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Autor Tema: Variación acotada en intervalos abiertos  (Leído 943 veces)
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elmoreno
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« : 23/04/2016, 11:56:49 pm »

Buenas a todos!!!

Este semestre en teoría de la medida, estábamos viendo funciones de variación acotada. Resulta que una función [texx]f[/texx] de variación acotada se puede escribir como la diferencia de don funciones crecientes ([texx]f=g-h[/texx] donde [texx]g, h[/texx] son crecientes en [texx][a,b][/texx]). Éste resultado lo reconozco como el Teorema de Jordan.

Mi problema es entonces que no sé cómo demostrar el teorema de Jordan para intervalos abiertos. Es decir, dada una función [texx]f[/texx] de variación acotada definida en un intervalo abierto, entonces [texx]f=g-h[/texx] donde [texx]g, h[/texx] son funciones crecientes acotadas (acotadas en el sentido que [texx]\left |{f(x)}\right |<+\infty[/texx] para todo punto [texx]x[/texx] en el intervalo abierto)).

Si tienen alguna sugerencia, sería muy útil.

Pdta 1: Se me olvidaba dar la definición de función de variación acotada en intervalo abierto:

[texx]f[/texx] definida en un intervalo real abierto es de variación acotada [texx]V(a,b)[/texx] si dado cualquier subintervalo [texx][c,d][/texx] de [texx](a,b)[/texx] el límete de [texx]V[c,d][/texx] es finito cuando [texx]c\rightarrow{a^{+}}[/texx] y [texx]d\rightarrow{b^{-}}[/texx].
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elmoreno
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« Respuesta #1 : 24/04/2016, 11:33:39 am »

Hola a todos de nuevo !!

Todavía no sé cómo probar el teorema de Jordan para intervalos abiertos. Sin embargo he hecho un pequeño avance en el problema: He probado el teorema de Jordan para un intervalo semiabierto. Es decir, si [texx]f[/texx] es de variación acotada en un intervalo semiabierto [texx][a,b)[/texx] entonces [texx]f=g-h[/texx] donde [texx]g, h[/texx] son funciones crecientes  acotadas en [texx][a,b)[/texx]. La prueba es la siguiente (si es que es correcta):

Sea [texx]V[a,b)[/texx] la variación de [texx]f[/texx] en [texx][a,b)[/texx]. Hagamos [texx]L=V[a,b)[/texx] (por ser variación acotada). Tenemos que [texx]V[a,x]\leq{V[a,b)}[/texx] para todo [texx]x\in (a,b)[/texx]. Sea [texx]P(x)=P[a,x][/texx], y [texx]N(x)=N[a,x][/texx] donde [texx]P[a,x][/texx] y [texx]N[a,x][/texx] son la variación positiva y negativa de [texx]f[/texx] en [texx][a,x][/texx]. Las funciones [texx]P, N[/texx] son acotadas y crecientes. Finalmente, [texx]f(x)=[P(x)+f(a)]-N(x)[/texx] cuando [texx]x \in [a,b)[/texx]. Es decir, [texx]f[/texx] es la diferencia de dos funciones crecientes definidas en [texx][a,b)[/texx].

Pensé que este resultado me serviría para simplificar el análisis cuando el intervalo es abierto, pero todavía no he podido saberlo utilizar correctamente. Si alguien tiene alguna indicación, es bienvenida.
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