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Autor Tema: Sobre funciones integrables  (Leído 1064 veces)
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Von Damian
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« : 09/04/2016, 12:43:17 pm »

Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada[texx] f \in L^{+}[/texx] , definimos [texx] \lambda (E) = \int_{E}f d\mu [/texx] para los conjuntos E medibles, piden demostrar que [texx]\lambda[/texx] es medida y que dada [texx] g \in L^{+}[/texx] se verifica que [texx] \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu[/texx]. He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones [texx] g:X\longmapsto[-\infty,\infty] [/texx] integrables respecto la medida anteriormente definida?

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 10/04/2016, 11:25:17 am »

Hola

Hola buenas tardes, me ha surgido una duda practicando con algunos problemas:
Dada[texx] f \in L^{+}[/texx] , definimos [texx] \lambda (E) = \int_{E}f d\mu [/texx] para los conjuntos E medibles, piden demostrar que [texx]\lambda[/texx] es medida y que dada [texx] g \in L^{+}[/texx] se verifica que [texx] \int_{X}gd\lambda=\int_{X}fgd\mu[/texx]. He probado el ejercicio, pero ahora mi pregunta es: ¿cuales serían las funciones [texx] g:X\longmapsto[-\infty,\infty] [/texx] integrables respecto la medida anteriormente definida?

Fíjate que el álgebra de medibles es la misma y lo que cambia es la medida.

Por tanto las funciones medibles son las mismas.

Lo que marca la diferencia en cuanto a integrabilidad es si la parte positiva o negativa de la integral tiene integral finita.

Por tanto las funciones integrables con la nueva medida son aquellas medibles (con la vieja) que cumplen que:

[texx]\displaystyle\int_{X}fg^+d\mu[/texx] ó [texx]\displaystyle\int_{X}fg^-d\mu[/texx]

son finitas.

Saludos.
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Von Damian
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« Respuesta #2 : 10/04/2016, 11:44:58 am »

Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 10/04/2016, 03:07:32 pm »

Hola

Llegué hasta ese punto pero no supe si con decir eso era suficiente, quiero decir, no sabía si podía establecer alguna relación más profunda entorno a la finitud de las integrales que has puesto anteriormente mediante algún resultado.

No creo que pueda afirmarse mucho más. Lo anterior puede resumirse diciendo que una función [texx]g[/texx] es integrable con la nueva medida si [texx]fg[/texx] es integrable con la antigua.

Saludos.
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Von Damian
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« Respuesta #4 : 10/04/2016, 05:28:36 pm »

Muchas gracias por tu tiempo el_manco.
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