Residuos cuadráticos

[maguas]

 En la siguiente propiedad de residuos cuadráticos.

 Si [texx]p ≡ 7(mod8)[/texx], entonces los conjuntos.

 [texx]\{  2n^2/ 1\leq{n}\leq{p-1}  \}[/texx]   y  [texx]\{  n^2/ 1\leq{n}\leq{p-1}  \}[/texx] son idénticos módulo [texx]p[/texx]

¿A qué, se refiere con idénticos modulo [texx]p[/texx]?
Me gustaría que me den algunos ejemplos si fuera posible.
Saludos.



[Luis Fuentes]

Hola

En la siguiente propiedad de residuos cuadráticos.

 Si [texx]p ≡ 7(mod8)[/texx], entonces los conjuntos.

 [texx]\{  2n^2| 1\leq{n}\leq{p-1}  \}[/texx]   y  [texx]\{  n^2|1\leq{n}\leq{p-1}  \}[/texx] son idénticos módulo [texx]p[/texx]

¿A qué, se refiere con idénticos modulo [texx]p[/texx]?
Me gustaría que me den algunos ejemplos si fuera posible.

Pues que al tomar los residuos módulo [texx]p[/texx] de los elementos de ambos conjuntos se obtienen los mismos elementos.

Por ejemplo. Si [texx]p=5[/texx] se tendría:

 [texx]\{  2n^2|1\leq{n}\leq{p-1}  \}=\{2,8,18,32\}[/texx] y los restos módulo [texx]5[/texx] son [texx]\{2,3,3,2\}[/texx] Eliminando las repeticiones: [texx]\{2,3\}[/texx].

 [texx]\{  n^2| 1\leq{n}\leq{p-1}  \}=\{1,4,9,16\}[/texx] y los restos módulo [texx]5[/texx] son [texx]\{1,4,4,1\}.[/texx] Eliminando las repeticiones: [texx]\{1,4\}[/texx].

Los restos no coinciden. Pero sin embargo si [texx]p=7[/texx]:

 [texx]\{  2n^2| 1\leq{n}\leq{p-1}  \}=\{2,8,18,32,50,72\}[/texx] y los restos módulo [texx]7[/texx] son [texx]\{2,1,4,4,1,2\}[/texx] Eliminando las repeticiones: [texx]\{1,2,4\}[/texx].

 [texx]\{  n^2| 1\leq{n}\leq{p-1}  \}=\{1,4,9,16,25,36\}[/texx] y los restos módulo [texx]7[/texx] son [texx]\{1,4,2,2,4,1\}.[/texx] Eliminando las repeticiones: [texx]\{1,2,4\}[/texx].

Los restos coinciden.

Saludos.

[maguas]

Hola,
Algún apunte que me puedas recomendar sobre esta y otras propiedades de los residuos cuadráticos.
Gracias.
 

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Algún apunte que me puedas recomendar sobre esta y otras propiedades de los residuos cuadráticos.
Gracias.
 

Mira por aquí:

http://www.hojamat.es/parra/restocuad.pdf

http://www.famaf.unc.edu.ar/series/pdf/pdfCMat/CMat31-3.pdf

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-781-theory-of-numbers-spring-2012/lecture-notes/MIT18_781S12_lec9.pdf

http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/453.spring11/nt-notes4.pdf

http://www.maths.tcd.ie/pub/Maths/Courseware/NumberTheory/QuadraticResidues.pdf

Saludos.

[maguas]

Hola el_manco.

Me dan el siguiente problema en el cual no logro entender la conclusión

Calcule el valor de [texx]S=\displaystyle\sum_{n=1}^{(p-1)/2}{\displaystyle\frac{n^2}{p}}[/texx] donde [texx]p[/texx] es un primo impar tal que [texx]p\equiv 1 \pmod{4}[/texx]

por una propiedad de residuos cuadráticos escriben la expresión como

[texx]S=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{\displaystyle\frac{j}{p}}[/texx] donde [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos

PROPIEDAD. Si [texx]p[/texx] es un primo impar tal que [texx]p\equiv 1 \pmod{4}[/texx] y [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos   módulo [texx]p[/texx] entonces [texx]-A\equiv A \pmod{p} [/texx]

Esta propiedad implica que [texx]S=0[/texx]

Mi pregunta es, por qué? [texx]-A\equiv A \pmod{p} [/texx]

implica que [texx]S=0[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

Hola el_manco.

Me dan el siguiente problema en el cual no logro entender la conclusión

Calcule el valor de [texx]S=\displaystyle\sum_{n=1}^{(p-1)/2}{\displaystyle\frac{n^2}{p}}[/texx] donde [texx]p[/texx] es un primo impar tal que [texx]p\equiv 1 \pmod{4}[/texx]

por una propiedad de residuos cuadráticos escriben la expresión como

[texx]S=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{\displaystyle\frac{j}{p}}[/texx] donde [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos

PROPIEDAD. Si [texx]p[/texx] es un primo impar tal que [texx]p\equiv 1 \pmod{4}[/texx] y [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos   módulo [texx]p[/texx] entonces [texx]-A\equiv A \pmod{p} [/texx]

Esta propiedad implica que [texx]S=0[/texx]

Mi pregunta es, por qué? [texx]-A\equiv A \pmod{p} [/texx]

implica que [texx]S=0[/texx]

En primer lugar aclárame un poco la notación. ¿Esos cocientes que pones se refieren al símbolo de Legendre? ¿o a qué?. Por que está claro que si fuese un cociente normal esa suma no es cero.

Por otra parte revisa bien las fórmulas; con ese cuadrado que le pones a [texx]n[/texx] en la primera, no es cierto que la suma se cero ni interpretando como el símbolo de Legendre.

Saludos.

[maguas]

Hola,
El problema es, en sí.
Hallar la suma [texx]S=\displaystyle\sum_{n=1}^{(p-1)/2}{tan(\displaystyle\frac{n^2\pi}{p})}[/texx] Donde [texx]p [/texx]  es un primo de la forma  [texx]p\equiv1(mod4)
[/texx]
Propiedad 1. Para un primo impar [texx]p[/texx], los residuos cuadráticos de [texx]p[/texx] son congruentes
módulo [texx]p[/texx] con uno y sólo uno de los enteros [texx]1^2, 2^2, . . . , (\displaystyle\frac{p-1}{2})^2[/texx]

Propiedad 2. Si [texx]p[/texx] es un primo impar tal que [texx]p ≡ 1(mod4)[/texx] y [texx]C[/texx] es un conjunto
completo de residuos cuadráticos módulo [texx]p[/texx], entonces [texx]−C ≡ C(modp)[/texx].

Por la propiedad 1 la expresión toma la forma [texx]S=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{tan(\displaystyle\frac{j\pi}{p})}[/texx]  donde [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos
y ya que [texx]p ≡ 1(mod4)[/texx] entonces por la propiedad 2, [texx]−C ≡ C(modp)[/texx] esto implica que [texx]S=0[/texx]

En mi post anterior lo que yo interprete fue que la función trigonométrica no influía en la suma por eso obvié la tangente .Pero veo que estuve equivocado,
Mi pregunta sigue siendo la misma. Por qué? A partir de [texx]−C ≡ C(modp)[/texx] concluye que [texx]S=0[/texx]

Gracias por tu tiempo y tus respuestas. 

[Luis Fuentes]

Hola

Por la propiedad 1 la expresión toma la forma [texx]S=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{tan(\displaystyle\frac{j\pi}{p})}[/texx]  donde [texx]A[/texx] es un conjunto completo de residuos cuadráticos
y ya que [texx]p ≡ 1(mod4)[/texx] entonces por la propiedad 2, [texx]−C ≡ C(modp)[/texx] esto implica que [texx]S=0[/texx]

En mi post anterior lo que yo interprete fue que la función trigonométrica no influía en la suma por eso obvié la tangente .Pero veo que estuve equivocado,
Mi pregunta sigue siendo la misma. Por qué? A partir de [texx]−C ≡ C(modp)[/texx] concluye que [texx]S=0[/texx]

Porque si  [texx]A=-A[/texx] mod [texx]p[/texx] entonces:

[texx]S=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{tan(\displaystyle\frac{j\pi}{p})}=\displaystyle\sum_{j\in{A}}{tan(\displaystyle\frac{-j\pi}{p})}=-\displaystyle\sum_{j\in{A}}{tan(\displaystyle\frac{j\pi}{p})}=-S[/texx] 

Saludos.