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Autor Tema: Planteamiento de Problema Matemático  (Leído 1465 veces)
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CPJorgeMdz
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« : 02/05/2016, 11:35:29 pm »

Saludos compañeros requiero de su apoyo para ver si es que estoy planteando bien este problema y si es que es claro y entendible lo que se solicita, agradezco su apoyo y comentarios.

Gracias.

RELOJ PENDULO

Imaginemos un reloj que tiene marcadas solo tres horas, uno en donde regularmente se encuentra las cuatro, dos donde regularmente se encuentran las ocho y tres donde regularmente se encuentran las doce

Bien, ahora tenemos una manecilla que en vez de girar comúnmente, realiza un movimiento pendular,  y que avanza una vez por segundo iniciando de 3 a 1, de 1 a 2, de 2 a 3, de 3 a 2, de 2 a 1 y de 1 a 3, y comenzando de nuevo, realizando un ciclo completo en 6 segundos.

y un contador que nos dice cuantas veces se ha movido esta manecilla.

Cada vez que nuestra manecilla llegue a 1 a excepción de la primera vez,  se añadirá una nueva manecilla, que ira mas lento en el número de veces que señale el contador, es decir si al llegar la manecilla a 1, señalara el contador “3”, la segunda manecilla avanzara ⅓ más lento que la primer manecilla,  y seguirá su movimiento pendular considerado el primer tramo como ya avanzado, siguiendo el ejemplo del caso que contador señalara 3 al llega “1”, continuara esta manecilla hacia 2 pero ⅓ veces mas lento, independientemente si el movimiento pendular de primer manecilla va en este sentido.

Cuando nuestra manecilla incial marque “1” y una segunda o mas manecillas igualmente marquen “1”, entonces no se añadirá manecilla.

¿Cuántas manecillas se necesitan añadir, para que nuestra primer manecilla siempre encuentre otra manecilla en la posición “1”, y por consecuencia deje de añadir nuevas manecillas?

Qué número señalará el contador cuando se añada la última manecilla?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 03/05/2016, 06:12:31 am »

Hola


RELOJ PENDULO

Imaginemos un reloj que tiene marcadas solo tres horas, uno en donde regularmente se encuentra las cuatro, dos donde regularmente se encuentran las ocho y tres donde regularmente se encuentran las doce

Bien, ahora tenemos una manecilla que en vez de girar comúnmente, realiza un movimiento pendular,  y que avanza una vez por segundo iniciando de 3 a 1, de 1 a 2, de 2 a 3, de 3 a 2, de 2 a 1 y de 1 a 3, y comenzando de nuevo, realizando un ciclo completo en 6 segundos.

y un contador que nos dice cuantas veces se ha movido esta manecilla.

Cada vez que nuestra manecilla llegue a 1 a excepción de la primera vez,  se añadirá una nueva manecilla, que ira mas lento en el numero de veces que señale el contador, es decir si al llegar la manecilla a 1, señalara el contador “3”, la segunda manecilla avanzara ⅓ mas lento que la primer manecilla,  y seguirá su movimiento pendular considerado el primer tramo como ya avanzado, siguiendo el ejemplo del caso que contador señalara 3 al llega “1”, continuara esta manecilla hacia 2 pero ⅓ veces mas lento, independientemente si el movimiento pendular de primer manecilla va en este sentido.

Cuando nuestra manecilla incial marque “1” y una segunda o mas manecillas igualmente marquen “1”, entonces no se añadirá manecilla.

Cuantas manecillas se necesitan añadir, para que nuestra primer manecilla siempre encuentre otra manecilla en la posicion “1”, y por consecuencia deje de añadir nuevas manecillas?

Que numero señalara el contador cuando se añada la ultima manecilla?


Esta tabla ilustra como evoluciona el contador y la posición de la manecilla principal.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\textsf{contador}}&{}&{0}&{1}&{2}&{3}&{4}&{5}&{}&{6}&{7}&{8}&{9}&{10}&{11}&{}&{12}&{13}&{14}&{\ldots}\\
\hline
{\textsf{posición}}&{}&{3}&{1}&{2}&{3}&{2}&{1}&{}&{3}&{1}&{2}&{3}&{2}&{1}&{}&{3}&{1}&{2}&{\ldots}\\
\hline
\end{array}

Las nuevas manecillas se agregan cuando el contador vale [texx]6k-1[/texx] ó [texx]6k+1[/texx], con [texx]k[/texx] natural.

Si se añade una manecilla en cuando el contador vale [texx]v=6k-1[/texx], cada vez que la nueva varilla avance una unidad, la principal habrá avanzado [texx]v[/texx]. Por tanto si la nueva varilla avanzó [texx]n[/texx] unidades, la principal avanzó [texx]vn[/texx]. Para que ambas vuelvan a coincidir en un uno tendría que cumplirse simultáneamente que:

[texx]n=2[/texx] ó [texx]6[/texx] mod [texx]6[/texx]
[texx]vn=2[/texx] ó [texx]6[/texx] mod [texx]6[/texx]

Pero módulo [texx]6[/texx], [texx]vn=(6k-1)n=-n[/texx]. Por tanto la única posibilidad para que se cumplan simultáneamente ambas condiciones es que [texx]n=0[/texx] mód [texx]6[/texx]. El momento más próximo en el que eso ocurre es para [texx]n=6[/texx].

En resumen: si la manecilla se añadió cuando el contador valía [texx]v=6k-1[/texx] entonces, la primera vez que coincide otra vez sobre un uno con la manecilla principal es cuando el contador vale [texx]v+6v=7v.
[/texx]

Análogamente si se añade una manecilla en cuando el contador vale [texx]v=6k+1[/texx], cada vez que la nueva varilla avance una unidad, la principal habrá avanzado [texx]v[/texx]. Por tanto si la nueva varilla avanzó [texx]n[/texx] unidades, la principal avanzó [texx]vn[/texx]. Para que ambas vuelvan a coincidir en un uno tendría que cumplirse simultáneamente que:

[texx]n=4[/texx] ó [texx]6[/texx] mod [texx]6[/texx]
[texx]vn=4[/texx] ó [texx]6[/texx] mod [texx]6[/texx]

Pero ahora módulo [texx]6[/texx], [texx]vn=(6k+1)n=n[/texx]. Por tanto las dos ecuaciones anteriores son en realidad la misma. El valor más bajo de [texx]n[/texx] que las verifica es [texx]n=4[/texx].

En resumen: si la manecilla se añadió cuando el contador valía [texx]v=6k+1[/texx] entonces, la primera vez que coincide otra vez sobre un uno con la manecilla principal es cuando el contador vale [texx]v+4v=5v[/texx]

Bien, entonces la primera posición de la forma [texx]6k-1[/texx] en la que se encuentra el contador [texx]c[/texx] es cuando [texx]c=5.[/texx] Genera una nueva varilla que vuelve a coincidir en un uno con la principal cuando [texx]c=7\cdot 5=35[/texx].

La primera posición de la forma [texx]6k+1[/texx] en la que se encuentra el contador [texx]c[/texx] es cuando [texx]c=7.[/texx] Genera una nueva varilla que vuelve a coincidir en un uno con la principal cuando [texx]c=5\cdot 7=35[/texx].

Conclusión: se dejan de añadir manecillas cuando el contador llega a [texx]35[/texx].

Ahora sólo te queda contar cuantas manecillas se generaron en ese intervalo y donde estaba el contador cuando se añadió la última. Termina.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 03/05/2016, 06:16:58 pm »

Gracias Manco, tu respuesta me ha sido muy util,

Las varillas o manecillas generadas en tu respuesta serian 9

cuando llega al 5, 7,11,13,17,19,23,29,31

Pero aqui tengo creo un problema en mi planteamiento, ya que aunque al llegar el contador a 35, coinciden nuestra manecilla principal y dos secundarias la generada en c=5 y la generadan en c=7, no es la ultima, pero como no he puesto un limite, tu tomaste este primer limite en donde la respuesta correcta.

Entonces debo definir un limite hasta donde verificar la respuesta, ya que solo bastaria avanzar un poco con el contador y darnos cuenta que en 37 debiera añadirse una manecilla mas.

Añado entonces:

"Sabremos que no añadiremos manecillas, cuando la ultima llegue a 1, y en su intervalo no haya sido generada una nueva manecilla"

si la respuesta es, cuando el contador llegue hasta 35, la ultima manecilla fue 31, es decir le tomara 155 segundos llegar a 1, si entre 35 y 155, no se genero una nueva manecilla entonces habremos encontrado el final.

Espero haberme explicado adecuadamente

Saludos
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« Respuesta #3 : 04/05/2016, 07:32:55 am »

Hola

Gracias Manco, tu respuesta me ha sido muy util,

Las varillas o manecillas generadas en tu respuesta serian 9

cuando llega al 5, 7,11,13,17,19,23,29,31

Pero aqui tengo creo un problema en mi planteamiento, ya que aunque al llegar el contador a 35, coinciden nuestra manecilla principal y dos secundarias la generada en c=5 y la generadan en c=7, no es la ultima, pero como no he puesto un limite, tu tomaste este primer limite en donde la respuesta correcta.

Entonces debo definir un limite hasta donde verificar la respuesta, ya que solo bastaria avanzar un poco con el contador y darnos cuenta que en 37 debiera añadirse una manecilla mas.

No entiendo nada de lo que has dicho ahí, lo siento.

¿El enunciado del problema es inventado por ti o te lo han propuesto?.

Cita
Añado entonces:

"Sabremos que no añadiremos manecillas, cuando la ultima llegue a 1, y en su intervalo no haya sido generada una nueva manecilla"

si la respuesta es, cuando el contador llegue hasta 35, la ultima manecilla fue 31, es decir le tomara 155 segundos llegar a 1, si entre 35 y 155, no se genero una nueva manecilla entonces habremos encontrado el final.

Entiendo que estás modificando el enunciado inicial que pusiste en tu primer mensaje, es decir, estás variando las condiciones del problema.

En principio éste decía que si coincidía la manecilla principal y una de las agregadas en un uno, entonces ya no se generaban más manecillas.

Ahora sinceramente no entendiendo cuando dices que se dejan de generar manecillas. ¿Tiene que ver la posición de la manecilla principal o sólo influye la posición de la última manecilla generada?. Por otro lado en un recorrido del la última generada es imposible que alguna de las demás no pase por un uno...

En fin. No entiendo.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 05/05/2016, 02:56:50 am »

Saludos, el problema lo estoy tratando de plantear, mi intención es decir que la manecilla principal pasa por 1 varias veces y va generando nuevas manecillas que van siendo mas lentas en numero de veces que aparece en el contador cuando la manecilla principal llega a 1.

Despues de que pasa la primer vez, y el contador marcara 1, no tendría caso señalarlo ya que seria una manecilla con la misma velocidad

Posteriormente llegara a 1 varias veces antes de encontrarse con una manecilla secundaria,

cuando llega a 5, genera una nueva manecilla que va 1/5 veces mas lento, es decir el ciclo del péndulo le lleva 30 segundos y pasa por 1 cuando el contador marca  25, 35,55,65 etc

cuando llega a 7, genera una nueva manecilla que va 1/7 veces mas lento, es decir el ciclo del péndulo le lleva 42 segundos y pasa por 1 cuando el contador marca 35,49,

asi pues habra manecillas que vayan mas lento en 1/11, 1/13, 1/17, 1/19, 1/23 veces mas lento que la primer manecilla

pero no habra manecillas que vayan 1/25, 1/35, 1/49, etc mas lento que la primer manecilla.

Cuando digo que cuantas manecillas son necesarias para que "siempre" encuentre una manecilla secundaria en la posición 1, en realidad yo se que son infinito, lo quiero es mostrar el proceso en el ejemplo de un reloj pendular, ya que seria el conjunto de todos los números 6n+1 y el conjunto de todos los numeros 6n-1, disminuyendo el conjunto de todos los números (6n+1)*(6n+1), el conjunto de (6n+1)*(6n-1), y el conjunto de (6n-1)*(6n-1).

Esto es para demostrar la secuencia que siguen los números primos, y que provienen de un movimiento pendular, a diferencia de circular como regularmente se pretendería encontrar, y que las excepciones a números primos dentro de los números 6n±1, son porque son la repetición de la misma frecuencia pendular, pero a una frecuencia mas baja, y esta frecuencia es mas baja en numero de veces igual a 6n±1

Por ultimo señalar que los números primos 2 y 3, no son de la forma 6n±1, porque forma la base de nuestro sistema pendular al igual que l numero 1.

Siendo esta mi intencion, que tan correcto fue el planteamiento del problema?
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« Respuesta #5 : 05/05/2016, 03:19:54 am »

Adicionalmente, se muestran los números primos gemelos como el vaivén corto que se produce en la posicion 1,  y que tambien son infinitos, ya que las frecuencias mas cortas serian que 1/5 y 1/7 de veces, dejando espacio suficiente para que siempre exista un par de primos 6n+1 y 6n-1 consecutivos en su distancia mas corta.

Elabore un gráfica de frecuencias donde se muestra esto de forma visual, y es claramente visible este espacio para números primos gemelos, que aunque exista infinidad de frecuencias que son cada vez mas bajas, estas se aglomeran y se separan, dejando siempre un espacio disponible para números primos gemelos.
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« Respuesta #6 : 05/05/2016, 06:27:48 am »

Hola

Saludos, el problema lo estoy tratando de plantear, mi intención es decir que la manecilla principal pasa por 1 varias veces y va generando nuevas manecillas que van siendo mas lentas en numero de veces que aparece en el contador cuando la manecilla principal llega a 1.

Despues de que pasa la primer vez, y el contador marcara 1, no tendría caso señalarlo ya que seria una manecilla con la misma velocidad

Posteriormente llegara a 1 varias veces antes de encontrarse con una manecilla secundaria,

cuando llega a 5, genera una nueva manecilla que va 1/5 veces mas lento, es decir el ciclo del péndulo le lleva 30 segundos y pasa por 1 cuando el contador marca  25, 35,55,65 etc

cuando llega a 7, genera una nueva manecilla que va 1/7 veces mas lento, es decir el ciclo del péndulo le lleva 42 segundos y pasa por 1 cuando el contador marca 35,49,

asi pues habra manecillas que vayan mas lento en 1/11, 1/13, 1/17, 1/19, 1/23 veces mas lento que la primer manecilla

pero no habra manecillas que vayan 1/25, 1/35, 1/49, etc mas lento que la primer manecilla.

Cuando digo que cuantas manecillas son necesarias para que "siempre" encuentre una manecilla secundaria en la posición 1, en realidad yo se que son infinito, lo quiero es mostrar el proceso en el ejemplo de un reloj pendular, ya que seria el conjunto de todos los números 6n+1 y el conjunto de todos los numeros 6n-1, disminuyendo el conjunto de todos los números (6n+1)*(6n+1), el conjunto de (6n+1)*(6n-1), y el conjunto de (6n-1)*(6n-1).

Esto es para demostrar la secuencia que siguen los números primos, y que provienen de un movimiento pendular, a diferencia de circular como regularmente se pretendería encontrar, y que las excepciones a números primos dentro de los números 6n±1, son porque son la repetición de la misma frecuencia pendular, pero a una frecuencia mas baja, y esta frecuencia es mas baja en numero de veces igual a 6n±1

Por ultimo señalar que los números primos 2 y 3, no son de la forma 6n±1, porque forma la base de nuestro sistema pendular al igual que l numero 1.

Siendo esta mi intencion, que tan correcto fue el planteamiento del problema?

Yo aquí ya no tengo opinión.

Si tienes algún resultado concreto que se pueda demostrar con ese enfoque, pues lo vemos.

Adicionalmente, se muestran los números primos gemelos como el vaivén corto que se produce en la posicion 1,  y que tambien son infinitos, ya que las frecuencias mas cortas serian que 1/5 y 1/7 de veces, dejando espacio suficiente para que siempre exista un par de primos 6n+1 y 6n-1 consecutivos en su distancia mas corta.

Elabore un gráfica de frecuencias donde se muestra esto de forma visual, y es claramente visible este espacio para números primos gemelos, que aunque exista infinidad de frecuencias que son cada vez mas bajas, estas se aglomeran y se separan, dejando siempre un espacio disponible para números primos gemelos.

Parecieras sugerir que con tu planteamiento demuestras que los primos gemelos son infinitos; si fuese así deberías de intentar escribir una demostración. Si sólo tienes indicios gráficos, está muy bien; pero no llega como una prueba.

Saludos.
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