx]R(z) = (z-(a+bi))^r [/texx] 


Esa es la definición que tengo.

mmmm.. si esa es la definición entonces el orden no es único. Por ejemplo si [texx]p(z)=(z-2)^3(z+5) [/texx]entonces sería cierto que [texx]2[/texx] es un cero de orden [texx]1[/texx] ó de orden [texx]2[/texx] ó de orden [texx]3[/texx].

Lo lógico sería que te diejesen que [texx]z_0[/texx] es un cero de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z) [/texx]si [texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx](z-z_0)^r[/texx] pero no por [texx]\color{red}\cancel{(z-z_0)^{r-1}}\color{black}[/texx] [texx]\color{red}(z-z_0)^{r+1}\color{black}[/texx]y si te fijas es prácticamente la condición que yo he usado.

Saludos.

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« Respuesta #6 : 12/05/2016, 01:31:40 am »

Muchisimas Gracias, lo tendre en cuenta.
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« Respuesta #7 : 12/05/2016, 05:41:03 am »

Hola

Muchisimas Gracias, lo tendre en cuenta.

Ojo que tenía una errata en mi anterior mensaje; la he corregido:

Lo lógico sería que te diejesen que [texx]z_0[/texx] es un cero de orden [texx]r[/texx] de [texx]P(z) [/texx]si [texx]P(z)[/texx] es divisible por [texx](z-z_0)^r[/texx] pero no por [texx]\color{red}\cancel{(z-z_0)^{r-1}}\color{black}[/texx] [texx]\color{red}(z-z_0)^{r+1}\color{black}[/texx]y si te fijas es prácticamente la condición que yo he usado.

Saludos.
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