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Autor Tema: Ecuación complejos dudas  (Leído 683 veces)
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Venom
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« : 05/04/2016, 08:11:03 pm »

Quisiera estar seguro de si los siguientes ejercicios los hice bien:

Hallar al conjunto de los [texx]z \in{} \mathbb{C}[/texx] que satisfacen:


ejercicio 1:
[texx]\left |{z+i}\right | = \left |{z- i}\right |[/texx]

entonces:
siendo [texx]z = a + ib[/texx]

[texx]\left |{z+i}\right | = \left |{a+i(b+1)}\right | [/texx] = [texx]\sqrt[ ]{a^2+(b+1)^2}[/texx]

[texx]\left |{z-i}\right | = \left |{a+i(b-1)}\right | [/texx] = [texx]\sqrt[ ]{a^2+(b-1)^2}[/texx]

entonces:
[texx]\sqrt[ ]{a^2+(b-1)^2}[/texx] = [texx]\sqrt[ ]{a^2+(b+1)^2}[/texx]  [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx]  [texx]a^2+(b-1)^2 = a^2+(b+1)^2[/texx]
[texx]\Longleftrightarrow{} b = 0[/texx]

O sea se cumple solo si z es de la forma [texx]z = a[/texx]

ejercicio 2:
[texx]Im(z) < 2[/texx]

Es claro que el conjunto solucion es {[texx](x,y) \in{\mathbb{R^2}}/ y < 2[/texx]}
Pero me piden el conjunto de los [texx]z \in{\mathbb{C}}[/texx]

Intento:
[texx]z = a + ib[/texx]
tiene que cumplirse que [texx]b<2[/texx]
entonces conjunto solución es: {[texx]z \in{\mathbb{C}}/ Im(z) < 2[/texx]}  pero acá estaría copiando la letra del problema. Cómo puedo anotar formalmente lo que quiero?

Muchas gracias.
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mathtruco
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« Respuesta #1 : 05/04/2016, 09:17:05 pm »

Hola Venom. El primero está perfecto.

El segundo ejercicio está igualmente bueno. Los números complejos se pueden dibujar sobre el plano complejo. De este modo:

    [texx]\{(x,y):\, y<2\}[/texx]

serían los elementos del plano complejo cuya ordenada es menor que 2, y

    [texx]\{x+iy:\, y<2\}[/texx]

son los complejos con parte imaginaria menor que 2.

Formalmente se dice que [texx]\mathbb{R}^2[/texx] y [texx]\mathbb{C}[/texx] son isomorfos.

De hecho, a veces se definen los números complejos como el par [texx](x,y)[/texx]...

Pero siendo estrictos con lo que te preguntaron, como las preguntas dices "halle el conjunto de complejos..." yo respondería escribiendo un conjunto de complejos:

Cita
Hallar al conjunto de los [texx]z \in{} \mathbb{C}[/texx] que satisfacen:
ejercicio 1:
[texx]\left |{z+i}\right | = \left |{z- i}\right |[/texx]

Respuesta: [texx]\{a+bi\mathbb{C}:\,a\in\mathbb{R},b=0\}[/texx]

Cita
Hallar al conjunto de los [texx]z \in{} \mathbb{C}[/texx] que satisfacen:
ejercicio 2:
[texx]Im(z) < 2[/texx]

Respuesta: [texx]\{x+iy\in\mathbb{C}:\, x\in\mathbb{R},y<2\}[/texx].
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