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Autor Tema: Número irracional  (Leído 4574 veces)
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Gaussito
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« : 22/04/2016, 09:03:53 pm »

Tengo una pregunta que debería tener una respuesta sencilla, sin embargo he consultado a varios colegas profesores de Matemática (más de 100) y ninguno me ha podido dar luces de la respuesta, dice así:

Dado un número cuya parte decimal infinita no presenta nunca periodo, demostrar que es un número irracional.

Tengo algunas ideas de cómo demostrar esto, pero no sé si exista algún teorema con el cual la demostración sea más directa.

Saludos.
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héctor manuel
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« Respuesta #1 : 22/04/2016, 09:18:59 pm »

No pues... tú? qué conjeturas? Es raro que hayan mas de 100 profesores de matemáticas que digan que no saben por qué... Velo al revés.. Hay una cadena que se repite infinitas veces y eso lo hace racional. De hecho, quizás lo que preguntes es por qué con eso con basta para ser racional.

Saludos, Héctor.
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Gaussito
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« Respuesta #2 : 22/04/2016, 10:26:29 pm »

Amigo Héctor, lo que planteas es cierto, un número que tenga una cadena de decimales que se repite infinitas veces, es evidentemente un número racional y existe un método muy preciso para transformarlo en una división de dos enteros, sin embargo, mi pregunta radica en la demostración de que "un número sin cadenas que se repitan, es imposible expresarlo como la división de dos enteros", eso no está demostrado en ninguno de los libros que he estudiado y es un hecho que se asume como cierto sin que te den razones de porqué esto es así.

Voy a hacer un pequeño recuento de cómo nació esta pregunta. Estaba dando clases de Matemáticas e hice la temeraria afirmación de que cada vez que yo dividía dos números enteros, necesariamente se generaba un decimal con una cadena que se repetía infinitas veces, un estudiante intervino y me dijo que lo explicara con un ejemplo, coloqué en la pizarra esta división [texx]\displaystyle\frac{352}{1253}[/texx] y la dejé de tarea, por supuesto que en la clase siguiente nadie logró encontrar la cadena que se repetía, a pesar de que encontraron manualmente los primeros 50 decimales. Me fui con la incógnita y metí la división en una calculadora de una página web y resultó que la cadena tenía nada menos que 524 cifras.

Inmediatamente me vino a la mente, si la división de dos números enteros relativamente pequeños como los que mencioné, da un periodo de 524 cifras, me pregunto que si escribo un número entero cuyas cifras le den la vuelta a la Tierra y lo divido entre otro cuyas cifras sean de la distancia entre el Sol y la Luna, qué me permite afirmar que la división será con periodo, además cuántas cifras tendrá ese periodo.

Así fue como me di cuenta de que a pesar de que todo el mundo asume que un número irracional no tiene cadenas repetidas infinitas veces en su parte decimal, nadie hace nunca esta demostración y además no justifican porqué este hecho es cierto.

PD. Lo de los 100 profesores es totalmente cierto, hace como un mes estaba en un encuentro de profesores de Matemáticas e hice el planteamiento a todo el grupo y ninguno me supo dar respuesta (quizás sea porque se tomaron la pregunta como muy evidente para responderme, pero yo no la veo tan obvia).
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #3 : 23/04/2016, 06:28:40 am »

Si [texx] q [/texx] tiene  su parte decimal periódica  entonces racional y ahora hacer el contrarrecíproco.
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Gaussito
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« Respuesta #4 : 23/04/2016, 09:53:54 am »

Amigo Juan, aunque no soy experto en Lógica, creo que debemos tener cuidado cuando la aplicamos, por ejemplo: z es entero entonces es racional (verdad), por contrarrecíproco, z no es entero entonces no es racional???

Por esto creo que para poder aplicar el contrarrecíproco en la pregunta que planteo, necesariamente hay que estar seguros de que el conjunto de los números racionales está formado exclusivamente por números con su parte decimal periódica. Y así llegamos al meollo del asunto, todo se trata de demostrar que la división de dos enteros da un número decimal periódico.
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elcristo
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« Respuesta #5 : 23/04/2016, 10:52:52 am »

Hola.

Creo que es consecuencia inmediata de la definición.

Un número es irracional si tiene infinitas cifras decimales no periódicas. ¿Por qué? Porque en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción. Luego todo número expresado en forma decimal con período es racional, por lo tanto, si no lo tiene, es irracional, porque ambos conjuntos dentro de [texx]\mathbb{R}[/texx] son complementarios.

Saludos.
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Rectilíneo
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« Respuesta #6 : 23/04/2016, 11:13:45 am »

Tu pregunta es bastante extraña, la propia definición dice que un número racional es aquel que puede representarse como el cociente de dos números enteros.

Inmediatamente me vino a la mente, si la división de dos números enteros relativamente pequeños como los que mencioné, da un periodo de 524 cifras, me pregunto que si escribo un número entero cuyas cifras le den la vuelta a la Tierra y lo divido entre otro cuyas cifras sean de la distancia entre el Sol y la Luna, qué me permite afirmar que la división será con periodo, además cuántas cifras tendrá ese periodo.

Así fue como me di cuenta de que a pesar de que todo el mundo asume que un número irracional no tiene cadenas repetidas infinitas veces en su parte decimal, nadie hace nunca esta demostración y además no justifican porqué este hecho es cierto.

Da igual lo inmensos que sean los números enteros que escojas para hacer el cociente, el número resultante de esa división siempre será racional.

Creo que tu duda se basa en esto. Por ejemplo, voy a dar dos números expresados en forma decimal:

[texx]1) 2.6457513110645905905016157536392604257102591830824501803683344592010688232302... [/texx]
[texx]2) 2.6457513110645905905016157536392604257102591830824501803683344592010688232302... [/texx]

Uno de los dos es racional y el otro irracional, ¿cómo puedes saber cuál de los dos es racional? Pues no se puede saber, ya que los dos números están aproximados. Puede que en el siguiente decimal del primer número empiece a repetirse otra vez la serie .645751... y en el segundo no. Es decir, el primero puede que sea un número racional periódico puro y el segundo irracional.

Por eso es mejor dar el número como división de dos enteros en caso de que sea racional.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #7 : 23/04/2016, 11:26:39 am »

¿Cómo calculas las cifras decimales de un número racional a/b? Aplicas el algoritmo de la división euclídea con [texx]a[/texx] como dividendo y [texx]b[/texx] como divisor. Cada cifra nueva depende del último resto. Concretamente, si en un momento de la división tienes un resto [texx]r[/texx], le añades un cero, es decir, pasas a [texx]10r[/texx] y divides [texx]10 r= bc + r'[/texx], donde el cociente [texx]c[/texx] es la nueva cifra decimal y [texx]r'[/texx] es el resto siguiente.

Esto hace que si en un momento dado se repite un resto [texx]r[/texx] que ya había aparecido antes, entonces la nueva cifra decimal que añades es la misma que habías añadido la primera vez y el nuevo resto [texx]r'[/texx] es el mismo que calculaste la vez anterior. Por lo tanto, en cuanto se repite un resto, entras necesariamente en un desarrollo decimal periódico.

Ahora bien, como los restos sólo pueden variar entre [texx]0[/texx] y [texx]b-1[/texx], sucede que en un máximo de [texx]b+1[/texx] pasos se tiene que repetir un resto, luego el desarrollo decimal de un número racional es siempre finalmente periódico.

Y ahora interviene la lógica: si los desarrollos decimales de los números racionales son siempre periódicos y un número dado no tiene un desarrollo periódico, entonces necesariamente es irracional.
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feriva
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« Respuesta #8 : 23/04/2016, 12:14:14 pm »

Tengo una pregunta que debería tener una respuesta sencilla, sin embargo he consultado a varios colegas profesores de Matemática (más de 100) y ninguno me ha podido dar luces de la respuesta, dice así:

Dado un número cuya parte decimal infinita no presenta nunca periodo, demostrar que es un número irracional.


¿Demostrar que es periódico en qué base, en base 10, en base 3..? En base 10, ningún número natural dividido entre entre 2 o entre 5 dará un cociente periódico jamás, porque son los primos que componen la base. Con eso se dice todo.

Ah, no, que es irracional; pues ni cambiando de base se puede evitar que salgan infinitos números

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Saludos.
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Gaussito
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« Respuesta #9 : 23/04/2016, 07:03:26 pm »

Creo que la exposición del señor Ivorra, es la razón fundamental de que un número sin decimales periódicos sea considerado irracional, pero me llama la atención que un gran número de personas que se dedica al estudio de la Matemática, acepten este hecho como una verdad y no se pregunten la razón por la cual esto es así, además lo consideran algo tan evidente, que ni se preocupan en demostrarlo.

Del comentario de Ivorra extraigo un corolario que dice así:

"El número de cifras que contiene el período resultante de la división de dos enteros, siempre es menor que el denominador"

En cuanto a los otros comentarios, me parece cortés el responder.

1. Rectilineo: creo que no entendiste la prengunta;

2. Elcristo: tu razonamiento lógico está errado, cuando dices:

Todo número expresado en forma decimal con período es racional, por lo tanto, si no lo tiene, es irracional, porque ambos conjuntos dentro de [texx]\mathbb{R}[/texx] son complementarios.

... Estas suponiendo que el conjunto de los números racionales, solamente está formado por número con decimales periódicos, y esta afirmación es la que digo que todo el mundo toma como cierta, sin que nadie de razones de porqué es así (a excepción de Ivorra que acaba de explicar la razón).

3. Feriva: creo que tu afirmación es falsa:

Ningún número natural dividido entre entre 2 o entre 5 dará un cociente periódico jamás, porque son los primos que componen la base. Con eso se dice todo.

... Un contraejemplo, 9/2 = 4,500000000.... jejejejejeje, es decir, período "cero". Quizás mi argumento te moleste, y no sé si tenga fundamento matemático, pero para mí los números reales se dividen en dos clases exclusivas, los que tienen es su parte decimal períodos (Q) y los que en su parte decimal nunca llegan a tenerlos (I), la unión de estos dos conjuntos complementarios conforman los reales. En cuanto al cambio de base del 1/3 en base 3, cuyo resultado es 0,1000000000.... te diría que también tiene período "cero", sin embargo, a pesar de que tu exposición me abrió un poco la visión del problema, creo que no contribuye a la solución de mí planteamiento, además cuando dices:

Los números racionales, a raíz de lo visto, nunca tienen infinitas cifras...

Me disculpas pero con el razonamiento que diste no lo veo para nada, creo que debes leer la explicación de Ivorra, que sí justifica el hecho de que los racionales siempre tienen período.

Saludos.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #10 : 23/04/2016, 07:26:44 pm »

Amigo Juan, aunque no soy experto en Lógica, creo que debemos tener cuidado cuando la aplicamos, por ejemplo: z es entero entonces es racional (verdad), por contrarrecíproco, z no es entero entonces no es racional???

Por esto creo que para poder aplicar el contrarrecíproco en la pregunta que planteo, necesariamente hay que estar seguros de que el conjunto de los números racionales está formado exclusivamente por números con su parte decimal periódica. Y así llegamos al meollo del asunto, todo se trata de demostrar que la división de dos enteros da un número decimal periódico.

Eso no es el contrarrecíproco.

El contrarrecíproco sería [texx] z [/texx] no es racional entonces [texx] z [/texx] no es entero.
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feriva
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« Respuesta #11 : 23/04/2016, 07:31:20 pm »


... Un contraejemplo, 9/2 = 4,500000000.... jejejejejeje, es decir, período "cero". Quizás mi argumento te moleste, y no sé si tenga fundamento matemático, pero para mí los números reales se dividen en dos clases exclusivas, los que tienen es su parte decimal períodos (Q) y los que en su parte decimal nunca llegan a tenerlos (I), la unión de estos dos conjuntos complementarios conforman los reales. En cuanto al cambio de base del 1/3 en base 3, cuyo resultado es 0,1000000000.... te diría que también tiene período "cero", sin embargo, a pesar de que tu exposición me abrió un poco la visión del problema, creo que no contribuye a la solución de mí planteamiento, además cuando dices:


Por favor, no me molesta en absoluto y además estoy de acuerdo; pero ya entiendes a qué me refería :sonrisa:

Cita

Me disculpas pero con el razonamiento que diste no lo veo para nada, creo que debes leer la explicación de Ivorra, que sí justifica el hecho de que los racionales siempre tienen período.


Claro que he leído la explicación de Carlos; y no puedo estar más de acuerdo; da la única demostración posible a mi entender, porque describe el algoritmo de la división y lo que ocurre con los números periódicos; que es a lo que yo me refería cuando decía que es un método; no tiene más demostración que explicar el método y lo que pasa.

Saludos.


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Carlos Ivorra
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« Respuesta #12 : 23/04/2016, 07:40:35 pm »

Del comentario de Ivorra extraigo un corolario que dice así:

"El número de cifras que contiene el período resultante de la división de dos enteros, siempre es menor que el denominador"

Cierto. Yo había dicho que el resto puede variar entre [texx]0[/texx] y [texx]b-1[/texx], pero en realidad es entre [texx]1[/texx] y [texx]b-1[/texx], porque si un resto vale 0 el desarrollo decimal es finito. Si hablamos de decimales infinitos, entonces la repetición tiene que llegar como muy tarde al cabo de [texx]b[/texx] pasos y la longitud del periodo es menor que el denominador [texx]b[/texx]. Incluso, hilando más fino, la suma de la longitud del periodo y del posible anteperiodo es menor que el denominador.
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Gaussito
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« Respuesta #13 : 23/04/2016, 09:16:58 pm »

Aunque sé que el tema ya está agotado, me gustaría saber si existe alguna forma de calcular el número de cifras que tiene el período, dada la división de dos enteros a y b. Sé que la calculadora de wolframgalpha.com, da el número de cifras que tiene el período, pero no sé si lo calculan mediante una fórmula matemática o a través de un algoritmo de programación.
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elcristo
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« Respuesta #14 : 24/04/2016, 07:27:41 am »

Hola.



2. Elcristo: tu razonamiento lógico está errado, cuando dices:

Todo número expresado en forma decimal con período es racional, por lo tanto, si no lo tiene, es irracional, porque ambos conjuntos dentro de [texx]\mathbb{R}[/texx] son complementarios.

... Estas suponiendo que el conjunto de los números racionales, solamente está formado por número con decimales periódicos, y esta afirmación es la que digo que todo el mundo toma como cierta, sin que nadie de razones de porqué es así (a excepción de Ivorra que acaba de explicar la razón).


No, no lo estoy suponiendo. Estoy diciendo:

Porque en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción.

Por lo tanto, desde que existe el algoritmo para pasar de decimal a racional (Que en el fondo se basa en la división euclídea, si no me equivoco) se establece una relación que a cada número decimal infinito periódico le asocia una fracción (Y si es finito también). Y desde el momento en que sabemos que existe un número que no es racional ([texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] por ejemplo) y que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no puede existir un algoritmo que transforme un número con infinitas cifras decimales no periódicas en una fracción, porque si no debería servir para [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] también, por lo tanto no es posible transformar un número con infinitas cifras no periódicas en una razón y así debe ser que si tiene infinitas cifras no periódicas no es racional.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #15 : 24/04/2016, 08:00:40 am »

No, no lo estoy suponiendo. Estoy diciendo:

Porque en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción.

Por lo tanto, desde que existe el algoritmo para pasar de decimal a racional (Que en el fondo se basa en la división euclídea, si no me equivoco) se establece una relación que a cada número decimal infinito periódico le asocia una fracción (Y si es finito también).

Tiene razón Gaussito. Con eso estás diciendo que todo número decimal periódico es racional, y de ahí no puedes deducir que todo número decimal no periódico es irracional.

Y desde el momento en que sabemos que existe un número que no es racional ([texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] por ejemplo) y que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no puede existir un algoritmo que transforme un número con infinitas cifras decimales no periódicas en una fracción, porque si no debería servir para [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] también, por lo tanto no es posible transformar un número con infinitas cifras no periódicas en una razón y así debe ser que si tiene infinitas cifras no periódicas no es racional.

Lo último es cierto, obviamente, pero tu argumento no lo prueba. A priori, podría existir un algoritmo que transformara algunos números decimales no periódicos en números racionales, pero que no fuera aplicable a todos, sino sólo a los presuntos racionales con decimales no periódicos. Lo cierto es que no existe tal cosa, pero no puedes deducirlo del hecho de que [texx]\sqrt 2[/texx] tenga un desarrollo no periódico. De hecho, no sé si podrías demostrar que eso es cierto sin usar lo que quieres probar, es decir, que como es irracional su desarrollo no es periódico.
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elcristo
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« Respuesta #16 : 24/04/2016, 08:59:33 am »

Hola.

Vale, entiendo.

Y no, no sería capaz de probar eso del desarrollo de [texx]\sqrt[ ]{2}[/texx] sin probar que es irracional y usando que los irracionales tienen infinitas cifras no periódicas.

Saludos.
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« Respuesta #17 : 24/04/2016, 08:26:06 pm »

Quisiera seguir deduciendo corolarios de la explicación que ofreció Ivorra, y así desmontar un argumento que hemos estado tomando como cierto a pesar de que es falso. El argumento que quiero desmentir es el siguiente:

...en el momento que existe un período, sea el que sea de la longitud que sea, existe un algoritmo definido para calcular la expresión en forma de fracción.

Corolario 2. "Los números decimales con período 9, no pueden ser expresados como la división de dos enteros"

En otras palabras, jamás encontraremos una división de dos enteros, cuyo resultado sea de la forma: #,#99999999....

Demostración (Método de reducción al absurdo):

Hipótesis: Sea k = #,#999999.....
Tesis: entonces k = a/b

De la hipótesis podemos concluir que al aplicar el algoritmo de la división, existe un [texx]r_n[/texx] que comienza a repetirse indefinidamente (esto es facilmente demostrable), es decir que:

[texx]r_{n-1} = 9b + r_n[/texx] (con [texx]r_n < b[/texx]) (I)

[texx]10 . r_n = 9b + r_n[/texx]

De aquí que:

[texx]r_{n-1} = 10 . r_n[/texx]

Ahora, sustituyendo [texx]r_{n-1}[/texx] en (I), nos queda:

[texx]10 . r_n = 9b + r_n[/texx]

Luego;

[texx]r_n = b[/texx] (Contradicción puesto que [texx]r_n<b[/texx])

Esta contradicción proviene de suponer que el número k = #,#9999999.... se puede expresar como la división de dos enteros, en consecuencia, queda demostrado que:

"Los números decimales con período 9, no pueden ser expresados como la división de dos enteros"

En consecuencia, todos los números de la forma #,#999999999.... son irracionales, jejejejejejejejeje (No mentira, esto lo digo bromeando).

PD. Estos razonamientos no afectan para nada la demostración de Ivorra, puesto que en ningún momento utiliza este argumento.
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« Respuesta #18 : 24/04/2016, 08:43:43 pm »

Si tienes :

[texx] m.\overline{a_1,a_2, \cdots ,a_n}  [/texx]

Donde [texx] m [/texx] es un natural y [texx]  \overline{a_1,a_2, \cdots ,a_n} [/texx] es la parte decimal periodica entonces:


[texx] m.\overline{a_1,a_2, \cdots ,a_n} = m + \dfrac{a_1,a_2, \cdots , a_n}{10^n-1} [/texx]
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Gaussito
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« Respuesta #19 : 24/04/2016, 08:56:18 pm »

Juan, mi demostración consiste en probar que nunca el resultado de una división será: #,#99999999..... (período 9), si crees que no es cierto lo que digo, da un ejemplo de dos enteros cuya división sea ese resultado, o al menos explica en qué punto mi demostración es incorrecta.

En cuanto a un comentario que habías emitido anteriormente:

Si [texx] q [/texx] tiene  su parte decimal periódica  entonces racional y ahora hacer el contrarrecíproco.

Espero que te hayas dado cuenta que este argumento no demuestra mi planteamiento, puesto que a lo sumo concluiríamos que:

"Todos los irracionales tienen decimales no periódicos"

Lo que no implica que:

"Todos los decimales no periódicos sean irracionales".
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