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Autor Tema: Cohomología espacios complejos y cohomología de S2xS4  (Leído 900 veces)
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matcolgadas
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« : 22/04/2016, 07:20:29 pm »

Buenas, me acaba de surgir una duda sobre un ejercicio:
A ver, se demostrar que [texx]h^k (\mathbb{C}\mathbb{P}^n ) = 1[/texx] si [texx]k[/texx] es par y [texx]h^k (\mathbb{C}\mathbb{P}^n ) = 0[/texx] si [texx]k[/texx] es impar.

El ejercicio pide lo siguiente
a) Demostrar que si [texx]\omega[/texx] es el generador de [texx]H^2 (\mathbb{C}\mathbb{P}^2 ) [/texx]entonces [texx] \omega \wedge \omega \neq{} 0[/texx] (He pensado en usar la dualidad de Poincaré, pero no se formalizarlo...)
Lo siguientes apartados ni idea

b) Demostrar que si [texx]\omega[/texx] es el generados de [texx]H^2 (\mathbb{C}\mathbb{P}^3 )[/texx] entonces [texx] \omega \wedge \omega \neq{} 0[/texx]

c) Demostrar que si [texx]\omega[/texx] es el generados de [texx]H^2 (\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^4 )[/texx] entonces [texx] \omega \wedge \omega = 0[/texx]

d) Deducir que las variedades [texx]\mathbb{C}\mathbb{P}^3[/texx] y [texx]\mathbb{S}^2 \times \mathbb{S}^4[/texx] no son  homeomorfas.

Muchas Gracias.
Un saludo
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« Respuesta #1 : 10/05/2016, 06:56:01 am »

Este ejercicio tiene muchas soluciones distintas, depende de lo que sepas o puedas utilizar. Básicamente hay demostraciones más geométricas (usando formas diferenciales, intersección de subvariedades y dualidad de Poincaré) o más algebraicas (calculando de manera algebraica los anillos de cohomología).

Te esbozo la manera geométrica que es mi favorita. Si no sabes cómo va lo que te voy a explicar o tienes que hacerlo de otra forma dilo.

La clave es darse cuenta de que un generador de [texx]H^2(\mathbb{C}P^n)[/texx] es el dual de Poincaré de la clase fundamental de un hiperplano [texx]H[/texx] del proyectivo. Luego te explico cómo se ve esto. Ahora, usando la correspondencia de producto cup (o wedge) en cohomología con la intersección de subvariedades en homología, tenemos que [texx]\omega \wedge \omega[/texx] es el dual de Poincaré de una subvariedad de [texx]\mathbb{C}P^n[/texx] obtenida como intersección de dos hiperplanos en posición general. Pero está claro que esto es un subespacio lineal de codimensión (compleja) 2, por tanto es isomorfo al dual de Poincaré de [texx]\mathbb{C}P^{n-2} \subset \mathbb{C}P^n[/texx].

Sea [texx][H] = \mathbb{C}P^{n-1} \subset \mathbb{C}P^n[/texx] el dual de Poincaré de la clase representada por un hiperplano. Igual que antes, podemos ir haciendo intersecciones de hiperplanos en posición general. Así, el producto wedge de [texx][H][/texx] consigo misma [texx]i[/texx] veces es el dual de Poincaré de un subespacio lineal de codimensión [texx]i[/texx]. En particular, si lo hacemos [texx]n[/texx] veces, obtenemos que [texx] [H]^n [/texx] es el dual de Poincare de un punto, y por tanto [texx][H]^n [/texx] genera [texx]H^n(\mathbb{C}P^n)[/texx]. Esto, junto con el conocimiento de los grupos de cohomología, prueba que [texx] [H]^{i} [/texx] es un generador de [texx]H^{2i}
(\mathbb{C}P^n)[/texx] para todo [texx]0 \leq i \leq n [/texx]. En particular, poniendo [texx]i=1[/texx], [texx][H]= \omega[/texx]. Por tanto, el anillo de cohomología de [texx]\mathbb{C}P^{2n}[/texx] viene generado por [texx] \omega [/texx] con la única relación [texx] \omega^{n+1}=0 [/texx].

Para [texx]S^2 \times S^4[/texx] puedes pensarlo igual. La idea es que por Künneth el generador [texx] \omega \in H^2(S^2 \times S^4) [/texx] es el representado por la clase fundamental de [texx]S^2 \times \{p \} [/texx] donde [texx] p \in S^4 [/texx] es un punto cualquiera. Pero ahora está claro que tomando dos tales subvariedades en posición general (es decir, [texx]S^2 \times \{p \} [/texx] y [texx]S^2 \times \{q \} [/texx] con [texx]p,q \in S^4 [/texx] puntos distintos), su intersección es vacía. Por tanto, [texx] \omega \wedge \omega = 0 [/texx]. De nuevo, currando un poco más se puede calcular completamente el anillo de cohomología. De hecho, en este caso, como la cohomología de los factores es libre, hay una versión del teorema de Künneth que te da directamente el anillo de cohomología.

Finalmente, para ver que [texx]\mathbb{C}P^3 [/texx] y [texx] S^2 \times S^4 [/texx] no son homeomorfos basta con recordar que el anillo de cohomología es un invariante topológico.

Como digo, si todo esto te suena a chino, dime qué es lo que sabes y/o puedes usar y lo miramos desde otras perspectivas.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
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