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Autor Tema: Criterio de comparación  (Leído 929 veces)
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« : 16/04/2016, 04:06:40 am »

Necesito entender por qué, por ejemplo, teniendo que realizar la integral:

[texx]\displaystyle\int_{2}^{\inf} \displaystyle\frac{1}{x^{a}Ln(x)^2}[/texx]

Decimos que la integrabilidad queda demostrada para a>1.

Con el criterio de comparación,

[texx]\displaystyle\frac{1}{x^{a}Ln(x)^2} = o(\displaystyle\frac{1}{x^a}[/texx]

¿Sería porque toda potencia domina al logaritmo? No tengo una clara idea de como funciona el criterio ni el hecho de dominar...

Un saludo1
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Samir M.
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« Respuesta #1 : 16/04/2016, 06:47:07 am »

Nota que la integral de [texx]e[/texx] a [texx]\infty[/texx] es obviamente convergente. Siguiendo la sugerencia, observa que [texx]\dfrac{1}{x^a \ln^2{x}} \leq \dfrac{1}{x^a} \forall x > e[/texx]. [texx]1/x^a [/texx] para [texx]a > 1[/texx] es integrable pues es continua. Otra forma: como el integrando es estrictamente decreciente, por Euler-Maclaurin convergerá si y sólo sí la correspondiente suma infinita converge.

Ah, y a grandes rasgos, [texx]f = o(g(x))[/texx] iff [texx]|f| < \epsilon |g|[/texx]. Mira por aquí: http://mathworld.wolfram.com/Little-ONotation.html
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Lo escrito en azul significa que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.
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