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Autor Tema: Puntos límite y puntos de adherencia  (Leído 2040 veces)
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Edison
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« : 03/05/2016, 09:30:19 pm »

Buenas noches,

Sea [texx]E'[/texx] es el conjunto de todos los puntos límites de [texx]E[/texx].
Demostrar que [texx]E'[/texx] es cerrado.
Probar que [texx]E[/texx] y [texx]\overline{E} [/texx] tienen los mismos puntos límite.
¿Tienen [texx]E[/texx] y [texx]E'[/texx] siempre los mismos puntos límites?

Saludos
Edison
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« Respuesta #1 : 03/05/2016, 10:24:00 pm »

¿Qué has intentado?
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Edison
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« Respuesta #2 : 04/05/2016, 12:14:30 am »

pues, pensaba hacer la demostracion por el complemento, es decir,
[texx](\forall x\in (E')^c)(\exists \epsilon>0)(B(x,\epsilon) \subset (E')^c)[/texx]

y necesito probar [texx] E'\subset \overline{E}[/texx] primero que es mi primera traba por que lo voy a necesitar luego en la demostracion.
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« Respuesta #3 : 04/05/2016, 12:47:37 am »

pues, pensaba hacer la demostracion por el complemento, es decir,
[texx](\forall x\in (E')^c)(\exists \epsilon>0)(B(x,\epsilon) \subset (E')^c)[/texx]

Si [texx]x\in (E')^c[/texx], existe [texx]\epsilon >0[/texx] tal que [texx](B(x,\epsilon)\setminus\{x\})\cap E=\emptyset[/texx]. Prueba que [texx]B(x,\epsilon)\subseteq (E')^c[/texx].
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Edison
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« Respuesta #4 : 04/05/2016, 02:07:22 pm »

¿Lo que escribiste es la negacion de[texx] E' [/texx]? o ¿el complemmento?
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Tanius
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« Respuesta #5 : 04/05/2016, 03:03:46 pm »

¿Lo que escribiste es la negacion de[texx] E' [/texx]? o ¿el complemmento?

Lo que significa [texx]x\notin E'[/texx].
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Edison
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« Respuesta #6 : 13/05/2016, 12:20:14 am »

Vamos a probar por el complemento, es decir, [texx](E')^c[/texx] es abierto.

Por demostrar que [texx](\exists \epsilon>0)[/texx] tal que [texx](B(x,\epsilon)\subset (E')^c)[/texx].

Sea [texx]x \in (E')^c[/texx], lo que es lo mismo que [texx]x \notin E'[/texx]  por definicion se tiene que
[texx]
(\forall \epsilon>0)((B(x,\epsilon)\backslash \{x\} \cap E)= \emptyset)
[/texx]

Lo que se puede concluir que

[texx](B(x,\epsilon)\backslash \{x\} \subset E^c[/texx] o a su vez, [texx]E\subset(B(x,\epsilon)\backslash \{x\})^c[/texx] de donde se tiene que por propiedades de conjuntos

[texx]
(B(x,\epsilon)\cap\{x\}^c)^c
[/texx]
[texx]
(B(x,\epsilon))^c \cup\{x\}
[/texx]
la clausura esta contenida en la bola, ademas  todo conjunto esta contenida en su clausura, es decir,
[texx]
E\subset\overline{E}\subset(B(x,\epsilon))^c \cup\{x\}.
[/texx]
si [texx]E'\subset\overline{E}[/texx] entonces [texx]E' \subset (B(x,\epsilon)\backslash \{x\})^c[/texx] por tanto [texx]  (B(x,\epsilon)\backslash \{x\}) \subset (E')^c[/texx] lo que se quería probar.

gracias por tu consejo queria saber si lo hice bien o si me puedes ayudar haciendolo mas formal.

Saludos,
Edison
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 13/05/2016, 05:41:52 am »

Hola

Vamos a probar por el complemento, es decir, [texx](E')^c[/texx] es abierto.

Por demostrar que [texx](\exists \epsilon>0)[/texx] tal que [texx](B(x,\epsilon)\subset (E')^c)[/texx].

Sea [texx]x \in (E')^c[/texx], lo que es lo mismo que [texx]x \notin E'[/texx]  por definicion se tiene que
[texx]
(\color{red}\forall \epsilon>0\color{black})((B(x,\epsilon)\backslash \{x\} \cap E)= \emptyset)
[/texx]

Lo que se puede concluir que

[texx](B(x,\epsilon)\backslash \{x\} \subset E^c[/texx] o a su vez, [texx]E\subset(B(x,\epsilon)\backslash \{x\})^c[/texx] de donde se tiene que por propiedades de conjuntos

[texx]
(B(x,\epsilon)\cap\{x\}^c)^c
[/texx]
[texx]
(B(x,\epsilon))^c \cup\{x\}
[/texx]
la clausura esta contenida en la bola, ademas  todo conjunto esta contenida en su clausura, es decir,
[texx]
E\subset\overline{E}\subset(B(x,\epsilon))^c \cup\{x\}.
[/texx]
si [texx]E'\subset\overline{E}[/texx] entonces [texx]E' \subset (B(x,\epsilon)\backslash \{x\})^c[/texx] por tanto [texx]  (B(x,\epsilon)\backslash \{x\}) \subset (E')^c[/texx] lo que se quería probar.

gracias por tu consejo queria saber si lo hice bien o si me puedes ayudar haciendolo mas formal.

Sólo tienes un fallo que te he marcado en rojo. De la negación de la definición de punto límite, lo que tienes es:

[texx]
(\color{red}\exists \epsilon>0\color{black})((B(x,\epsilon)\backslash \{x\} \cap E)= \emptyset)
[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #8 : 13/05/2016, 09:28:17 am »

Muchas gracias por su observación
Saludos,
Edison
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