18/06/2019, 11:52:51 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Prueba teorema análisis complejo.  (Leído 3647 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 996

I'm back^2.


Ver Perfil
« : 02/05/2016, 02:59:29 am »

Antes de exponer el teorema hagamos estas observaciones:

Sea [texx]f : \emptyset \neq A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/texx]. Entonces tendremos dos funciones [texx]\operatorname{Re} f : \mathbb{C} \to \mathbb{R}[/texx] y [texx]\operatorname{Im}f : \mathbb{C} \to \mathbb{R}[/texx]. Parece ser que existe una analogía con [texx]g : A\subset \mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}[/texx] definida como [texx]g(\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)) = (\operatorname{Re}(f), \operatorname{Im}(f)) [/texx]: la función [texx]f[/texx] se puede interpretar como una función de [texx]\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/texx]. Además, sea [texx]a \in \mathbb{C}[/texx] con [texx]a= a_1 + ia_2[/texx] y sea [texx]T_a : \mathbb{C} (\equiv \mathbb{R}^2) \to \mathbb{C} (\equiv \mathbb{R}^2) [/texx] una aplicación lineal definida por [texx]T_a (z) = az \hspace{0.5cm} \forall z \in \mathbb{C}[/texx]. Así, la aplicación [texx]T_a[/texx] (cuya base canónica en [texx]R^2[/texx] es [texx]\{1,i\}[/texx]) tiene como matriz asociada [texx]\begin{pmatrix}{a_1}&{-a_2}\\{a_2}&{a_1}\end{pmatrix}[/texx].

Como podemos considerar a [texx]f[/texx] como una función [texx]A \to \mathbb{R}^2[/texx] diremos que [texx]f[/texx] es diferenciable en el sentido real si existe una transformación lineal [texx]Df:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2[/texx] tal que

[texx]\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0) - Df(z_0)(z-z_0)}{|z-z_0|} = 0[/texx]

donde estamos tomando la equivalencia (que vimos en la analogía) de que dado un [texx]z \in A \subset \mathbb{C}[/texx] le asociamos el vector [texx](\operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z))[/texx] de [texx]\mathbb{R^2}[/texx].

Nota: cuando digo que [texx]f = u + iv[/texx] es diferenciable en el sentido real obviamente me refiero a que [texx]f[/texx] es diferenciable en el sentido real si y sólo si [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx] son diferenciables. Es decir, si [texx]c = a + ib[/texx] en general podemos escribir que

[texx]R(z) = f(z) - f(z_0) - c(z-z_0) = [u(z) - u(z_0) - a(x-x_0) + b(y-y_0)] + i [v(z) - v(z_0) - b(x-x_0) - a(y-y_0)] = R_1(z) + iR_2(z)[/texx]

y si ahora dividmos todo por [texx] (z-z_0) [/texx] tenemos que

[texx]\displaystyle \lim_{z\to z_0}\dfrac{R(z)}{z-z_0} = 0 \iff \lim_{z\to z_0}\dfrac{R_1(z)}{z-z_0} = 0[/texx] y [texx]\displaystyle \lim_{z\to z_0}\dfrac{R_2(z)}{z-z_0} = 0[/texx]

Demostramos el siguiente teorema:

Teorema: Sea [texx]f : A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/texx] tal que [texx]f \thicksim
 (u,v) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2[/texx] (con la analogía ya vista) y sea [texx]z_0 \in A[/texx]. Entonces [texx]f[/texx] es derivable en [texx]z_0  = x_0 + iy_0 \iff u(x,y)[/texx] y [texx]v(x,y)[/texx] son funciones diferenciables en el sentido real en [texx](x_0,y_0)[/texx] y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este mismo punto.

    __

Demostración:

[texx](\Longrightarrow)[/texx]

Puesto que [texx]f[/texx] es derivable, podemos escribir:

[texx]0 = \displaystyle \lim_{z\to z_0} \left |\dfrac{ f(z) - f(z_0)}{z - z_0} - f'(z_0) \right | = \lim_{z\to z_0} \dfrac{\left | f(z) - f(z_0) - f'(z_0)\cdot (z-z_0)\right |}{\left | z - z_0 \right |}[/texx]

y si hacemos [texx]z_0 = (x_0,y_0)[/texx] y escogemos [texx]Df(z_0) = T_{f'(z_0)} = \begin{pmatrix}{\operatorname{Re}f'(z)}&{-\operatorname{Im}f'(z)}\\{\operatorname{Im}f'(z)}&{\operatorname{Re}f'(z)}\end{pmatrix}[/texx] entonces [texx]f[/texx] es diferenciable en el sentido real.

Escribiendo la matriz Jacobiana real [texx]Df[/texx] en la base canónica de [texx]\mathbb{R}^2[/texx], es trivial ver que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen obteniendo la equivalencia [texx]f'(z_0) = u_x + iv_x = v_y - iu_y[/texx] y por tanto el directo queda probado.

[texx](\Longleftarrow)[/texx]

Recíprocamente, por las ecuaciones de Cauchy-Riemann la matriz jacobiana es

[texx]Df = \begin{pmatrix}{u_x}&{-v_x}\\{v_x}&{v_x}\end{pmatrix} =  T_{c} [/texx]

siendo [texx] c = u_x + iv_x[/texx]. De esto se sigue que [texx]Df(z_0)(z-z_0) = c\cdot(z-z_0)[/texx] y de la definición de diferenciabilidad en el sentido real:

[texx]\displaystyle \begin{aligned} 0&=\lim_{z \to z_0} \dfrac{\left | f(z) - f(z_0) - Df(z_0)(z-z_0) \right |}{|z-z_0|} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{ \left | f(z) - f(z_0) - c\cdot(z-z_0) \right |}{|z-z_0|} = \lim_{z\to z_0} \left | \dfrac{ f(z) - f(z_0)}{z - z_0} - c \right | \\ &\iff \exists f'(z_0) = c \equiv u_x + iv_x = v_y - iu_y \end{aligned}[/texx] 

completando la demostración del teorema.
[texx]\square[/texx]                                       

Demostración alternativa: (Teorema 2.2)
Motivación de esta demostración: Carlos Ivorra - Variable compleja: Teorema 2.2
Demostración similar: Páginas 3-4
En línea

Lo escrito en azul significa que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.
Samir M.
Physicsguy.
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 996

I'm back^2.


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 02/05/2016, 04:06:44 pm »

La 'motivación' de la definición que he dado de función diferenciable en el sentido complejo proviene de la definición en el sentido real: yo sé que una función [texx]f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 [/texx] será diferenciable en el punto [texx]z_0 \in \mathbb{R}^2[/texx] si y sólo si existe una aplicación lineal [texx]T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 [/texx] tal que

[texx]\displaystyle \lim_{z\to z_0} \dfrac{||f(z) - f(z_0) - T(z-z_0)||}{||z-z_0||} = 0[/texx]  (1)

Por otra parte, yo sé que una función [texx]f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}[/texx] será derivable en el punto [texx]z_0 \in \mathbb{C}[/texx] si y sólo si existe [texx]\lambda \in \mathbb{C}[/texx] tal que

[texx]\displaystyle 0 =  \lim_{z\to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0) - \lambda (z-z_0)}{z - z_0}[/texx] o lo que es lo mismo [texx]0 = \displaystyle \lim_{z\to z_0} \dfrac{\left | f(z) - f(z_0) - \lambda (z-z_0) \right |}{\left | z - z_0 \right |}[/texx]            (2)
     

y en tal caso se tiene que [texx]\lambda = f'(z_0)[/texx].

Si en la primera definición usamos la norma euclídea, la única diferencia entre (1) y (2) reside en que en (2) vemos a [texx]z-z_0[/texx] como un número complejo multiplicado [texx]\lambda[/texx] mientras que en (1) lo vemos como un vector de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]  al que le aplicamos la función [texx]T[/texx]. Por tanto, tenemos que aclarar esta diferencia.

Fijémonos que si nosotros escribimos nuestra [texx]\lambda \in \mathbb{C}[/texx] como [texx]\lambda = a_1 + i a_2[/texx] con [texx]a_1,a_2 \in \mathbb{R}[/texx] se observa claramente que la multiplicación por [texx]\lambda[/texx] la podemos interpretar como una aplicación lineal de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] en [texx]\mathbb{R}^2[/texx] con la base usual de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]:

[texx]\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}  \mapsto \begin{pmatrix}{a_1x}&{-a_2y}\\{a_2x}&{a_1 y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{a_1}&{-a_2}\\{a_2}&{a_1 }\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}[/texx]

Por tanto, si [texx]\lambda[/texx] verifica (2) tomando como [texx]T[/texx] la multiplicación por [texx]\lambda[/texx] tenemos (1), y además, la matriz asociada a [texx]T[/texx] en nuestra base usual de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] (la matriz Jacobiana de [texx]f[/texx] en el punto [texx]z_0[/texx]) la podemos escribir como [texx]\begin{pmatrix}{a_1}&{-a_2}\\{a_2}&{a_1 }\end{pmatrix}[/texx] identificando [texx]a_1 = \operatorname{Re} \lambda[/texx] y [texx]a_2 = \operatorname{Im} \lambda[/texx]. Pero claro, recíprocamente, si se verifica (1) y además la matriz jacobiana de [texx]f[/texx] en el punto [texx]z_0[/texx] tiene la forma [texx]\begin{pmatrix}{a_1}&{-a_2}\\{a_2}&{a_1 }\end{pmatrix}[/texx] con [texx]a_1, a_2 \in \mathbb{R}[/texx] y si definimos [texx]\lambda = a_1 + ia_2[/texx] tenemos de nuevo (2).

Esta motivación es, de hecho, una forma alternativa a la demostración usual de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pues no hay más que escribir la matriz jacobiana usual de [texx] \mathbb{R}^2[/texx] e igualar ambas matrices para obtenerlas (recuérdese que, como hemos demostrado en el anterior post, la diferenciación de [texx]f[/texx] en el sentido real equivale a la diferenciabilidad de sus funciones componentes [texx]u[/texx] y [texx]v[/texx]). Puede que ayude a comprender esto el hecho de considerar [texx]\mathbb{C}[/texx] como un 2-dimensional espacio vectorial sobre [texx]\mathbb{R}[/texx] y notando que es isomorfo a [texx]\mathbb{R}^2[/texx].
En línea

Lo escrito en azul significa que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.
pepiso
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 218


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 30/12/2018, 02:51:22 pm »

Hola, tengo una duda bastante importante, cuando hablamos de diferenciabilidad en sentido complejo a que nos referimos es decir, ¿es equivalente a hablar de derivabilidad?
En línea
manooooh
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Argentina Argentina

Mensajes: 2.179


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 30/12/2018, 03:42:53 pm »

Hola

Hola, tengo una duda bastante importante, cuando hablamos de diferenciabilidad en sentido complejo a que nos referimos es decir, ¿es equivalente a hablar de derivabilidad?

Siguiendo la analogía con variable real, te diría que sí (si es que hablás de una variable compleja).

Feliz Año
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.463


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 30/12/2018, 06:08:11 pm »

Hola

Hola, tengo una duda bastante importante, cuando hablamos de diferenciabilidad en sentido complejo a que nos referimos es decir, ¿es equivalente a hablar de derivabilidad?

Si.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!