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Autor Tema: Suma de naturales elevados al mismo exponente  (Leído 1678 veces)
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Don't go to the bathroom, Vincent


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« : 06/04/2016, 03:05:39 pm »

Hola,

volviendo a mirar el Último Teorema de Fermat donde [texx]x^n + y^n = z^n[/texx] no tiene solución dentro de los naturales para [texx]n\geq{3}[/texx], me ha surgido una duda sobre una posible extensión de esa fórmula.

¿Creéis que [texx]\underbrace{{a_1}^n + {a_2}^n + \ldots + {a_{n-1}}^n + {a_n}^n}_{n} = b^n[/texx] tendrá siempre solución para cualquier valor natural de [texx]n[/texx]? (Los valores de cada sumando no pueden ser iguales, es decir, [texx]a_1\neq{a_2}\neq{\ldots}\neq{a_n}[/texx]).


No sé si habré expresado bien matemáticamente lo que tengo en mente, pero os pongo unos ejemplos:

· Para [texx]n=2[/texx], queda [texx]{a_1}^2 + {a_2}^2 = b^2[/texx], que tiene infinitas soluciones, una de ejemplo es [texx]3^2 + 4^2 = 5^2[/texx]

· Para [texx]n=3[/texx], queda [texx]{a_1}^3 + {a_2}^3 + {a_3}^3 = b^3[/texx], una solución de ejemplo es [texx]7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3[/texx]

· Para [texx]n=7[/texx], queda [texx]{a_1}^7 + {a_2}^7 + {a_3}^7 + {a_4}^7 + {a_5}^7 + {a_6}^7 + {a_7}^7 = b^7[/texx]


Para [texx]n=7[/texx] ya no tengo ejemplo :lengua_afuera:

Saludos.
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elcristo
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« Respuesta #1 : 06/04/2016, 04:35:41 pm »

Hola.

Evidentemente sí.
Por ejemplo:

[texx]1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+^{128)}...+1^7=2^7[/texx]

Y eso lo puedes hacer con todos los números naturales. Incluso sin ser todo 1, siempre vas a poder completar con 1 para llegar a una potencia.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #2 : 06/04/2016, 04:48:53 pm »

Hola,

volviendo a mirar el Último Teorema de Fermat donde [texx]x^n + y^n = z^n[/texx] no tiene solución dentro de los naturales para [texx]n\geq{3}[/texx], me ha surgido una duda sobre una posible extensión de esa fórmula.

¿Creéis que [texx]{a_1}^n + {a_2}^n + \ldots + {a_{n-1}}^n + {a_n}^n = b^n[/texx] tendrá siempre solución para cualquier valor natural de [texx]n[/texx]?


No sé si habré expresado bien matemáticamente lo que tengo en mente, pero os pongo unos ejemplos:

· Para [texx]n=2[/texx], queda [texx]{a_1}^2 + {a_2}^2 = b^2[/texx], que tiene infinitas soluciones, una de ejemplo es [texx]3^2 + 4^2 = 5^2[/texx]

· Para [texx]n=3[/texx], queda [texx]{a_1}^3 + {a_2}^3 + {a_3}^3 = b^3[/texx], una solución de ejemplo es [texx]7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3[/texx]

· Para [texx]n=7[/texx], queda [texx]{a_1}^7 + {a_2}^7 + {a_3}^7 + {a_4}^7 + {a_5}^7 + {a_6}^7 + {a_7}^7 = b^7[/texx]


Para [texx]n=7[/texx] ya no tengo ejemplo :lengua_afuera:

Saludos.

¿Te refieres a que la potencia marque el número de sumandos y siempre exista? Pues es muy posible que se cumpla en mi opinión, vamos, que me da buena espina, pero no sé si está demostrado.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 06/04/2016, 05:59:17 pm »

Hola.

Evidentemente sí.
Por ejemplo:

[texx]1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+^{128)}...+1^7=2^7[/texx]

Y eso lo puedes hacer con todos los números naturales. Incluso sin ser todo 1, siempre vas a poder completar con 1 para llegar a una potencia.

Saludos.

Creo que me he explicado mal.
No lo he dicho en ningún momento pero la base de cada sumando tiene que ser diferente ([texx]a_1\neq{a_2}[/texx]). Además tu ecuación no cumple con mis requisitos porque la potencia te indica el número de sumandos y [texx]1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7+1^7 \neq{2^7}.[/texx]

Creo que me falta este símbolo [texx]\underbrace{}_{n}[/texx] para que sea claro que [texx]n[/texx] es el número de sumandos. Ahora lo corrijo.



¿Te refieres a que la potencia marque el número de sumandos y siempre exista? Pues es muy posible que se cumpla en mi opinión, vamos, que me da buena espina, pero no sé si está demostrado.

Saludos.

Sí, a eso me refiero. Yo no me atrevo a demostrarlo porque tiene pinta de ser bastante complejo, a ver si alguien me resuelve la duda.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 07/04/2016, 05:34:17 am »

Hola

Sí, a eso me refiero. Yo no me atrevo a demostrarlo porque tiene pinta de ser bastante complejo, a ver si alguien me resuelve la duda.

Efectivamente es un problema complejo.

Está relacionado (no es lo mismo) con una conjetura de Euler (que es falsa, aunque no se han encontrado muchos contraejemplos y hay "variantes" que la corrigen). La ecuación:

[texx]x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k=y^k[/texx]

no tiene soluciones enteras no triviales si [texx]n<k[/texx]. Tu quieres estudiar el caso [texx]n=k[/texx].

En el enlace de la wikipedia, puedes ver soluciones para [texx]n=5,7,8[/texx]:

[texx]19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5[/texx]

[texx]127^7+258^7+266^7+413^7+430^7+439^7+525^7=568^7[/texx]

[texx]90^8+223^8+478^8+524^8+748^8+1088^8+1190^8+1324^8=1409^8 [/texx]

Por último en esta presentación:

http://www.hillsdalesites.org/personal/dmurphy/work/eulerconj-michmaa.pdf

a partir de la diapositiva 19, se habla sobre tu problema y se comentan ciertos avances y cuestiones sin resolver (como el caso [texx]n=6[/texx]).

Saludos.
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« Respuesta #5 : 07/04/2016, 07:39:12 am »

Hola

Efectivamente es un problema complejo.

Está relacionado (no es lo mismo) con una conjetura de Euler (que es falsa, aunque no se han encontrado muchos contraejemplos y hay "variantes" que la corrigen). La ecuación:

[texx]x_1^k+x_2^k+\ldots+x_n^k=y^k[/texx]

no tiene soluciones enteras no triviales si [texx]n<k[/texx]. Tu quieres estudiar el caso [texx]n=k[/texx].

En el enlace de la wikipedia, puedes ver soluciones para [texx]n=5,7,8[/texx]:

[texx]19^5+43^5+46^5+47^5+67^5=72^5[/texx]

[texx]127^7+258^7+266^7+413^7+430^7+439^7+525^7=568^7[/texx]

[texx]90^8+223^8+478^8+524^8+748^8+1088^8+1190^8+1324^8=1409^8 [/texx]

Por último en esta presentación:

http://www.hillsdalesites.org/personal/dmurphy/work/eulerconj-michmaa.pdf

a partir de la diapositiva 19, se habla sobre tu problema y se comentan ciertos avances y cuestiones sin resolver (como el caso [texx]n=6[/texx]).

Saludos.

Hola,

Muchas gracias por los enlaces, son muy interesantes. He encontrado en Wikipedia que el problema del que hablo en este tema es la conjetura de Lander, Parkin y Selfridge. No voy a intentar encontrar una solución para [texx]n=6[/texx] ya que no tengo el nivel, pero estaré muy atento por si aparece alguna nueva noticia sobre el tema.

Parece muy difícil de demostrar y, de momento, las soluciones dadas son muy particulares. Siento curiosidad por saber si la conjetura se cumple con [texx]n=382[/texx], por ejemplo, y ver la monstruosidad de los números que aparecen :sorprendido:

Pero supongo que hace falta mucha fuerza bruta para conseguirlo.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 09/04/2016, 12:54:39 am »

Buenos Días «Rectilíneo»...


• Puedo aportarte con algunos de ejemplos de soluciones obtenidos de una cosecha propia... veamos.

○ Para N=3
Spoiler (click para mostrar u ocultar)


○ Para N=5
Código:
* BUSCANDO SOLUCIONES para N ^5 LTT: 300

1 Solucion:  19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 = 72^5
2 Solucion:  21^5 + 23^5 + 37^5 + 79^5 + 84^5 = 94^5
3 Solucion:  38^5 + 86^5 + 92^5 + 94^5 + 134^5 = 144^5
4 Solucion:  57^5 + 129^5 + 138^5 + 141^5 + 201^5 = 216^5
5 Solucion:  76^5 + 172^5 + 184^5 + 188^5 + 268^5 = 288^5


CONSIDERACIONES.


• Como puedes observar, para [texx]n=3[/texx] se dan abundantes soluciones, mientras que para [texx]n=4[/texx] la primera solución se dá muy lejos, algo que solo lo comprobé en base a la publicación de la Wiki que te dejó El_Manco.

Código:
1 Solucion:  30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4

• Para [texx]n=5[/texx] tenemos ya un poco mas, donde si te fijas, en la lista nos falta este:

Código:
3 Solucion:  7^5 + 43^5 + 57^5 + 80^5 + 100^5 = 107^5

Siendo que este no se muestra en la lista de la Wiki:

Código:
2 Solucion:  21^5 + 23^5 + 37^5 + 79^5 + 84^5 = 94^5  (Victor Luis 2016)

Donde si nos fijamos [texx]b=\{144,216,288\}[/texx] son múltiplos de [texx]b=\{72\}[/texx] por lo que no los consideraría en sí, soluciones originales y válidas, tan solo clonadas, siendo por lo tanto importante la solución encontrada para [texx]b=94[/texx].


• Para [texx]n=6[/texx] no he encontrado soluciones, estimando que debe haberlas, solo que estas se darán para un [texx]b[/texx] mas grande, que es la tendencia que se puede apreciar.

• La solución para [texx]n=7[/texx] y [texx]n=8[/texx] que nos da la publicación de la Wiki, no lo he comprobado aún, debido a que me detuve en [texx]n=4[/texx] para evaluar algunos casos que me llamaron la atención, pero está claro que se cumplen, no indicando lo contrario, sino, que la metodología desarrollada debe comprobarlo para comprobarse que esta es correcta.


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Saludos...
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« Respuesta #7 : 09/04/2016, 07:16:19 am »

Hola

Muchas gracias por los enlaces, son muy interesantes. He encontrado en Wikipedia que el problema del que hablo en este tema es la conjetura de Lander, Parkin y Selfridge. No voy a intentar encontrar una solución para [texx]n=6[/texx] ya que no tengo el nivel, pero estaré muy atento por si aparece alguna nueva noticia sobre el tema.

Bueno el problema tal como lo has planteado, tampoco es exactamente la conjetura de L.-P.-S., aunque está muy relacionado. Tal conjetura es una de las que comentaba que extiende y corrige la de Euler.

• Puedo aportarte con algunos de ejemplos de soluciones obtenidos de una cosecha propia... veamos.

○ Para N=3
Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Para el caso [texx]n=3[/texx] se conocen fórmulas para obtener directamente infinitas soluciones sin necesidad de ir probando (soluciones paramétricas). Puedes leer sobre ello aquí:

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html
Cita
CONSIDERACIONES.


• Como puedes observar, para [texx]n=3[/texx] se dan abundantes soluciones,

Si, hay infinitas. Como te comenté arriba, se conoce una solución paramétrica.

Cita
mientras que para [texx]n=4[/texx] la primera solución se dá muy lejos, algo que solo lo comprobé en base a la publicación de la Wiki que te dejó El_Manco.

Código:
1 Solucion:  30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4

Aquí tienes información sobre el caso [texx]n=4[/texx]. En particular un listado de más de [texx]80[/texx] soluciones:

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html

Cita
• Para [texx]n=5[/texx] tenemos ya un poco mas, donde si te fijas, en la lista nos falta este:

Código:
3 Solucion:  7^5 + 43^5 + 57^5 + 80^5 + 100^5 = 107^5

Siendo que este no se muestra en la lista de la Wiki:

Código:
2 Solucion:  21^5 + 23^5 + 37^5 + 79^5 + 84^5 = 94^5  (Victor Luis 2016)

En ese enlace de la Wikipedia sólo se listan algunas soluciones conocidas. No todas. De hecho se conoce una solución paramétrica y por tanto infinitas soluciones; aquí puedes ver la fórmula para obtenerlas:

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation5thPowers.html

En particular también aparece listada la que tu indicas. Aparece en un trabajo de Lander de 1967.

Cita
• La solución para [texx]n=7[/texx] y [texx]n=8[/texx] que nos da la publicación de la Wiki, no lo he comprobado aún, debido a que me detuve en [texx]n=4[/texx] para evaluar algunos casos que me llamaron la atención, pero está claro que se cumplen, no indicando lo contrario, sino, que la metodología desarrollada debe comprobarlo para comprobarse que esta es correcta.

Según se indica en estos enlaces, parece que para [texx]n=7,8[/texx] sólo se conoce una solución:

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation7thPowers.html
http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation8thPowers.html

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« Respuesta #8 : 10/04/2016, 05:32:27 am »

Buenos Días El_Manco...


• Gracias por la información « El_Manco »... en la publicación para el caso de [texx]n=4[/texx] se encontró una solución para [texx]b=651[/texx] que es un natural impar y no pertenece al Conjunto FV, donde esto ya lo hube considerado, al encontrar que:

Código:
Solucion:  90^4 + 360^4 + 816^4 + 945^4 = 1059^4 1

Una solución se dió para [texx]b=1059[/texx] que es impar compuesto y no pertenece al Conjunto FV, por lo cual, la evaluación debe ser no mas, para [texx]b[/texx] con todos los números naturales, a partir de [texx]b=n\cdot{}(n-1)[/texx]

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« Respuesta #9 : 10/04/2016, 10:33:36 am »



· Para [texx]n=2[/texx], queda [texx]{a_1}^2 + {a_2}^2 = b^2[/texx], que tiene infinitas soluciones, una de ejemplo es [texx]3^2 + 4^2 = 5^2[/texx]

· Para [texx]n=3[/texx], queda [texx]{a_1}^3 + {a_2}^3 + {a_3}^3 = b^3[/texx], una solución de ejemplo es [texx]7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3[/texx]

Hola. No sé si lo sabes, pero te lo digo por si no lo supieras.

Si tienes una solución, tienes infinitas, lo que pasa es que no son soluciones con sumandos coprimos.

Por ejemplo, con ésa de [texx]n=3[/texx] que pones:

[texx]a^{3}7^{3}+a^{3}14^{3}+a^{3}17^{3}=a^{3}(7^{3}+14^{3}+17^{3})=a^{3}20^{3}=(a\cdot20)^{3}[/texx]


Si vas dando valores naturales a "a" tienes todas las que quieras: pero tienen factores en común, los números no son coprimos. 

Saludos.
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« Respuesta #10 : 10/04/2016, 09:47:30 pm »

Hola.

En su día, me entretuve en estudiar un poco el caso de potencias cúbicas.

Pongo el enlace, por si puede servir de algo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=66345.0

Aunque debo precisar que, cuando me refiero a "recurrencias", en realidad se debe decir "sucesiones". (Un error de nomenclatura que tuve).

También, la Sucesión General de Ternas Pitagóricas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=66712.0

Un cordial saludo.
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« Respuesta #11 : 11/04/2016, 01:16:57 pm »



· Para [texx]n=2[/texx], queda [texx]{a_1}^2 + {a_2}^2 = b^2[/texx], que tiene infinitas soluciones, una de ejemplo es [texx]3^2 + 4^2 = 5^2[/texx]

· Para [texx]n=3[/texx], queda [texx]{a_1}^3 + {a_2}^3 + {a_3}^3 = b^3[/texx], una solución de ejemplo es [texx]7^3 + 14^3 + 17^3 = 20^3[/texx]

Hola. No sé si lo sabes, pero te lo digo por si no lo supieras.

Si tienes una solución, tienes infinitas, lo que pasa es que no son soluciones con sumandos coprimos.

Por ejemplo, con ésa de [texx]n=3[/texx] que pones:

[texx]a^{3}7^{3}+a^{3}14^{3}+a^{3}17^{3}=a^{3}(7^{3}+14^{3}+17^{3})=a^{3}20^{3}=(a\cdot20)^{3}[/texx]


Si vas dando valores naturales a "a" tienes todas las que quieras: pero tienen factores en común, los números no son coprimos. 

Saludos.

No, no lo sabía.

La explicación la entiendo, si multiplicas cada sumando por un parámetro natural "a" te dará otra solución válida [texx](7a)^3 + (14a)^3 + (17a)^3 = (20a)^3[/texx].
Lo que no entiendo es lo de los coprimos, ¿significa que cada sumando tiene el valor "a" como factor común?

Saludos y muchas gracias.
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« Respuesta #12 : 11/04/2016, 02:42:18 pm »

Hola

Lo que no entiendo es lo de los coprimos, ¿significa que cada sumando tiene el valor "a" como factor común?

Los números [texx]x_1,x_2,\ldots,x_n[/texx] con coprimos si no tienen ningún factor común (distinto del [texx]1[/texx]).

Para este tipo de ecuaciones diofánticas se buscan soluciones con las variables coprimas, ya que como dice feriva multiplicadas por cualquier factor proporcionan cualquier otra posible solución.

Saludos.
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